浅谈某数列中an与Sn的关系学生版

1、实用标准文案课题浅谈数列中 an 与 Sn 的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用 Sn 表示时，记作 Sn a1 a2 an，此时通项公式 anS1， n1，Sn Sn1， n 2而对于不同的题目中的 an 与 Sn 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用an Sn Sn 1(n 2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的an 与 Sn 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用已知的Sn，求 an；角度二：客观运用 an Sn Sn1(n 2)，求与 an ，Sn 有关的结论；角度三： an 与 Sn 的延伸应用角度一：

2、直观运用已知的Sn，求 an方法：已知Sn 求 an 的三个步骤 (此时 Sn 为关于 n 的代数式 )：(1)先利用 a1 S1 求出 a1；(2)用 n 1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系， 利用 an Sn Sn 1(n 2)便可求出当n 2 时 an 的表达式；(3)对 n 1 时的结果进行检验，看是否符合n 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分n 1 与 n 2 两段来写同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用Sn 求解如： a1 2a2 3a3 nan 2n

3、1，其中 a1 2a23a3 nan 表示数列 nan 的前 n 项和1已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 2n 2，则数列 an 的通项公式为 ()A an 2n 3B an 2n 31，n 11，n 1CanD an2n 3， n22n 3， n22(2015 河北石家庄一中月考)数列 an 满足： a1 3a2 5a3 (2n 1) an (n 1)n+13 3(n N *) ，则数列的通项公式 an3 (2015 天津一中月考 )已知 an 的前 n 项和为 Sn，且满足 log 2(Sn 1) n 1，则 an精彩文档实用标准文案4 (2015四川成都树德期中)已知 an 是

4、一个公差大于0 的等差数列，且满足a3a5 45， a2 a6 14(1)求 an 的通项公式；nb1b2bnn 1(n N*) ，求 bn(2)若数列2n 的前 n 项和 b 满足：22 2a二：客观运用 an Sn Sn 1(n 2)，求与 an， Sn 有关的结论此类题目中，已知条件往往是一个关于an 与 Sn 的等式，问题则是求解与an， Sn 有关联的结论那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留an，还是 Sn 那么，主要从两个方向利用 an Sn Sn 1(n2)：方向一： 若所求问题是与an 相关的结论，那么用Sn Sn 1 an (n2) 消去等式中所有

5、Sn 与 Sn 1，保留项数 an，在进行整理求解；1 (2015 州潮州月考广 )数列 an 的前 n 项和记为Sn， a1 1， an 1 2Sn 1(n 1， n N*) ，则数列的通项公式是2数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 an1 4Sn 1， a1 1.(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn nan，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.精彩文档实用标准文案方向二： 若所求问题是与Sn 相关的结论，那么用an Sn Sn 1(n 2)消去等式中所有项数an，保留 Sn与 Sn 1，在进行整理求解11已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且满足 an 2SnSn 1 0

6、(n 2)， a121(1)求证：Sn 是等差数列；(2)求 an 的表达式2 (2015 江西名校联盟调考)已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an2 2Snan 10(1)求数列 Sn 的通项公式；11111(2)求证： S1S2 Sn 2(Sn+ 1 1) (提示：nn 1 n)角度三： an 与 Sn 的延伸应用“数列的前 n 项和” 的实际意义， 还需要对 anS1， n1，解此类题目中不仅需要深刻理解关系Sn Sn 1，n2式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向方向一：关于双重前

7、n 项和此类题目中一般出现“数列 an 的前 n 项和为 Sn ，数列 Sn 的前 n 项和为 Tn”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与an，Sn， Tn 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向但一般是求解最底层的an精彩文档实用标准文案1(2015 北武汉质检湖 )设数列 an 的前 n 现和为 Sn，数列 Sn 的前 n 项和为 Tn，满足 Tn 2Sn n2，n N *(1)求 a1 的值；(2)求数列 an 的通项公式2(2015 安徽滁州期末联考)设数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 Sn 的前 n 项和为 Tn，且 2Tn 4Sn (n2 n)， n N* (1)证明：数列

8、 an 1 为等比数列；n 1(2)设 bn an 1，证明： b1 b2 bn 3方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列 an ”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍1 (2015 东青岛一模山 )各项均为正数的数列 an 满足 a2n 4Sn 2an 1(n N*) ，其中 Sn 为 an 的前 n项和(1)求 a1， a2 的值；(2)求数列 an 的通项公式精彩文档实用标准文案an an 1*2已知数列 an 的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且 Sn， n N (1)求证：数列 an 是等差数列；1(2)设

