用空间向量解立体几何问题方法归纳.

1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为 a(a1 ，b1，c1)平面 ，的法向量 u (a3，b3，c3 )， v (a4，b4，c4 )(1)线面平行： l ? au? a·u0? a1a3 b1b3 c1c3 0(2)线面垂直： l ? au? aku? a1 ka3，b1 kb3， c1kc3(3)面面平行： ? uv ? u kv? a3 ka4，b3 kb4 ，c3kc4(4)面面垂直： ? uv ? u·v 0? a3a4b3b4 c3c40例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中， PA底面 ABCD ，E，F

2、分别是 PC， PD的中点， PA AB 1， BC 2.(1)求证： EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明 以 A 为原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空11间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E2，1，2，F0，1，1， 1，0，0 ，PB，PD(0,2， ，AP，2EF2(1,01)1)(0,0,1) AD(0,2,0)DC (1,0,0)， AB (1,0,0)1(1)因为 EF 2 AB，所以 EFAB ，即 EFAB.又 AB?

3、平面 PAB，EF?平面 PAB，所以 EF平面PAB.(2)因为 AP ·DC (0,0,1) (1,0,0)· 0， AD ·DC (0,2,0) (1,0,0)·0，所以 AP DC ， AD DC ，即 APDC， ADDC.又 APADA，AP? 平面 PAD，AD? 平面 PAD，所以 DC平面PAD.因为 DC? 平面 PDC，所以平面 PAD平面PDC .使用空间向量方法证明线面平行时， 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行， 也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂

4、直既可以证明线线垂直， 然后使用判定定理进行判定， 也可以证明两个平面的法向量垂直 .例 2、在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ABC90°，BC2，CC14，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1 1， D，F，G 分别为 CC1，C1B1 ，C1A1 的中点求证： (1)B1D平面 ABD；(2)平面 EGF平面 ABD.证明： (1)以 B 为坐标原点， BA、BC、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)， D(0,2,2)，B1 (0,0,4)，设 BAa，则 A(a,0,0)，所以 BA (a,0,0)， B

5、D (0,2,2)， B1D (0,2， 2)，B1 D ·BA 0， B1D ·BD 0 4 4 0，即 B1DBA，B1DBD.又 BABDB，因此 B1D平面ABD.(2)由(1)知， E(0,0,3)，Ga2，1，4，F(0,1,4)，则EGa2，1，1， EF(0,1,1)，B1 D ·EG 0220， B1 D ·EF 0220，即 B1DEG，B1DEF.又 EGEFE，因此 B1D平面EGF. 结合 (1)可知平面 EGF平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b 的方向向量分别为a，b，异面

6、直线所成的角为|a·b|，则 cos |cos a， b |a|b|.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则|n·a|sin |cosn，a| |n|a|.(3)向量法求二面角：求出二面角 l的两个半平面 与 的法向量 n1， n2，|n1·n2|若二面角 l 所成的角 为锐角，则 cos |cosn1，n2|n1|n2|；|n1·n2|若二面角 l 所成的角 为钝角，则 cos |cos n1，n2 | |n1|n2|.例 1、如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中， ABAC，ABAC2，A1A 4

7、，点D 是BC的中点(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值 解(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以A1 B(2,0， 4)， C1D (1， 1， 4)因为 cos A B ， CA1B ·C1D18310，D 11| A1B |C1D |20× 1810310所以异面直线 A1B 与 C1 D 所成角的余弦值为10 .(2)设平面 ADC1 的法向量为

8、n1(x，y，z)，因为 AD (1,1,0)， AC1 (0,2,4)，所以 n1·AD 0，n ·AC1 0，即 xy 0 且 y2z0，取 z1，得 x2，y 2，所以， n (2， 2,1)是平面11ADC1 的一个法向量取平面ABA1 的一个法向量为 n2 (0,1,0)设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 .由 |cos |n1·n2225|n1|n2| ，得 sin 3.9× 135因此，平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为3 .例 2、如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中， CA CB， AB AA1

9、， BAA160°.(1)证明： AB A1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 解(1)证明：取AB 的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为 CACB，所以 OCAB.由于 ABAA1，BAA160°，故 AA1B 为等边三角形，所以OA1AB.因为 OCOA1O，所以 AB平面OA1C.又 A1C? 平面 OA1C，故 ABA1C.(2)由(1)知 OCAB， OA1AB.又平面 ABC平面AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点

10、， OA 的方向为 x 轴的正方向， | OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 由题设知 A(1,0,0)，A1(0， 3， 0)，C(0,0， 3)， B(1,0,0)则 BC (1,0，3)， BB1 AA1 ( 1，3，0)， A1C (0，3，3)设 n(x，y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，n·BC 0，x 3z 0，可取 n( 3，1， 1)则即n·BB1 0. x3y0.n， A1Cn·A1C10故5.|n| A1C |10所以 A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值为5 .(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步

