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1、指数与指数函数【知识梳理】一、指数运算1、根式（ 1）概念：若xna （ n1且nN ），则称 x 为 a 的 n 次方根， “n”是方根的记号（ 2） a 的 n 次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是0，负数没有偶次方根n n aa ； n 为奇数， n an=a；n 为偶数， n a n=|a|=a,a0,a,a0.2、有理数指数幂（ 1）分数指数幂的意义：a01(a0且aR)（注： 00 无意义）；mannam(a0,N*,n1)；m nm11 a n(a*, n1

2、) m0,m, n Na nnam（ 2）指数幂的运算性质rsrs(0,) ；aaaar sR arasar s(a0,r , s R) ；arsars(a 0, r , s R) ；rarbr(a,b0, r R) ab二、指数函数1、指数函数的概念：一般地，函数ya x (a0,且 a1) 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意： 指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数ya x (a0, a1) 的图象与性质0<a<1a>1yy(0,1)y=1(0,1)y=1OxOx图象定义域 ：R值域为： (0,+)过定点： (0,1)，即 x=0

3、时， y=1性质0 时， 0 y1；当 x0 时， y 1；当 x当 x0 时， y 1当 x0 时， 0 y 1在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 【典型例题】题型一、根式的化简、指数幂的运算例题 1：化简：（ 1） 7 (2) 7；（2） 4 (3) 4；（3） 4 (a 2)4【解析】（ 1） 7 ( 2) 72（2） 4 (3)43； （3） 4(a 2)4a2, a2,；=a, a2.2【点评】不注意n 的奇偶性对式子n an 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用 本题易错的是第（3）题，往往忽视a 与 2 大小的讨论，造成错解210

4、16310231336例题 2：计算：（ 1） 0.2532；（2）3· 3· 3 【解析】（ 1）原式43110232083 ；2（2）3 336111111122 ·33·36 =3· 3· 3= 3·32 3 6=3=9【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算211115变式 1：化简：（ 1） (a 3 b 2 )(3a 2 b3 )(1 a 6 b 6 ) ；3（2） (3xy2 ) 6x 4 y 1 ( x 0, y0) ；（3）5

5、267 4 36421)211115【解析】（ 1）原式 = ( 3) ÷(a 326b2369ab09a ；31( 6)4( 1)y1( 1)xy6 1y11（ 2）原式x 3y6 x222 222 ；（ 3）原式(32 )2(23) 2(22) 232232222【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式变式 2：若 10x3， 10 y4 ，则102 x y_【解析】 102xy2 x10y10x210y3249104【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将10 x 、 10 y 看作一个整体，再进行代数运算题型

6、二、指数函数概念、定义域和值域例题 3：下列函数中属于指数函数的有（）个（ 1） y2 3x ；（ 2） y 3x 1 ；（ 3） y ( 3) x；（ 4） y (1)x ；（ 5） y 3x2 ；（ 6） y 4 x ；（ 7） y (2a 1) x 3A 2B3C4D5【解析】选A 只有（ 4）（ 6）属于指数函数ya x ( a0, a1) 的形式【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照ya x ( a0,a1) 的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明 a 的取值范围例题 4：求下列函数的定义域和值域：1( 2（ 1） y2 x 4 ；（ 2） y)|x| ；（ 3） y=a x-

7、1 (a>0，a 1)31【解析】（ 1）令 x-40，则 x4，所以函数y= 2 x 4 的定义域是 x R x4，11又因为11，即函数 y=2 x4 的值域是 y|y>0 且 y10，所以 2 x 4x4（ 2）因为 -|x| 0，所以只有 x=0.因此函数 y=(2)|x| 的定义域是 x x=032|x|2而 y=()=(330，即函数 y= (2|x|的值域是 y y=1) =1)3（ 3）定义域为R，因为 yax 的值域为 (0,) ，所以 ya x1 的值域为 ( 1,) 【点评】 由于指数函数y=a x,(a0 且 a 1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数

8、的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性y=b xyy=c xxxxxx， y=dxy=ay=d例题 5：如图，设 a,b,c,d> 0，且不等于 1， y=a ， y=b， y=c在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d 的大小顺序【】A 、a<b<c<dB、 a<b<d<cC、 b<a<d<cD、 b<a<c<dOx【解析】 a1=a 直线 x=1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故b<a<d<c ，选 C【点评】由上述结果可知：当底数>1 时，指数函数底数越

