圆锥曲线存在性问题

1、圆锥曲线中的存在性问题一、根底知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示. 再结合题目条件进行分析,假设能求出相应的要素,那么假设成立；否那么即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1)点：坐标 Xo,yo(2) 直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3) 曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：(1) 特殊值(点)法：对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证实求得的要素也使得其它情况均成立.(2) 核心变量的选取：由于解决存在性问题的核心

2、在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去.(3) 核心变量的求法： 直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解 间接法：假设无法直接求出要素, 那么可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解.二、典型例题：x2 y2、3例1 ：椭圆C : 一2 % 1 a b 0的离心率为 ,过右焦点F的直线l与C相父ab3于A,B两点,当l的斜率为1时,坐标原点 O到l的距离为(1) 求a,b的值uuu uuu uuin(2) C上是否存在点P,使得当l绕F旋转到某一位置时,有 OP OA OB成立？假设存在,求

3、出所有的 P的坐标和l的方程,假设不存在,说明理由解：(1) e a: b: c 73:龙:1a 3那么a 思c,b J2c,依题意可得:F c,0,当l的斜率为1时l : y x c x y c 0dO l、.3,b、.2椭圆方程为:2 y2解得:A 2-32、3 A 1,B 1,设 P xo,y.,A *,yi ,B 由、小当l斜率存在时,设l : y k x 1uuu uun uuuQ OP OA OBx0xx2yoyy2联立直线与椭圆方程:y 9 k 1 消去y可得：2x2 3k2 x 1 2 6,整理可得: 2x2 3y2 63k2 2 x2 6k2x 3k2 6 06k2xix22

4、3k 26k3y1 y2 k x1 x2 2k 2 2k3k 24k3k2 24k23k2 2由于P在椭圆上226k-4k2323k 23k 2_4 一 2_2_72k48k6 3k 2_ 2 _ 2 _ _ 2 _24k 3k 26 3k224k2 6 3k2 2 k 2当 k 扳时,l : y 42 x 1 , P -,2 2当k 2时,l :y当斜率不存在时,可知,那么P 2,0不在椭圆上综上所述：l : y 2 x 1,p3,也或 l:y42x 1,p3,去222 222例2：过椭圆：二 g i ab 0的右焦点F2的直线交椭圆于 A,B两点,Fi为其左焦点,VAFiB的周长为8,.,

5、一一、3椭圆的离心率为2(1)求椭圆 的方程恒有两个交点P,Q,且(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆OP OQ？假设存在,求出该圆的方程；假设不存在,请说明理由解：(1)由VAF1B的周长可得：4a 8 a 2,伊 c、3 a 2b2c2 1椭圆(2)假设满足条件的圆为,依题意,假设切线与椭圆相交,那么圆应含在椭圆内假设直线PQ斜率存在,设PQ:kxm, P x1,y1 ,QX"Q PQ与圆相切do2 k2OP OQuuur uuurOP OQ即 x1x2yy0联立方程:y kx m22x2 4y2 41 4k2x2 8kmx4m2x1x24m2 44k2 1

6、8km2,为乂24k 1V1V2k* m k% m2k x1x2km x x2*x2y1y2k2 1 *x2km x12x2m4m24 k2 14k2 1km8km4k2 12, 25m 4k 44k2 12. 25m 4k 4 0对任意的m,k均成立将 m2 r2 k2 1 代入可得：5r2 k2 14 k2 1022245r2 4 k2 10 r2 -5 224存在符合条件的圆,其万程为：x y -5当PQ斜率不存在时,可知切线 PQ为x-V552 2 ,5 2、一52.5 2、5右 PQ:x J5,贝U P , ,Q ,55555uuur uuur2 -OP OQ 0 PQ:x 皿符合题

7、意 52 右PQ: x- J5 ,同理可得也符合条件5一. 224综上所述,圆的方程为：x2 y2522例3：椭圆亳 # 1 a b 0经过点0, J3,离心率为5,左,右焦点分别为F1c,0 和 F2 c,0(1) 求椭圆C的方程(2) 设椭圆C与x轴负半轴交点为 A,过点M 4,0作斜率为k k 0的直线l ,交椭圆C于B,D两点(B在M,D之间),N为BD中点,并设直线 ON的斜率为k1证实：k k1为定值是否存在实数k,使得F1N AD ？如果存在,求直线l的方程；如果不存在,请说明理由c 1-解：(1)依题意可知：e - §可得：a:b:c 2:J3:1椭圆方程为：2x4c

