完整椭圆性质总结,推荐文档

1、.测试必“背1椭圆的两种定义:平面内与两定点 Fi, F2的距离的和等于定长 2aF1F2的点的轨迹,即点集M=P|PFi|+|PF2|=2a, 2a>|FiF2|； ( 2a 吓 时为线段 赤,2a 吓 无轨迹).其中两定点Fi, F2叫焦点,定点间的距离叫焦距. 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集M=P| e, 0v ev 1的常数 .(e 1为抛物线；e 1为双曲线) d2标准方程：22(1) 焦点在x轴上,中央在原点：马 、1 ( a> b> 0);a2b2焦点 F1 (- c, 0),F2 (c, 0).其中 c Ja2一子

2、(一个 Rt )22(2) 焦点在y轴上,中央在原点：戛 XT 1 (a> b> 0);a b焦点 F0, c, F20, c.其中 c Va2 b2注意：在两种标准方程中,总有a> b>0, c x-a2 b2并且椭圆的焦点总在长轴上;B >0, A丰 B,当 Av两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 (A >0,B时,椭圆的焦点在 x轴上,A > B时焦点在y轴上.223. 参数方程：椭圆与 J 1 (a b 0)的参数方程 a2b2x a cos y bsin(为参数)224. 性质：对于焦点在 x轴上,中央在原点：与 匕 1 (a&

3、gt;b>0)有以下性质：a2 b2坐标系下的性质： 范围：|x|< a, |y|< b; 对称性：对称轴方程为 x=0, y=0,对称中央为 O (0, 0); 顶点：A1 (-a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, -b), B2 (0, b),长轴 |AA2|=2a,短轴 |BB2|=2b;(a半长轴长,b半短轴长)；2a 准线方程：x ；或yc 焦半径公式：P(x°,y°)为椭圆上任一点.|PF|=r左=a+ex0,|PF2|= r右=a-ex°；|PF1|= r下=a+ey0,|PF2|= r上=a-ey0; PFmaxa c

4、, PFmin平面几何性质: 离心率：e=£ 焦距与长轴长之比a0,1 ； e越大越焦准距pb2准线间距2a2二、焦点三角形结论一:I右F1、结论二:结论三F2是椭圆2 x2 a2% 1(a bF1PF2,当点P位于b 0的两个焦点,P是椭圆上一点,且.时 最大,cosb2 tan 2过椭圆焦点的所有弦中通径 垂直于焦点的弦最短,通径为|PF1|PF2|的最大值为F1PF22:椭圆方程为 二a2t 1a b 0,两焦点分别为 b2Fi,F2 ,设焦点三角形PF1F2,PF1F2PF2F1,那么椭圆的离心率e结论四：四心的轨迹、2 ab222xy2,2ab122xy2,2ab22xy1

5、(a1(a2 x2 a2 a2七1(a9x2迂a(c20焦点三角形内心的轨迹及其方程0焦点三角形重心的轨迹及其方程:1(a b 0)0焦点三角形垂心的轨迹及其方程:x2)b % a2 x2b21(a0焦点三角形的外心的轨迹及其方程b2sin22c sinb_c二二(|y| 2b)sin()sinsin22xyO2 cb2c21'(a c)2三.中点弦问题2XAB是椭圆a2二 1a b 0的一条弦,中点 M坐标为x°,y°,那么直线的斜率 b为四.弦长问题.1斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点Rx1,y1, P2X2,Y2,那么所得的弦长或.2当直线的斜率不存在时,可

6、求出交点的坐标,直接运算；3经过圆锥曲线的焦点的弦也称为焦点弦的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为利用 ,往往比利用弦长公式简单.五.X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：1(a0,那么点m , O到椭圆的最短距离为:六.过椭圆上点切线问题假设P0x0,y0在椭圆2 x2 a2 y b21上,那么过P.的椭圆的切线方程是x°x2ax21、椭圆方程一252七1,椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是 2, 9是椭圆的中央,那么线段 ON的长是MFi的中点,O(A) 2(B) 4(C) 8D号2 x2 .点P是椭圆252 y161上一点,F1 , F2是椭圆的两个焦点,PFiF2的内切圆半

