2019年杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷(含答案)

1、D的四个选项，其中有且只有0分）杭二中高一新生实验班选拔考试数学试卷、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得161.（7分）设-1,则代数式B.24a2+2a-12的值为（C.）47110D.4卬+122.（7分）如图，直角梯形ABCD中，AD/BC,AB±BC,时针方向旋转90°至DE,连接AE,则AADE的面积是（B.2C.3D.4AD=3,BC=5,将腰DC绕点）3. （7分）在等边4ABC有（）A.1个所在平面内有一点巳使得PBC、PAC、4PAB都是等腰三角形，则具

2、有该性质的点4.（7分）A.5.（7分）A.B.7个C.10个D.无数个若x>1,y>0,且满足篁y=/,B.2设s=+4：I32，33B.5,则4S的整数部分等于（为，则x+y的值为（）C.9C.6D.7二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6.（7分）若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是7. （7分）若关于x 则m的取值范围是的方程（X-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,1, 2, 2, 3, 3, 4;另一枚质地均匀的正方体骰子8.（7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是的六个面上的数字分别是1,

3、 3, 4, 5, 6, 8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是9. （7分）如图，点A,B为直线y=x上的两点，过 A, B两点分别作y轴的平行线交双曲线 厂一（x>0）于C, D两点.若BD=2AC ,则4OC2 - OD2的值为CDB/10. （7分）如图，在RtAABC中，斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于ABC,且其边长为12,则ABC的周长为三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. （20分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程生言-王若（a、b是常数）的根总是x=1,试求a、b的值.12. （20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a

4、=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.13. （10分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A,B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线尸刍戈？于P,Q两点.（1）求证：/ABP=/ABQ;（2）若点A的坐标为（0,1）,且/PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.14. （10分）如图，4ABC中，ZBAC=60°,AB=2AC.点P在4ABC内，且PA=百，PB=5,PC=2,求ABC的面积.15、（10分）如图，4ABC是等边三角形，4BDC是顶角/BDC=120。的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上

5、一点，且/MDN=60°.试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.16、(10分)已知点M(p,q)在抛物线y=x2-1上，若以M为圆心的圆与点A、B,且AB两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根.(1)当M在抛物线上运动时，OM在x轴上截得的弦长是否变化？为什么?(2)若。M与x轴的两个交点和抛物线的顶点C构成一个等腰三角形，2014年杭二中实验班选拔考试试卷数学答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. （7

6、分）设直一传一1,则代数式a2+2a-12的值为（）A.-6B.24C.47+10D.|4?+12考点：完全平方式；代数式求值；二次根式的乘除法.专题：计算题.分析：此题可先把代数式a2+2a-12变形为（a+1）2-13,再把a=V7-1代入变形得式子计算即可.解答：解：.a2+2a-12=（a+1）2-13,当a=V7-1时，原式=（W|-1+1）2-13=7-13,=6.故选A.点评：本题考查了完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2和（a+b）2=a2+2ab+b2的足用.2. (7分)解：过点D作DG垂直于BC于G,过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F,/EDF+/CDF=90

7、°,/CDF+/CDG=90°,/EDF=/CDG,又/EFD=/CGD=90°,DE=DC,AEDFACDG(AAS),EF=CG,CG=BCBG=53=2,EF=2,Saade>EF= >3>2=3. 2故选C.3. （7分）在等边ABC所在平面内有一点有（）A. 1个B. 7个巳使得 APBC> APAC> PAB都是等腰三角形，则具有该性质的点C. 10 个D.无数个考点：等腰三角形的判定.分析：过B点作4ABC的中垂线，可知在三角形内有一点P满足PBC、APAC>4PAB都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以做两个圆

8、，圆B和圆A,从而可以得出一条中垂线上有四个点满足PBC、APAC>PAB都是等腰三角形，而三角形内部的一点是重合的，所以可以得出共有10个点.解答：解：作三边的中垂线，交点P肯定是其中之一，以B为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于Pi、P2两点，作P2AB,P2BC,P2AC,它们也都是等腰三角形，因此P1、P2是具有题目所说的性质的点；以A为圆心，BA为半径画圆，交AC的中垂线于点P3、P3也必具有题目所说的性质.依此类推，在ABC的其余两条中垂线上也存在这样性质的点，所以这些点一共有：3X3+1=10个.故选：C.点评：本题考查了等腰三角形的性质以及同学们对图形的整体理解，三角

