最新近世代数期末考试试卷及答案教案资料

1、学习资料精品文档一、单项选择题（ 本大题共5 小题，每小题3 分，共 15 分 ） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设 G 有 6 个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。33A、a B 、 a,e C 、 e,a D 、 e,a,a2、下面的代数系统（G， *）中，（ ）不是群A、G为整数集合，*为加法 B 、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法 D 、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、 a*b=a-bB、 a*b=maxa,b C 、 a*b=

2、a+2b D 、 a*b=|a-b|4、 设 1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13） ，2=（24） （14），3=1324） ，则3 =（）A、221 B 、1 2 C、2 D、2 15、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D是交换群二、 填空题 （ 本大题共10 小题， 每空 3 分， 共 30 分 ） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。2、一个有单位元的无零因子 称为整环。43、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则a 的阶等于 -4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与同构

3、,5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么 AH B=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为 7、 叫 做 域 F 的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在 F 的 a0,a1, ,an 使 得a0 a1an n 0 。o8、a是代数系统（A,0）的元素，对任何x A均成立x a x,则称a为。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则 P是。三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、设集合A=1,2,3G 是A上的置换群，H是G的子群，H=I,（1 2）,写出H 的所

4、有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“？”是数的乘法，则“ ？”是E中的运算，（E, ?）是一个代数系统，问（E， ? ）是不是群，为什么？3、 a=493, b=391, 求 （a,b）, a,b 和 p, q 。四、证明题（本大题共2 小题，第1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、若3 *是群，则对于任意的a、bCG必有,tt一的乂6使得2*乂 = 2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a? b当且仅当m| a-b。学习资料近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请

5、将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是()。A、2阶B、3阶 C、4阶 D6阶2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定 G是交换群。A 4个 B、5个 C 、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数 R奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格()A (N, )B、(Z,)C、(2,3,4,6,12,|(整除关系) D (P(A),)5、设 S3= (1) , (12) , (13) , (23) , (123) , (132),那么，在 S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1) ,

6、 (123) , (132) B 、12), (13) , (23)C、(1) , (123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。rr 1 r2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f f a ,3、区间1, 2上的运算a b min a,b的单位元是。4、可换群 G 中 |a|=6,|x|=8, 则 |ax|=o5、环Z8的零因子有 o6、一个子群H的右、左陪集的个数 o7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的。8、无零因子环R中所有非零元的

7、共同的加法阶数称为 R的。9、设群G中元素a的阶为m ,如果an e,那么m与n存在整除关系为 ,三、解答题(本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分)1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、Si, &是A的子环，则Sin&也是子环。Si+S也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245)，(234)(456) S6。i1 .求和 ；i2确定置换和 的奇偶性。四、证明题(本大题共2 小题，第i 题 i0 分，第 2 小题 i5 分，共 25 分)1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条

8、件是aba=a和ab2a=e。精品文档学习资料近世代数模拟试题一参考答案、单项选择题 1、C; 2、D; 3、B; 4、C; 5、D;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、1, 1 , 1,0 , 1,1 2, 1 , 2,0 , 2,1 , 2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ; 8、S=I 或 S=R ; 9、域；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。(13)(15)(16)(24)(27)B2、解：设A

9、是任意方阵，令而C是反对称矩阵，且A和可以写成如下对换的乘积：(13)(12)(48)(57)1 -1(A A) C (A A)2 ,2 ，则B是对称矩阵,矩阵和反对称矩阵，则B B1 C1矩阵，于是两边必须都等于0,即:B C。若令有A B1 G ,这里b4dC1分别为对称C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称B 日 , C C1 ,所以，表示法唯一。3、答：(Mm, m)不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和E四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)21111、对于G中任意元x, y,由于(xy) e,所以xy (xy) y x yx (对每入21个x,从x

10、 e可得x x )02、证明在F里11a_ab 1 b 1a a(a,b R,b 0) baQ 所有 a(a,b R,b 0)有意义，作F的子集bQ显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。1、C; 2、D; 3、B; 4、B; 5、A;二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25;4、模n乘余类加群；5、2 ; 6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、解：H 的 3 个右陪集为：1,(12) ,(

11、12 3 ) , (1 3) , (1 3 2 ) , (2 3 )H 的 3 个左陪集为：1,(1 2), (1 2 3 ), (2 3) ,(1 3 2 ),(1 3 )2、答：(E, ?)不是群，因为(E, ?)中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3X102+85102=1X85+17由此得到(a,b)=17, a,b=axb/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3 乂 102)=4 x 102-b=4 x (a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)

12、1、证明 设 e 是群 <G *>的幺元。令 x=a1*b,则 a*x = a*(a 1*b) = (a*a 1)*b=e*b = b。所以，x = a1*b 是 a*x = b 的解。若 x C G也是 a*x = b 的解，则 x =e*x = (a 1*a)*x =a1*(a*x )=a1*b=x。 所以，x = a 1*b是a*x = b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合 Z记为Zm每个整数a所在的等彳介类记为a= xCZ； m| x - a或者也可记为a, 称之为模m剩余类。若m| a- b也记为amb(m)。当m=2时，Z2仅含

13、2个元：0与1。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、C; 2、C; 3、D; 4、D; 5、A;二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、a; 3、2;4、24;5、;6、相等；7、商群；8、特征；9、mn;三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，等等，可得总共8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bCS1nS2有a-b, ab S1n S2:因为 S1, S2 是 A 的子环，故 a-b, ab C S1 和 a-b, ab S2 ,因而a-b, ab S1A S2 ,所以S1A S2是子环。S1+S2一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：易见与品均为子环，但瓦 & =（:卜也t已2卜是子环13、解：1 .(1243)(56)(16524).572,两个都是偶