级数的收敛性资料

1、§ 3级数的收敛性主要知识点：级数及其敛散性概念；正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法。 交错级数的Leibunitz判别法，Leibunitz型级数余项的性质。 一般项级数收敛性的Abel、Dilichlet判别法。1、2nsin!设 lim( n n an)=1，试判断qQJ an的敛散性。n 4解:an L 2nsin1 n -n13n 2，由此即知级数收敛。2、设an = (1 _ Ph n)n (p 0),讨论7 an的收敛性。 n解:pln nn ln(1)nIn(1 t)t2= t/(t2)，所以n空工2a e n 2 n2 2ln n欣忖)n

2、pln nepln npe = n ，由此即知p时级数收敛,o ： p _ 1时级数发散。3、若正项级数、an 收敛，且 ean =an ean 叽，则bn收敛。解:bn =ln (ea-an ) - an 二 ln1 ' an * Han)an an _l - an，所以二.bn 收敛。oO4、设0 :为：二，xn彳=sin xn ，讨论二xj的敛散性。nT解：易知xnL、込 (参见§ 1.1)，x'与1同阶，因此p 2时a bn收敛，P-2n'2时a bn发散。5、讨论级数COn . n (-1)n 1)p(-旷(p 0)的敛散性。(-1)n解：设an =

3、 l +n 3 (-1)n1)pbn,贝U: 0< p兰2时瓦bn条件收敛,(n)P亡时 bn绝对收敛。并且(_1)时(_1严0=%7=需(1 F7=薦“爷-冒沦沪.n-pP(P 1)(-1)n oo 孚 2 n1 p2n 2n。 可见:当p 1时cn绝对收敛, 收敛，当p 2时70心1时v cn发散；从而当1 an绝对收敛。:p _ 2时工an条件n6、设an 0, an发散，Sn八ak。求证：级数'、an当p < 1时发散,当p 1时发散。解：先讨论p =1的情形J ak2- k zn SkJ Sk - Sk =2-k -nSkJSm心m二.(Sk - Sk_1)7、y

4、m1Sm，由柯西准则V(Sn _1),所以 '養发散。n an S<1np 1 时三1rdx <、k=2 Skk =2 q 丄 Skk 三 q1dx 丄xSn 1pdx 色x：:1pdx 色x设:(x)是(-*,：)上连续的周期函数，周期为1，并且1(x)dx = O,01f(x) C1 0,1, an 二 f (x) (nx)dx0(n =1,2,川)证明:' an2收敛。an=1 jf (丄)®(t)dt=1 n ktk一瓦 ff(-Hf(")Pp(t)dtn 0 nn k#k4 nn证明:ks (t)dtn.f (k)k壬k4故a,、a2收

5、敛nM n2 n kd k4Z 屮(t)dtf1胛(t)dt01 1 18、判断级数' M(1$n!川打计的敛散性。°C 1 n 1001°°解：un丄八丄=V丄:：:、k±k! k出 k! kn + k!心 1k(k -1)(k -2)=2二(二TP =K)，由比较法知第一个级数收敛。1 _设 f (x) =e -(1 )x ,贝V lm f(x) =0; f (x)11 (1 )XXX -(1 x)ln(1 x)(1 x)故Un与1-同阶，从而第二个级数发散。n9、设an+oCUnan 1 anan an 1un收敛,Un发散证明:设 an

6、-1an - an)anan 1an an 10 ： p : 1时,比较Unppan 1 - an的关系，即1-出a 1 aan 1与1-(4卩an 1的关系。对(t)二tP在x , 1应用中值定理得0 ：1 - X _丄(1-xP),P故 Un _ wn。 P 三 0 时 aj 三1 , Un _ * 1* “p由柯西准则可证。an 110、设 f(x) C：(1-2。求证:n证：f(X)八(f (k)(X)- f2(x) f (X)，由条件可知极限nmf(n)(x)八(f(k)(x)-f(k4)(x) - f(x)存在，并且右边的级数一致收敛。记 (x) =|im_f(n)(x),又因 v (f(k)(x)-f(k书(x) = (f(k1)(x) -