8、4k k x2 4 1 4k2x2 2即 4k2x2 16k24k2 1 x2 8k2 2x2由于D在椭圆上,所以x22,2 ,矛盾所以不存在符合条件的直线l2 y3 c21,代入0忐可得：c 1椭圆方程为：(2)证实:2x4设B2y_3为,*1,D X2N2,线段BD的中点N x°,y°设直线l的方程为：y k x 4 ,联立方程:y3x2k x 44y212化为：23 4k22 x232k2 x264k2120由0解得:k21且为X232 k2,*64 k21244k2 34k23xxX216k2kx° 412k24k23y04k23k史x.3_4kk1k邑4

9、k3k 4假设存在实数k,使得F1 NAD,那么 kF1N kAD12k*3 4k2 4kx0 116k21 4k22 I3 4k2*2x2 2k x2 4x2 2kF1N22 8k2222例4 ：设F为椭圆E :与% 1 a b a b30的右焦点,点 P 1-在椭圆E上,直线2lo：3x 4y 10 0与以原点为圆心,以椭圆E的长半轴长为半径的圆相切(1) 求椭圆E的方程(2) 过点F的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另点Q ,问是否存在直线l,使得四边形PABQ的对角线互相平分？假设存在,求出 l的方程;假设不存在,说明理由解：(1) Q l0与圆相切d

10、O l105将p 1,3代入椭圆方程'24 b22一、 x y . 椭圆方程为： 一 14 3(2)由椭圆方程可得：F 1,0设直线 l : y k x 1,那么 PQ: y 3 k x 12联立直线l与椭圆方程：y k x 1C 2,23x 4y消去y可得:124k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0o 2ooo1 8k24 4k2 3 4k2 12 144k2 144AB J1 k2 x1 x2212 k2 14k2 3同理: 联立直线PQ与椭圆方程:y k x 1 3x2 4y232消去y可得:124k2 3 x28k2 12k x 4k2 12k 3 08k22212k4

11、4k_2 一12k 3 4k 312144 k k4PQ、 1 k2144 1 k k24k2 3由于四边形PABQ的对角线互相平分四边形PABQ为平行四边形AB PQ12 k2 124k2 3一 3解得：k -4.1k2144 1 k k24k2存在直线l : 3x4y 3 0时,四边形PABQ的对角线互相平分2 x 例5:椭圆C：= a2 y_ b21 a b 0的左右焦点分别为 F,F2,右顶点为A, P为椭圆C1mir uuur上任意一点,且PF1 PF2的最大值的取值范围是c2,3c2 ,其中 c Ja2 b2(1)求椭圆.1的离心率e的取值范围(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶

12、点,顶点为焦点,B是双曲线C2在第一象限上任意一点,当e取得最小值时,试问是否存在常数0,使得 BAF1BFA恒成立？假设存在,求出的值；假设不存在,请说明理由解：(1)设Px,y , F1c,0,F2 c,0uurPF1x,uuury ,PF2c x, yuurPF1uuurPF22 -x 由" a2 y_ b21可得:b24x2代入可得:auurPF1uuurPF2bl2 a2 c2x ab2a,aunrPF1uuurPF2b2maxb2 3c22222c a c 3c2c24c22 a2 a1211-e e4222(2)当 e1 时,可碍:a22c,b 、.3c22 X双曲线方

13、程为一2cy2 1 , A 2c,o , F|c,o ,设3c2B Xo,y0 , xoo, yo o当AB x轴时,Xo2c, yo3ctanBF1A3f1BF1A由于BAF1所以BAF12 BFiA考虑tantan 2tan22,卜面证实2对任意B点均使得BAF1BF1A成立BAF1BF1A2tan1tan2BAF1结论得证2时,例6:如图,y°Xo 2cBF1ABF1A,tanBF1AkBF1y°Xocy°Xo cy°Xo c2 X2 y可得：222;21,yo3xoc3c2y.2Xoc3x23c222yo Xocyo由双曲线方程2 Xo3c22X