9、大，图象越靠近y 轴；当 0<底数 <1 时，指数函数底数越小，图象越靠近 y 轴变式 3：函数 ya x + 5(a > 0, a1) 恒过定点 _【解析】因为 y=ax 过点（ 0， 1），所以当 x=0 时， y=1+5=6 ，所以原函数过定点（0,6）【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点变式 4：已知指数函数的图象过点（3,），（ 1）求 f (0)， f (1)， f (-3) 的值；（ 2）利用图像比较三个函数值的大小11【解析】（ 1）设指数函数x（ a 0且 a1）因为图象过点（3,），所以 f (3)=a333xf (x)= a=，即 a=， f

10、(x)=( ) 01-11再把 0,1,3 分别代入 ,得： f (0)= =1， f (1)=， f (-3)= =（ 2）由图易知 f (1)> f (0)> f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用变式 5：当 a0 时，函数 yax b 和 ybax 的图象只可能是（）yyyy1111OxOxOxOxA【解析】选项A 中一次函数选项 B 中一次函数选项 C 中一次函数选项 D 中一次函数BCDa0, b1，指数函数应是减函数，故A 对a0, b1，指数函数应是增函数，故B 错a0, b1，指数函数应是减函数，故C 错a0, b1，指数函数应是增函

11、数，故D 错故答案选 A 【点评】利用一次函数和指数函数a, b 的关系来确定图象，是本题的关键题型三、解指数式方程、不等式例题 6：解下列方程：（1） 2x3x 112 ；（ 2） 2 x2 x 121 【解析】（ 1） 2 x 3x 1121 2 x3x126 x36x 2 ；32（ 2） 2xx 121x2x120x4或x3 【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解（2） 1x例题 7：解下列不等式： （ 1） 64x11；24 x 1 2【解析】（ 1） 64 x 11 4 x10x14x1 （2） 124 x 12 x2 4x 1x 4x 1 x25【点评】解此

12、类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解变式 6：解下列方程：（1） 9 x231x27 ； （2） 32 x 55 3x 22 【解析】（ 1）原方程化为 (3 x ) 2 6×3- x 27=0 ， (3-x 3)(3-x9)=0 3-x 30，由3- x 9=0 得 3- x=32，故 x=2 是原方程的解（ 2）原方程化为 3 (3x2 )25 3x 22 0，(3x 31)(3x 22) 0，(3x 22) 0，3x 310 得 3x 31， x3 【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1），把 3 x 看成未知数x ，解得的一元二次方程的根等于 3

13、x ，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验题型四、指数函数性质的应用例题 8：比较下列两个数的大小：（ 1） 30.8 , 30.7；（ 2） 0.75-0.1 , 0.750.1 ；23（ 3） 1.80.6 , 0.81.6 ；（4）(1) 3,25 3【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：对（ 1）因为函数 y= 3x 在 R 上是增函数，0.8 0.7，所以 30.8>30.7；x-0.10.1；对（ 2）因为函数 y= 0.75在 R 上是减函数， 0.1 -0.1，所以 0.75>0.75对（ 3）由指数函数的性质知1.80.6>1.80= 1=

14、 0.80>0.81.6，所以1.80.6>0.81.6；( 12323对（ 4）由指数函数的性质知)3 >(1)0= 1= 20>25 ，所以 (1)3 >25 333【点评】 首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个函数值， 则寻求一个中间量 “ 1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为 “中间量法 ”x23 x2例题 9：求函数 y1的单调区间和值域233)21, 3 上递减，在 3 ,1u【解析】令 u x23x 2( x在 () 上递增，又 y2为减函数，24223x 2

15、3x2, 3 上递增，在 3所以 y21在 (,) 上递减，当 x3时， y2132223x 23x2所以 y21的值域为 (0,243 31424 3 为最大值，【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间2变式 7：已知 f ( x)m 是奇函数，求常数m 的值x31【解析】由f( x) 是奇函数，得f ( x)f ( x)0，即2m2m0，22 3x2m0 ， 2( 3x1)20 ，得 m 1x1x3x1x1xm331133【点评】此题中函数的定义域为x0 ，所以不能利用f (0)0 来求解，应利用奇函数的定义f ( x)f ( x) 求出 m

