线性代数考精彩试题及问题详解3

1、2009 - 2010学年第一学期期末考试线性代数试卷号二学）线（题号-一-二二三四五总分分数答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分 100分，120分钟完卷。2、闭卷考试。评阅人: 总分人：得分 1一、单项选择题。（每小题3分,共24分）-31111-311【】1.行列式=11-31111-3(A)0(B)1(C)2(D)3【】2.设A为3阶方阵，数扎=一；2, A = 3，则=(A)24(B)24(C)6(D)-6【】3.已知代B,为n阶方阵，则下列式子一定正确的是(A) AB =BA (B) (A B)2 二 A2 2AB B2(C) AB| |BA (D) (A B)(A - B)

2、二 A2 - B2【】4.设A为3阶方阵，A=a0，贝U A =(A) a(B) a2(C)a3 (D)a4【】5.设矩阵A与B等价，则有(A) R(A) : R(B) (B)R(A) R(B)(C) R(A)二R(B) (D)不能确定R(A)和R(B)的大小【】6.设n元齐次线性方程组 Ax = 0的系数矩阵 A的秩为r，贝U Ax二0有非零解 的充分必要条件是(A) r = n (B) r _ n (C) r : n (D) r . n【】7.向量组ai，a2,，am(m _2)线性相关的充分必要条件是(A) ai, a2,am中至少有一个零向量(B) a1, a2,am中至少有两个向量成

3、比例(C) ai,a2,am中每个向量都能由其余m-1个向量线性表示(D) ai,a2,am中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示【】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是(A) R(A) = n(B)A有n个互不相同的特征值(C) A有n个线性无关的特征向量(D)A一定是对称阵(每小题3分，共15分)1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,-1，它们的余子式分别为1,-1,2，贝U2.设矩阵方程4 2_-X71 IJ1 O6，贝U X -3. 设x = ”是非齐次线性方程组 Ax = b的一个特解，1, 2为对应齐次线性方程组Ax = 0的基础解系，则非齐次线性方程组 A

4、x = b的通解为 .4. 设m n矩阵A的秩R(A)二r，贝y n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的最大无关组S。的秩艮。二。5. 设'是方阵A的特征值，则是A2的特征值三、计算题（每小题8分，共40分）.02-52 13-1013 4211 计算行列式2110212.已知矩阵A =2_ 13，求其逆矩阵A。418_3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量且2匕+巳=，求该方程组的通解。34.求矩阵A= 2*1的特征值和特征向量。22 2 25.用配方法化二次型 f二治 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3成标准型。四、综合

5、体（每小题8分,共16分）1. 解下列非齐次线性方程组2X1X2 _ X3X4 二 1* 4捲 +2血 一2怡 + x4 = 22捲 +x2 x3 x4 =12. 已知向量组1-21132 , a2 =3a3 =13 L-16 j求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。H五、证明题（5分）证明：设n阶方阵A满足A2 - A-2E =0，证明A及A 2E都可逆，并一、单项选择题。（每小题3分,共24分1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C二、填空题。（每小题3分,共15分）11-6C2 2（CpC2 R） 4.n

6、 r 5.二、计算题1.102-51102-51-1213023-22-1010-1-41113420327 一-102-510-1-41100-52000-1040 一-102-510-1-41100-520-0000 一（每小题8分,共40分）.解:2分）（=02.已知矩阵2分）2分）2分）1解：（A,E） = 241-121求其逆矩阵A4。-11-4-11则A4010（2 分）1一14分）1_1（2 分）3. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量且24 +耳3 = 3，求该方程组的通解。3解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax=O的解集S的秩为4

7、-3 = 1，因此齐次线性方程组 Ax = 0的任意非零解即为它的一个基础解系。 (3分)令=2 1-( 2 - 3)则 A =A21-(2- 3) =2A _A 2 _A 3 =2b_b_b =0所以.=(345,6)丁 =0为齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系。 (3 分)由此可得非齐次线性方程组 Ax = b的通解为:4.求矩阵A二k R)(2 分)21的特征值和特征向量。一1 2解：A的特征多项式为:2 丸 1A_=-1)-3)12 入所以A的特征值为=1j2=3。(4分)(1)当 =1时，对应的特征向量满足11；=0,解得X<| = -x2则1=1对应的特征向量可取(2 分

8、)(2)当1=3时，对应的特征向量满足11一 11: =0，解得：X1=X2=3对应的特征向量可取P21 = | I（2 分）2 2 25.用配方法化二次型 f = % 2x2 - 5x3 - 2x1x2 - 2X4X3, 6x2x3成标准型。2 2 2解：f = x4 2x4x2 2x4x3 2x2 5x36x2x3二（X1X2 ' X3）2 2x2 4x3 4x2x3= （XiX2X3）2（X2 2X3）2（4分）X2X3y1 = X1（4分）y2 = x2 2x3 则把f化成标准型得:$3 = X3四综合题（每小题 8分,共16分）1.解下列非齐次线性方程组2x X2 - X3

9、X4 = 1* 4为 +2x2 2x3 + x4 = 22x +x2 _x3 _x4 =1解：对增广矩阵"2 1-11112r1 -10n42-2120001021-1-11 一100000B作初等行变换B =由上式可写出原方程组的通解为:（5分）G,C2R）（3 分）1 戸32 , a = pa3 =13 LT6_ai =求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。1 2解：A = 2331则 RA = 2，0-7150 0(2 分)（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知aa2为向量组的一个最大无关组。2分)且 a3 - -7a1 - 5a2 (2 分)五、证明题(5分)证明：设n阶方阵A满足A2 - A-2E =0，证明A及A 2E都可逆，并求 A-1及 (A 2E)。证明： 1(1) 由已知可