9、 bn， Tn b1 b2 bn，求 Tn 方向三：需对已知等式变形后，再求解1 (2015 西五校联考江 )已知正项数列 an 中，其前n 项和为 Sn，且 an 2Sn 1(1)求数列 an 的通项公式；1(2)设 bn anan+ 1， Tn = b1 b2 b3 bn，求 Tn2(2015 江温州中学月考浙)设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a1 1，a2 8，Sn 1 4Sn 1=5 Sn(n 2)，Tn 是数列 log 2 an 的前 n 项和(1)求数列 an 的通项公式；(2)求 Tn精彩文档实用标准文案3(2015 西三县联考江 ) 已知数列 an 的各项均为正数，

10、记 A(n)a1 a2 an，B( n)a2 a3 an 1， C(n)= a3 a4 an 2，其中 nN * (1)若 a1 1， a2 5，且对任意n N* ，三个数A(n)， B( n)， C(n)依次组成等差数列，求数列 an 的通项公式；(2) a1 1，对任意n N* ，三个数A(n)， B(n)，C(n)依次组成公比为q 的等比数列，求数列 an 的前 n项和 An4 (2015 辽宁沈阳诊断考试)设数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1 10， an 1 9Sn10(1)求证： lg an 是等差数列；(2)设 Tn 是数列3的前 n 项和，求 Tn；(lg an)(lg

11、 an 1)12m 的取值集合(3)求使 Tn (m 5m)对所有的 n N *恒成立的整数4精彩文档实用标准文案星期一1 (2015 苏扬州外国语中学模拟江)已知数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 3，则数列 an 的通项公式为2 (2015 宁沈阳二中月考辽)已知数列 an 满足 a1 a2 an a2n 1，求数列 an 的通项公式2n星期二3 (2015 安徽江淮十校联考)已知函数 f( x)是定义在 (0， )上的单调函数，且对任意的正数x， y 都有 f(xy)= f(x) f(y) ，若数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 f(Sn 2) f(an)= f(3)(nN

12、 *) ，则 an 为 ()n 1B. nA 2C. 2n1D.3 n 124(2015 辽宁鞍山二中期中)设数列 an 是等差数列， 数列 bn 的前 n 项和 Sn 满足 Sn3(bn 1)，且 a2=2 b1， a5 b2(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；(2)设 cn anbn，Tn 为 cn 的前 n 项和，求Tn精彩文档实用标准文案星期三5在数列 an 中，已知a1 1， an 2(an 1 an 2 a2 a1) (n 2， nN * ) ，则数列的通项公式是6 (2015 东桂城摸底广 )已知各项均为正数的数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 a2n an 2Sn(

13、1)求 a1；(2) 求数列 an 的通项公式；(3)若 bn 12(n N*) ， Tn b1 b2 bn，求证： Tn 5 提示： 1211 22n1an3n2n 1星期四7 (2015大连双基测试 )已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 2n 1(nN * )，则 an _.8 (2014烟台一模 )已知数列 an 前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 1，an，Sn 成等差数列2(1)求数列 an 的通项公式；1(2)数列 bn 满足 bn (log 2a2n 1) (log 2 a2 n 3)，求数列 bn的前 n 项和精彩文档实用标准文案星期五9 (2014 西四校联考山

14、)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn， Sn 2an n，则 an _2 n10 (2014 湖南卷 )已知数列 an 的前 n 项和 Snn*， n N2(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn 2an ( 1)nan，求数列 bn 的前 2n 项和星期六11已知数列 an 是各项均为正数的等比数列，a3 4， an 的前 3 项和为 7.(1)求数列 an 的通项公式；(2)若 a1b1 a a (2n3)2n 3，设数列 b，求证： 1 1 1212b2nbnn 的前 n 项和为 Sn12n.SSSn精彩文档实用标准文案12设数列 an 的前 n 项和为 Sn，a11， an Sn 2 (n1) ( nN * )n(1)求证：数列 an 为等差数列，并分别写出an 和 Sn 关于 n 的表达式；(2)是否存在自然数 n，使得 S1 S2S3 Sn (n 1)2 2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，2 3n请说明理由1已知 Sn 为正项数列 an 的前 n 项和，且满足121*Sn an an( nN )22(1)求 a1， a2， a3， a4 的值；(2)求数列 an 的通项公式精彩文档实用标准文案2在数列 an 中， a1 5， a2 2，记A(n) a1 a2 an， B(n) a2 a3 an 1， C(n)