16、 值变式 8：判断函数 f ( x)2x12 x的单调性、奇偶性1【解析】任取x1、 x2 R ，使 x1x2 ，f ( x1)2x112x212(2x12x2 )f (x2 )12x21 (2x11)(2 x2，2 x11)因为 2x0 ，所以 (2x11)(2x21)0， y2x 为增函数，所以 2x12 x20 ，所以 f ( x1 )f ( x2 ) 0 ，所以 f ( x) 在 R 上单调递增；2x12x (2 xf ( x)x12x (2 x21)12 xf ( x) ，所以 f (x) 为奇函数1)12 x【点评】 在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义

17、来判断在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘2x 化简，从而比较f (x) 与 f ( x) 的关系【方法与技巧总结】1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用【巩固练

18、习】1下列各式中正确的是（）A 、 4 a 4 =aB、6 ( 2)2 =32C、 a 0 =1D、10( 2 1)5= ( 2 1).2将 32 2 化为分数指数幂的形式为（）1115A、 22B、 23C、2 2D、 263函数 f (x) 12 x的定义域是（）A 、,0B、0,)C、 (,0)D、 (, )4下列函数中，值域为0,的函数是（）22 xA 、 y 3xB、 y2x1C、 y2x 1D、 y125已知指数函数图像经过点p(1,3) ，则 f (3)6若a 2 -2a 1 = a- 1，则 a 的取值范围为127 (27) 20.1 2(210)33 037=_ 927488

19、若函数 f (x)a1是奇函数，则a=_ 4 x1x22 x59已知函数 y1，求其单调区间及值域310已知函数 f ( x)2x2 x .（ 1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：f ( x) 是区间 (0,) 上的增函数；（ 2）若 f ( x)5 2 x3 ，求 x 的值【课后作业】1下列各式中成立的一项（）A 、 ( n ) 713n7 m 7B、12 ( 3)4 33C、 4 x3y 3(x y) 4D 、3 93 3m3 ab 2a 3 b2(a, b 为正数 )的结果是（）2化简113 b (a 6 b 2 )4bA 、B、 aba3设 y140.9 , y2 80.48 ,

20、y312C、 aD 、 a2bb1.5，则（）A 、 y3y1y2B、 y2y1 y3C、 y1y3 y2D、 y1 y2 y34函数 f (x)ax b 的图象如图，其中a、 b 为常数，则下列结论正确的是（）A 、 a 1, b0B、 a 1, b 0C、 0 a1, b 0D、 0 a 1, b 05函数 yex1 的定义域是（）A、(0,)B、 0,)C、 (1,)D、 1, )6函数 f (x)2x2 2(a 1 )x 1在区间 5,) 上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、6,+)B、 (6,)C、 ( ,6D、 (,6)7设 5x=4， 5y= 2，则 52 x y =8

21、613 334 0.0625(5) 02 1 =489函数 yax 33(a 0a1)的图象恒过定点 _ 且10若函数 f ( x)1是奇函数，则 a =_a4 x11111已知 x3,2，求 f ( x)1 的最小值与最大值4x2x12已知 f ( x)10 x10x10x10x（ 1）判断函数的奇偶性；（ 2）证明： f ( x) 是定义域内的增函数；（ 3）求 f (x) 的值域【拓展训练】111111化简 12 3212 1612 81 2 412 2 ，结果是（）A 、 111111D 、 111 232B、 1 232C、1 2 321 232222若函数 y ax(b1)(a0,

22、a1) 的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）A 、 a1且 b 0B、 0a 1且 b 0C、 0a 1且 b0D、 a1且 b 1设集合S y | yxR, T y | y x21, x R，则S T是（）33 , xA 、B、 TC、 SD、有限集4 F ( x)2f (x)( x0) 是偶函数，且f (x) 不恒等于零，则f (x) （）112xA 、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数5函数 ya| x| ( a1)的图象是（）6函数 y164x 的值域是（）A、0,)B、 0, 4C、0, 4)D、 (0, 4)7（ 2010 重庆）函

23、数fx4x1 的图象（）2xA 、关于原点对称B 、关于直线 y=x 对称C、关于 x 轴对称D、关于 y 轴对称8方程 24 x 1174x80 的解 x9函数x且在区间1,2上的最大值比最小值大a ，则a=_f (x)a (a1)0 a2113x 2x10若 x 2x 23，求xx23223 的值211如果函数2 xx且在1,1上的最大值为14，求实数a的值y a2a 1( a 0 a1)12已知 f ( x)axx2(aa )( a 0,a 1)a1（ 1）判断 f ( x) 的奇偶性；（ 2）讨论 f ( x) 的单调性；（ 3）当 x 1,1 时， f ( x)b 恒成立，求b 的取