14、occ 2c Xo2cXoBF1ABAF1BF1A恒成立2y° Xo cX02yo2cxo4c22 Xo c2c Xotan BAF12X 椭圆E :,a2土 1 a b o b2的离心率是匝,过点po,12的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于X轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为242-(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系 xOy中,是否存在与点 P不同的定点Q ,使得对于任意直线l ,QA PA 一、一QB |pB|怛成立？假设存在,求出点 Q的坐标'假设不存在,请说明理由解：(1)e C a 2a : b :c 2:1:122椭圆方程为马 土 12b2

15、b2由直线l被椭圆E截得的线段长为2J2及椭圆的对称性可得: 点2,1在椭圆上22,、 x y椭圆方程为4 2(2)当l与X轴平行时,由对称性可得:PA PB|qa| IpaI昂赢1即QA |QBQ在AB的中垂线上,即Q位于y轴上,设Q 0,y0当i与x轴垂直时,那么a0,J2,bo, 42PA >/2 1, PB V2 1 QAyo V|, QBy. V2|QA| I PAQB PB旦可解得y.22 1y.y01 或 yo2B '卜面判断Q 0,2能否对任意直线均成立Q P,Q不重合y0 2Q 0,2假设直线l的斜率存在,设l : y kxA *,乂 ,B x2,y2联立方程可

16、得:x2 2y2 4 y kx 1221 2k2 x2 4kx 2 0.QA PA由 可想到角平分线公式,即只需证实 QP平分 BQAQB PB只需证实kQAkQBkQAkQB0,B x2,y2kQAyixiy22X2由于AkQAkQBxi,yiVi2V22x2,B x？,y2在直线x2 yi2xix2 kxj ixi kx2密2kx 1 上,y2 2yiy2x2y1x1y22 x1x2x1x2kx i代入可得:kx2 ix22kxjx2x x2xix2xix2联立方程可得:2y2kx i22i 2k2 x24kx4kx？kQAE2,xix22k -2- i 2k22i 2k222i 2k24

17、kOE 0kQAQP平分BQA由角平分线公式可得:QAQBPAPB2x例7 :椭圆C ： a% i a b 0的上顶点为A, b2P *2是C上的一点,以AP为3 30成立直径的圆经过椭圆C的右焦点F(i)求椭圆C的方程(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问：在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于i？假设存在,求出这两个定点的坐标；如果不存在,请说明理由解：由椭圆可知：A 0,b,Fc,0QAP为直径的圆经过FFAFPumrFAuuuFPuuuFAuuuc,b ,FPbC,3代入椭圆方程可得:1-216 1 b_2a9 b 924b2cc33222bc a1022在椭圆上,

18、 3x椭圆方程为一2(2)假设存在x轴上两定点1,0如2,0 ,设直线y kx mdM1所以依题意:dM1 lM2 lk2 1 2 km 1k2 1由于直线l与椭圆相切,联立方程:y kx m 9222 k2x2 2y2 221 x 4kmx2m2由直线l与椭圆相切可知24km24 2k221 2m2 2化简可得：m2 2k21,代入可得:k 1 2 km 12k2 1k2 1 2km 122k2 1 k2 1k21 2 1km120,依题意可得：无论 k,m为何值,等式均成立12210121112所以存在两定点:M11,0,M2 1,0例8:椭圆C1 ：X24y21的布焦点分别为F,F2,点

19、P是C1上任意一点,urnruuiruuur标原点,OQPF1PF2 ,设点Q的轨迹为C2.是坐(1)求点Q的轨迹C2的方程uuir uuuuuuuir uuur(2)假设点T满足：OT MN 2OM ON,其中M ,N是C2上的点,且直线OM ,ON的使得TA TB为定值？假设存在,求出定点A,B的坐1斜率之积等于一,是否存在两定点, 4标；假设不存在,请说明理由(1)设点Q的坐标为点P的坐标为一 .2,2/那么 X04y°1由椭圆方程可得：F1.3n云0、.3,F2-pOuuirQOQuuurPFiuuurPF2uuur且PF1X0,uuur y0 ,PF2X0, y°

20、22x0, 2y.2X02yoX0yoX2代入到y222一X0 4y01 可得:y2 1M x,yi , NX2,y2uuuruuuuuuuuuuurQOTMN2OMONX,yX1X2,*V2X2x2X1y2y2V1设点T x, y ,(2)2 Xi,yiX2M设直线OM ,ON的斜率分别为kOM - kON,由可得：kOM kONY2YiX2X1X1X24yiy20考虑x2 4y222x2 Xi4 2y22 yi2222Xi 4yi 4 X2 4y24xix2 i6yiy222Xi 4yi 4Q M ,N是C2上的点22x2 4 y2 422X2px p 0的焦点与椭圆E的焦点重合,斜率为k