11、骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标； 写出向量坐标； 结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即 cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例 3、如图，在四棱锥 S-ABCD 中， ABAD，ABCD，CD3AB3，平面 SAD平面 ABCD， E 是线段 AD 上一点， AEED3，SEAD.(1)证明：平面 SBE平面 SEC；(2)若 SE1，求直线 CE 与平面 SBC所成角的正弦值解： (1)证明：平面 SAD平面ABCD，平面 SAD 平面 ABC

12、DAD，SE? 平面 SAD，SEAD，SE平面ABCD.BE? 平面 ABCD，SEBE.ABAD， ABCD，CD3AB 3， AE ED3，AEB 30°，CED 60°. BEC90°，即 BECE. 又 SECEE，BE平面SEC. BE? 平面 SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线 ES，EB，EC 两两垂直如图，以E 为原点， EB 为 x 轴， EC 为 y 轴， ES为 z 轴，建立空间直角坐标系则 E(0,0,0)，C(0,2 3，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以 CE (0，2 3，0)， CB (2， 2 3，

13、0)， CS (0， 2 3， 1)设平面 SBC 的法向量为 n(x，y，z)，n·CB 0，2x 2 3y0，则即令 y 1，得 x 3，z2 3，n·CS 0.2 3y z0.则平面 SBC 的一个法向量为 n( 3，1,2 3)设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为 ，则 sin | n·CE|1，|n| |·CE |41故直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为 4.例 4、如图是多面体ABC-A1B1C1 和它的三视图(1)线段 CC1 上是否存在一点E，使 BE平面 A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求

14、平面 C A C 与平面 A CA 夹角的余弦值111解： (1)由题意知 AA1，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，ABA(0,0,0)A1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(0， 2,0)， C1( 1， 1,2)，则 CC1 (1,1,2)， A1C1 (1， 1,0)，A1C (0， 2， 2)设 E(x， y， z)，则 CE (x，y2，z)，EC1 (1x， 1y,2z)设 CE EC 1 (>0)，x x， 2y 2 y，则 E2 ，则，111z2z，2 2 2BE，.1112 2 0，· ，1 1 BE A1C10解得 2，由得BE

15、83;A1C 0，2 20，11 所以线段 CC上存在一点 E， CE 2 EC 1，使 BE平面A CC .111m·A1C1 0，xy0，(2)设平面 C A C 的法向量为 m(x，y，z)，则由得11m·A1C 0，2y 2z0，取 x1，则 y 1， z1.故 m(1， 1,1)，而平面 A1CA 的一个法向量为n (1,0,0)，则 cosm，nm·n133|m|n|3，故平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值为3.3利用空间向量解决探索性问题例 1、如图 1，正 ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高， E，F 分别是 AC 和 B

16、C 边的中点，现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图 2)(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；(2)求二面角 E-DF-C 的余弦值；BP(3)在线段 BC 上是否存在一点P，使 APDE？如果存在，求出 BC的值；如果不存在，请说明理由 解(1)在ABC 中，由 E，F 分别是 AC，BC 中点，得 EFAB.又 AB?平面 DEF ，EF? 平面 DEF ，AB平面DEF .(2)以点 D 为坐标原点，以直线DB，DC，DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)， B(2,0,0)，C(0， 2 3，0)

17、， E(0，3， 1)，F(1，3， 0)， DF (1，3，0)， DE (0，3， 1)， DA (0,0,2)平面 CDF 的法向量为 DA (0,0,2)设平面 EDF 的法向量为 n(x， y，z)，DF ·n0，x 3y0，取 n(3， 3，3)，则即DE ·n0，3y z0，cos DA ，nDA ·n21217，所以二面角 E-DF -C 的余弦值为7.|DA |n|(3)存在设 P(s，t,0)，有 AP (s， t， 2)，则 AP ·DE 3t20，t 233，又 BP (s2，t,0)， PC (s,2 3t,0)，BP PC ，

18、(s2)(23t) st，2341 3s t2 3. 把 t 3代入上式得 s3，BP3BC ，BP1在线段BC 上存在点 P，使 APDE.此时， BC3.1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断 .2 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法 .例 2、.如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B 1C1 中， ACB90°，AA1 BC 2AC2.(1)若 D 为 AA1 中点，求证：平

19、面B1CD平面 B1C1D；(2)在 AA1 上是否存在一点D，使得二面角 B1 -CD -C1 的大小为 60°？解： (1)证明：如图所示，以点C 为原点， CA，CB，CC1 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(1,0,0)， B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即 C1 B1 (0,2,0)， DC1 (1,0,1)， CD (1,0,1)由 C1 B1 ·CD (0,2,0) (1,0,1)· 0 0 0 0，得 C1 B1 CD ，即 C1B1CD.由 DC1 ·CD ( 1,0,1)