9、形中任意两条边相等就是等腰三角形.)d. n4. （7分）若x>1,y>0,且满足：k产，工二产,则x+y的值为（VA.1B.2C.且2考点：同底数哥的乘法.专题分析:计算题.首先将xy=xy变形，得y=xy1,然后将其代入工二产,利用哥的性质，即可求得y的值，则可得x的值,代入x+y求得答案.解答:解：由题设可知y=xy1,x=yx3y=x4y1,4y1=1.从而x=4.于是工+产微.故选C.点评:此题考查了同底数哥的性质：如果两个哥相等，则当底数相同时，指数也相同.D.考点：部分分式.分析:专题：计算题；整体思想.由于士二八-,7?V，由此可以得到/k(k2-l)2Ck-1,)

10、kk(k+L),然后即可求出4s的整数部分.s=<1心（-）<三与十99争2299乂1004因为解答：解：当k=2,3-99,k'(k=D-/(k-1)kk(k+L)所以1vS=+233399于是有4<4S<5,故4s的整数部分等于4.故选A.点评：此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了k (k+L) I二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. （7分）若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是a+2V+1.考点：完全平方数.专题：计算题.分析：由于a是一个完全平方数，则a=（小）2.可知比a大的最小完全平方数是（近+1）2.解答：解：a

11、是一个完全平方数，a的算术平方根是依，比a的算术平方根大1的数是y+1,，这个完全平方数为：（几+1）2=a+2/a+1.故答案为：a+2储+1.点评：本题考查了完全平方数.解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着自然数立后面的自然数：（6+1）2.7. （7分）若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3vm.考点：根与系数的关系；三角形三边关系.专题：计算题.分析：根据原方程可知x-2=0,和x2-4x+m=0,因为关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，所以x2-4x+m=0

12、的根的判别式4。，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围.解答：解：二.关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，二x2=0,解得x1=2;x2-4x+m=0,1. =164m可，即m9，x2=2+,4-H，x3=2-14一ip,又这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2,.x1+x3>x2；解得3vm9，m的取值范围是3Vm.故答案为：3vm9.点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系.解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边.8. （7分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均

13、匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是1书一考点：列表法与树状图法.分析：利用列表法求出所有的举朝上的面两数字之和，得出5的个数，即能得出朝上的面两数字之和为奇数5的概率.解答：解：二正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8,用列表法列举朝上的面两数字之和所有可能是：，朝上的面两数字之和为奇数5的概率是：=i.3&q故答案为：1.9. （7分）如图，点A,B为直线y=x上的两点，过A,B两点分别作y轴的平行线交双曲线尸（x&

14、gt;0）于C,D两点.若BD=2AC,贝U4OC2-OD2的值为6.考点：反比例函数综合题.专题：计算题；数形结合.,根据A,B两点在直线y=x上，分别设A,B两点的坐标为（a,a）,（b,b）,得到点C的坐标为（a,一）,a点D的坐标为（b,1），线段AC=a线段BD=b-工根据BD=2AC,有b-1=2（a-）,然后利用bab|ba勾股定理进行计算求出4OC2-OD2的值.解：设A（a,a）,B（b,b）,则C（a,-）,D（b,寺abAC=a-=，BD=b-7-,abBD=2AC,b -=2 (a )故答案为：6.点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点

15、 D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值.A, B的坐标后可以得到点C,10. （7分）如图，在 RtAABC中，斜边 AB的长为35,正方形 CDEF内接于 ABC ,且其边长为12,则 ABC 的周长为 84 .考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.分析：首先设BC=a,AC=b,由勾股定理与正方形的性质，可得：a2+b2=352,RtAAFERtAACB,再由相似三角形的对应边成比例，可得12（a+b）=ab,解方程组即可求得.解答：解：如图，设BC=a,AC=b,贝Ua2+b2=352=1225.又RtAAFERtAACB,S,P,FEA?日口12”1?所以二即=

16、,CBACab故12（a+b）=ab.由得（a+b）2=a2+b2+2ab=1225+24（a+b）,解得a+b=49（另一个解一25舍去），所以a+b+c=49+35=84.故答案为：84.点评：此题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识.此题综合性较强，解题时要注意合理应用数形结合与方程思想.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. （20分）已知：不论k取什么实数，关于x的方程半#一=1（a、b是常数）的根总是x=1,试求a、Job的值.考点：二元一次方程组的解.分析：首先把根x=1代入原方程中得到一个关于k的方程，再根据方程与k无关的应满足的条件即可得a