21、的直线l过G的焦点与E交于A, B ,与G交于C, D(i)求椭圆E及抛物线G的方程 4y2 4 4 4 20,、 x2即T的轨迹方程为202 y5i,由定义可知,T到椭圆20i焦点的距离和为定值A, B为椭圆的焦点所以存在定点A, B22例9：椭圆E : % 豪 i ab 0的焦点到直线x 3y00的距离为,离心率为5 1(2)是否存在吊数,使碍ABCD为常数？假设存在,求出的值；假设不存在,请说明理由 解：(i)设E,G的公共焦点为F c,0dFc2 i2.552E*5y2 iy* 2 * 8x(2)设直线l : yk x 2 , A Xi,yi ,B ,y2 ,C X3,y3 ,D 心4

22、与椭圆联立方程:y k x 222x 5y 55k2 1 x2 20k2x 20k2 5 020k2 5 1 5k220k2xi x2,为 x21 5k/2 I22AB 寸1 k 寸 x1 x24x1x2 y k x 2直线与抛物线联立方程：y2 8x4k2 8x3 x4 2Q CD是焦点弦k1 1 5k2k2AB| |CD2 5 k2 1 8 k2 1假设二i一为常数,贝20 754AB CD例10：如图,在平面直角坐标系 xOy中,5 k2 11 5k2k2x2 4k2 8 x 4k2 08 k2 1CD x3 x4 4 喜4 20k2.5 k2a b3205 k2直线l与x轴交于点E ,

23、与椭圆C交于A,B两点,当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的1皿2为定值？右存在,EB2假设不存在,请说明理2 6右焦点时,弦AB的长为3(1)求椭圆C的方程1(2)是否存在点E ,使碍EA2请求出点E的坐标,并求出该定值;解：(1)依题意可得:a:b: c 3 :1:、2l与x轴垂直且E为右焦点时, AB为通径AB近篷a花,b龙a32 x62七122思路：此题假设直接用用字母表示 A,E,B坐标并表示 EA, EB ,那么所求式子较为复杂,不易于计算定值与 E的坐标.由于E要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出E点11及正值,再取判正或证实该点在其匕直线中能否使碍 为定值.EA2 EB2解

24、：2假设存在点E,设E Xo,0假设直线AB与x轴重合,贝U A 扼,0 , B 6,0EA Xo 用 |,EBXo 无11112x2 12声声xo 762 x旧 * 62假设直线 AB与x轴垂直,那么 A, B关于x轴对称设A x0, y ,B x0, y,其中y 0 ,代入椭圆方程可得:12EA12EB262 72o x06 x023_ 2-_2冷 1262T 2x066 x0o.22 x0 6 6 x0 6 x0 6 ,可解得:116EA2 EB26 x273,0.假设 E 扼,0,设 A x1,y1B X2N2设 AB:xmy 后,与椭圆C联立方程可得：x3y2my6, t ,消去y可

25、得:3my3y2 63 y22.3my 3yiy22、, 3m-, y1 y2m 3EAEAEB代入yiy22y12 y11 y2同理:EB12a 2m1 V2EAEB所以 2EAEB假设 E 、. 3,012L 2m 1 y11-2L 2m 1 y22y2yiy2-2 m22*%-1 ya2.3 m苗Ty1y22、,3mm2 32为定值,-可得:33m2321m 3定值为2,同理可得EA综上所述：存在点 E三、历年好题精选1、中央在原点,_ _,1离心率为一,过直线2EB也0,使得二EA焦点在坐标轴上的椭圆12m26 m222m 32,9 m 123_2_18m18 29 m 1EB为定值2

26、 y b20过点p V3,2l : x 4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是A,B(1)求椭圆E的方程(222假设在椭圆冬 &X0X 2-a b捋1,求证：直线a(3)b2是否存在实数,使得1 a b 0上的任一点Nx0,y0处的切线方程是AB恒过定点C,并求出定点C的坐标ACBCAC BC恒成立？点C为直线AB恒过的定点),假设存在,求出 的值；假设不存在,请说明理由22x y22、椭圆C：n 1 a b 0的一个焦点与抛物线y 4x的焦点重合,a b3D 1,3是椭圆C上的一点2(1) 求椭圆C的方程(2) 设A,B分别是椭圆 C的左右顶点,P,Q是椭圆C上异于 A,B的两个动