24、值范围13（ 2006 重庆文）已知定义域为R 的函数 f ( x)2 xb是奇函数2 x1a（ 1）求 a,b 的值；（ 2）若对任意的 tR ，不等式(22 )(22) 0 恒成立，求 k 的取值范围f ttftk【参考答案】一、巩固练习答案1、选D2、选 A 原式(1 1)1122322 3、选 A由12x0 得 2x1 ，从而 x0 4、选 D 注意先确定定义域35、1设 yax ，把 (1,3) 代入得 a1， f (3)11273327、a1 a22a1(a 1)2a1 ，得a1 0，所以a 165100937100 7、 100原式16334810得 a18、由 f (0)229

25、、解：令 u x22x 5(x1) 24 ，由于 y13 1,) 单调递减，当x1 时， y 取到最大值10、（ 1）证明：任取x1、x2R ，使 x1x2 ， f (x1)u1x 2 2 x 5为减函数，所以 y在 (, 1 单调递增，在31 ，所以值域为 (0, 1 8181f (x2 ) 2x12x2(2x12x2) (11)( 2x12x2)x x2 12因为 x1 x2 0，所以11 ， 110 ，又 2x1 2 x20 ，所以 f ( x1 )f ( x2 ) 0 ，2x1x22x1x2所以 f (x) 在 (0,) 上是增函数（ 2 ）解：由 2 x2 x5 2 x3 得 (2

26、x )21 53 2 x ，即 (2x ) 23 2x4 0 ，得 2x4 或 2x1 ，得 x2 二、课后作业答案1、选D1215247(a 3 b 3 a3 b2 ) 2aa 33 b 332、选 C 原式72b 3 a 3b3、选 C y1 22 0.921.8 ， y2230.4821.44 ， y32( 1) ( 1.5)21.5 ，由指数函数单调性得 yy3y 124、选 D5、选 B6、选 C f (u)2u 是增函数， 所以 ux22( a1)x1在 5,) 上单调递增， 所以2(a 1)5 ，解得 a 6 27、 8 52 x y(5x )24285y28、 5原式25327

27、41115311154816222229、 (3,4) 根据指数函数ya x 恒过点 ( 0,1) 可得出10、 1 由 f ( x) f (x)0 得 a11a110 ， 4x1 2a0，得 a1 24x4x1 4x21111、解：令 u2x，则 u 4,8 ，yu 2u1(u1) 23在 1 , 1 上单调递减，在 1 ,8 上单调递增，244221，即 x1 时，38 ，即 x3 时， f ( x) max57 当uf ( x) min；当 u2412、（ 1）解： f ( x) 的定义域为 R，且 f (x)10 x10xf ( x) ， f ( x) 是奇函数10 x10 xx101

28、0x102 x12x102 x1102 x11令 x2>x1，则 f ( x2 )f ( x1 )2) (12)2102x2102 x1(1102 x11)(102 x11)102 x211(102 x2当 x2>x1 时， 10 2 x2 -10 2 x1 >0.又 10 2x1+1>0,10 2 x2+1>0 ，故当 x2>x1 时， f ( x2 )f ( x1 ) >0 ，即 f ( x2 )f (x1 ) ，所以 f ( x) 是增函数方法二：考虑复合函数的增减性10 x10x12.由 f (x)1010 2 x10xx1 y1=10x 为增

29、函数， y2=102x+1 为增函数， y3=2为减函数， y4=21为增函数， f ( x) 12为增函数102 x1102 x102 x110x10 x在定义域内是增函数 f (x)1010xx（ 3）解：方法一：令yf ( x) ，由 y102 x1, 解得 102x=1y 102 x11y 102x > 0 ， 1 y1 ，即 f ( x) 的值域为（ -1， 1）方法二：f (x) =1-2, 102x >0, 102x+1 >1.2102x12<2 ，111，即值域为 (-1,1). 0 <102 x1102 x1三、拓展训练答案11、选 A 分子分母同乘12 32 ，得原式1 21 211321111 23222、选 A 由图象不经过第二象限知a1 ， yax 向下平移超过1 个单位，即 b 1 1 ，得 b 0 3、选 C y3x 值域为 (0,) ， yx2 1的值域为 ( 1, ) 4、选可有奇偶性的定义判断出y2为奇函数，由奇 奇偶 得 f ( x) 为奇函数A112x5、选 B6、选 C 4x0, 0164x16164x0,4 7、选 D f (4 x114 xf (x) f ( x)