7、径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为2C.A_ 一23. 2021年上海卷理F1、F2是椭圆a2 y b2> b > 0的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PFiPF2 .假设PF1F2的面积为9,那么2 x4. 2021北京文椭圆92土 12 的焦点为Fi,F2,点P在椭圆上,假设IPF1I 4 ,那么IPF2IF1PF2的大小为2 X 4.椭圆2 y_1691的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,假设 P、Fi、Fa是个直角三角形的三个顶点,那么点 P到x轴的距离为()99 79(A)5(B) 3(C)7(D)42 x2y_111l l5.椭圆94的焦点F1、F2,点P为

8、其上的动点,当/F1 P F2为钝角时,点P横坐标的取值范围是.6. 椭圆的中央在原点,焦点在 X轴上,离心率 /夕2,椭圆上各点到直线l的最短距离为1,那么该椭圆方程是？直线l为x-y+湛5 + J2 = 07. 设点P (x, y)在椭圆 匕 1 , (1)试求点P到直线x y 5 0的距离d的最大值和最169小值.(2)求x+2y的最小值C :8.椭圆22xy2,2ab1(a> b> 0)的离心率为_32 ,过右焦点F且斜率为k(k> 0)的直线与uuuruuuC相交于AB两点.假设AF3FB,那么 k(A) 1(B)(C)右(D) 29. 点P是椭圆方程x2/3+y2

9、=1上的动点,M,N是直线L : y=x上的两个动点,且满足|MN|=t ,那么(1) 存在实数t使 MNP为正三角形的点仅有一个(2) 存在实数七使 MNP为正三角形的点仅有两个(3) 存在实数七使 MNP为正三角形的点仅有三个(4) 存在实数七使 MNP为正三角形的点仅有四个(5) 存在实数七使 MNP为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是 .10. 在平面直角坐标系xOy中,点B与点A (-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线 AP与BP1的斜率之积等于3 .(I )求动点P的轨迹方程；(H )设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点 P使得 PAB与PMN

10、 的面积相等？假设存在,求出点 P的坐标；假设不存在,说明理由 (探究(面积)2x y2111. (2007四川理)设Fi、分别是椭圆4的左、右焦点.(I)假设P是该椭圆上的一个动点,求PF1 - PF2 的最大值和最小值；(口)设过定点M (0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B ,且Z AOB为锐角(其中O为坐标原点,求直线1的斜率k的取值范围.最值、求取值范围12. 本小题共14分椭圆的中央在原点O,焦点在 X轴上,点 A 2J3,0是其左顶点,点 C在椭圆上,且AC CO 0, |AC| |CO|.(I)求椭圆的方程；n假设平行于CO的直线1和椭圆交于M,N两个不同点,求 CMN

11、面积的最大值,并求此时直线1的方程.最值13. (2021浙江文)此题总分值15分抛物线C : x2 2pyp 0 ._' 至,4 k17I求P与m的值;II设抛物线c上一点P的横坐标为tt °,过P的直线交C于另一点Q ,交X轴于点m ,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N .假设MN是c的切线,求t的最小值.SJS14.此题总分值14分22% "ab椭圆a b°)的离心率为3 ,长轴长为2J3,直线1 ：y kx m交椭圆于不同的两点A, B.I求椭圆的方程；uuu uuuu假设 m 1,且 OA OB.点为坐标原点；2m假设坐标原点 .到直线1的距离为 2 ,求AOB面积的最大值.FT15、13分在直角坐标系xOy中,点M到F1虹0、F23,0的距离之和是4,点M的轨迹C与X轴的负半轴交于点 A ,不过点A的直线1 : y kx b与轨迹C交于不同的两点P1求轨迹C的方程;uuur uuur2当AP AQ 0时,求k与b的关系,并证实直线1过定点.过定点16. (12分)点A(1,1)是椭圆2 x2 a2y% 1(a b 0)b上的一点,F1,匕是椭圆的两个焦点且满足!AFd AF2| (I )求椭圆的方程及离心率；(n )设点C,D是椭圆上的两点,直线AC , AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由.(定