27、点,直线AP, AQ的斜率之积为-,设VAPQ与VBPQ的面积分别为 5,S2,请问：是否存在常数4R,使得SiS2恒成立？假设存在,求出 的值,假设不存在,请说明理由223、 椭圆 二 § 1 a b 0经过点0,J3,离心率为-,左,右焦点分别为F1 c,0 和 F2 c,0(1) 求椭圆C的方程(2) 设椭圆C与x轴负半轴交点为 A,过点M 4,0作斜率为k k 0的直线l ,交椭圆C于B,D两点(B在M,D之间),N为BD中点,并设直线 ON的斜率为k1 证实：k k1为定值 是否存在实数k,使得F1N AD ？如果存在,求直线l的方程；如果不存在,请说明 理由4、 圆M :

28、 x J5 求点G的轨迹C的方程uuu uuu uuu 过点2,0作直线l ,与曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,设OS OA OB , 是否存在这样的直线l ,使得四边形 OASB的对角线相等(即 OS |AB ) ？假设存在,求 出直线l的方程；假设不存在,试说明理由22 x y ,一,.-5、 (2021,福建)双曲线E:= % 1 a 0,b 0的两条渐近线分别为l：y 2x ,a b y2 36,定点N 75,0 ,点P为圆M上的动点,点Q在NPuuinuuur uuur uuur上,点G在MP上,且满足 NP 2NQ,GQ NP 012: y 2x(1)求双曲线E的离心率(2)如

29、图,O为坐标原点,动直线1分别交直线11,12于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且VOAB的面积恒为8,试探究：是否存在总与直线一个公共点的双曲线 E？假设存在,求出双曲线E的方程;说明理由习题答案:1、解析：(1)Q椭圆过点P_32a34b21 ,再由a : b: c 2 : J3:1可解得：a2,b.3椭圆方程为:(2)设切点坐标为 A x,y1 ,B x2,y2,直线上一点 M 4,t ,依题意可得:两条切线方程为:x1xyyVx2xy2y31,由切线均过M可得:1Xix2yit3yt3A Xi,Vi ,B*2,V2均在直线x由于两点唯一确定一条直线AB:x即过定点 1,01,0

30、(3) AC联立方程:* V2BCACx以33x2 4 y212BCt2告,y1y227212 t2ACBC|AC|BC|,即点C的坐标为1AC12 y2i22 W9 tACV x11yy,BCQACBC6ty 27y0, y2 0x2y22y22、解析：1依题意可知:椭圆方程为:1BC9 t2Fy239 t2ACBC2抛物线y12 a2 a_3_9t2y V26t 210812 t212 t227 12AC4x的焦点为94b2 b2 c22 y3t2BC恒成立1,04,b239 t22由1可得：A 2,0 ,B 2,0,假设直线PQ斜率存在3- y2y1 29 t2y y2,144t2 9

31、144 493设 PQ : y kx m , P x1, y1 ,Q x2,y2A到直线PQ的距离di2k m'1 k2 * 4B到直线PQ的距离d22k m1S2 PQdi di | 2k mS 1 PQ d2 d2l2k m22联立方程:y kx m 3x2 4y2 123 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0xix228 km4 m 122, x1 x224k 3 4k 3kAP kAQyy2x12 x221-4y1y2 x1 2 x2 2 0 (*)4kx1 m kx2k2x-ix2 km x1 x23m2 12k24k2 3x1 2 x2 2x1x22 xx2_ 2_21

32、6k 16km 4m4k2 3可得:16m2 16km 32k24k2 32_ 2m km 2k 0m 2k 或 m k当 m 2k 时,PQ: y kx 2kk x 2,交点与A重合,不符题意m k,代入到鱼可得:&3k k3 S 3S2,3、解：1依题意可知:-可得：a: b : c 2 : 73 :12椭圆方程为:22x yA 2 o 24c 3c1,代入0, J3可得：c 12 证实：设B Xi,yi , D X2,y2,线段BD的中点N X0,y设直线l的方程为：y k x 4 ,联立方程:y3x24y2 12化为:4k2232k2x 64k212 00解得：k2X232 k2-,X1X234k264k2 124k2 3kix1 x2216k24k2 3yo