17、、b的值.解答：解：把x=1代入原方程并整理得（b+4）k=7-2a要使等式（b+4）k=7-2a不论k取什么实数均成立，只有满足尸4'°,17-2手。解之得-b-,b=-4.a-2点评：本题要求同学们不仅熟悉代入法，更需要熟悉二元一次方程组的解法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算.12. （20分）已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.考点：一元二次方程的整数根与有理根.专题：计算题.分析：设出第一个方程的两根，表示出后面方程的另2根.利用根与系数的关系均得到与a的关系，进而消去a,得到

18、两个一次项的积为一个常数的形式，判断可能的整数解，得到a,b,c的值，相加即可.解答：解：设方程x2+ax+b=0的两个根为a,以方程有整数根，设其中a,3为整数，且则方程x2+cx+a=0的两根为a+1,3+1,a+炉a,（a+1）（附1）=a,（5分）两式相加，得a+2a+2/1=0,产1或即（叶2）（3+2）=3,(10分)又a=(a+3)=(1)+1=0,b=a=1M=1,c=-(0+1)+(/1)=-(1+1)+(1+1)=-2,或a=(a+3)=(5)+(3)=8,b=a=(5)x(-3)=15,C=-(a+1)+(附1)=-(5+1)+(-3+1)=6,a=0,b=-1,c=-2

19、;或者a=8,b=15,c=6,a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3或a+b+c=8+15+6=29,故a+b+c=-3,或29.(20分)点评：主要考查一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；消去a后得到两个一次项的积为一个常数的形式是解决本题的难点.9p13. （20分）如图，点A为y轴正半轴上一点，A,B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线产一于P,Q两点.（1）求证：/ABP=/ABQ;（2）若点A的坐标为（0,1）,且/PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.二次函数综合题.考点：分析：（1）利用抛物线的

20、图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似三角解答:形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中已知与结论，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析式求得结果.（1）证明：如图，分别过点P,Q作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点A的坐标为（0,t）,则点B的坐标为（0,-t）.设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,并设P,Q的坐标分别为（xp,yp）,（xQ,yQ）.由*厂kx+t22,|i2-kx-t=0J12.+BC4+t3Xp22_22_工P耳打飞万町'4Xq)2z_2胪q耳町工又因为BC_FCBDQD因为/BCP=/BDQ=90°,所以BCPsB

21、DQ故/ABP=/ABQ;由（1）可知(2)解：设PC=a/ABP=/ABQ=30所以AC=-:因为PCIIDQ,所以DQ=b,不妨设a力0,BC=/3a,BD='Qb,AD=2-再b.ACPAADQ.PCACD6-ADaVia-2所以a+b=V3ab|.|t,即一人二一|,所以于是可求得a=2b=V3.代入厂"I-,得到点Q的坐标（再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k二一2V33所以直线PQ的函数解析式为根据对称性知，所求直线 PQ的函数解析式为工+1尸TCS点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以及对称解决问题.14. （20分

22、）如图，4ABC中，/BAC=60°,AB=2AC.点P在4ABC内，且PA=/,PB=5,PC=2,求ABC的面积.3C考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理.分析：首先作4ABQ,使得：ZQAB=/PAC,/ABQ=ZACP,即可得ABQsACP,即可得ABQ与AACP相似比为2,继而可得4APQ与4BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得ABC的面积.解答：解：如图，作AABQ,使得：/QAB=/PAC,/ABQ=/ACP,则ABQsMCP, AB=2AC, AABQ与APP相似比为2,AQ=2AP=2心BQ=2CP=4,/QAP=/QAB+/BAP

23、=/PAC+/BAP=/BAC=60°,AQ:AP=2:1,，/APQ=90°,ZAQP=30°, -PQ=/A82-AP2=7（W3）73）2=3，BP2=25=BQ2+PQ2,/BQP=90°作AM，BQ于M,由/BQA=/BQP+/AQP=120°,ZAQM=60°,QM=VS,jAM=3,.AB2=BM2+AM2=（4+6）2+32=28+8收， Saabc=AB?ACsin60°=AB2f篇.282点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质.此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用.15、考点： 专题： 分析：解答:等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。证明题；探究型。先求证MBDECD可得MD=DE,ZMDB=/EDC,进而求证MNDEND,即可得MN=NE,即可证明CN=NE+CE=MN+BM,即可解题.解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E,使CE=BM，连接DE,AABC为等边三角形，/ACB=/ABC=60°,又4BDC为等腰三角形，且ZBDC=120°,BD=DC,/DBC=/BCD=30°