20、(1,0,1)· 1010，得 DC1 CD ，即 DC1CD.又 DC1 C1B1C1，CD平面B1C1D.又 CD? 平面 B1CD，平面B1CD平面B1C1D.2(2)存在当 AD 2 AA1 时，二面角 B1-CD-C1 的大小为 60°.理由如下：设 ADa，则 D 点坐标为 (1,0，a)， CD (1,0，a)， CB1 (0,2,2)，设平面 B1CD 的法向量为 m (x，y， z)，m·CB1 02y2z0，令，得，则?m·CD 0xaz0，z1m(a,11)又CB (0,2,0)为平面 C1CD 的一个法向量，则 cos 60 &#

21、176;|m·CB | 11，|m| ·|CB |a2222解得 a 2(负值舍去 )，故 AD22 AA1.在AA1上存在一点 D 满足题意空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性， 能把“非运算”问题“运算”化， 即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题 解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系， 因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领悟好例 1、如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD ，BCCD2，AC4， ACB ACD 3， F 为 PC 的中点， AF PB.(1)求 PA 的长；(2

22、)求二面角 B-AF-D 的正弦值(1)学审题 审条件之审视图形建系PA面ABCD由条件知 ACBDDB，AC 分别为 x，y 轴写出 A，B，C，D 坐标 设PFCFAFPBP 坐标 可得 F 坐标 AF ·PB 0得 P 坐标并求 PA 长(2)学审题由(1) AD ， AF ， AB 的坐标向量 n1， n2分别为平面 FAD、平面 FAB的法向量1·AD 011 2求得夹角余弦n且 n·AF 0求得 n ·n 解(1)如图，连接 BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即BCD 为等腰三角形，又AC 平分BCD，故 ACBD.以 O 为坐标原点，

23、 OB ， OC ， AP 的方向分别为x 轴， y轴，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系O-xyz，则 OCCDcos 31.而 AC 4，得 AOACOC3.又 ODCDsin33，故 A(0， 3,0)， B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(3， 0,0)因底面，可设，由为边中点，知0， 1， z又 0，2，z，PAABCDP(03 z)FPCF2 .AF2z2PB (3， 3， z)，AFPB，故 AF ·PB 0，即 6 2 0， z 23(舍去 23)，所以|PA|23.(2)由(1)知 AD (3，3,0)， AB (3， 3,0)， AF (0,2，3)设平面

24、FAD 的法向量为n (x ，y ，z )，平面 FAB 的法向量为 n(x ， y ，z )，11112222 3x1 3y1 0，由 n1·AD 0，n1·AF 0，得因此可取 n1(3，3， 2)2y13z10，3x23y20，由 n2·AB 0，n2·AF 0，得故可取 n2(3，3，2)2y23z20，n1·n21从而法向量 n1， n2 的夹角的余弦值为cosn1，n2 |n1| |·n2|8.3 7故二面角 B-AF-D 的正弦值为 8 .建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系本题利用 ACBD ，若图中存

25、在交于一点的三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例 2、如图，在空间几何体中，平面 ACD平面 ABC，AB BC CA DA DC BE 2.BE 与平面 ABC 所成的角为 60°，且点 E 在平面 ABC 内的射影落在 ABC 的平分线上(1)求证： DE平面 ABC；(2)求二面角 E-BC-A 的余弦值解：证明： (1)易知ABC，ACD 都是边长为 2 的等边三角形，取 AC 的中点 O，连接 BO

26、，DO，则 BOAC，DOAC. 平面ACD平面ABC，DO平面ABC.作 EF平面ABC，则 EFDO.根据题意，点F 落在 BO 上，EBF60°，易求得 EF DO3，四边形 DEFO 是平行四边形， DEOF.DE?平面 ABC， OF? 平面 ABC，DE平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，可求得平面 ABC 的一个法向量为n1(0,0,1)可得 C(1,0,0)， B(0，3， 0)，E(0，31，3)，则 CB (1，3， 0)， BE (0， 1，3)设平面 BCE 的法向量为 n2 (x， y，z)，则可得 n2·CB 0，n2

27、83;BE 0，即(x，y，z) ·(1， 3，0)0，(x， y， z) ·(0， 1， 3)0，可取 n2(3， 3，1)n1·n113故 cosn1，n2 |n1 | |·n2 | 13 .又由图知，所求二面角的平面角是锐角，13故二面角 E-BC-A 的余弦值为 13 .专题训练1.如图所示，在多面体 ABCDA1B1C1D1 中，上、下两个底面 A1B1C1D1 和 ABCD 互相平行，且都是正方形， DD 1底面 ABCD，ABA1B1，AB 2A1 B12DD 12a.(1)求异面直线 AB1 与 DD 1 所成角的余弦值；(2)已知 F

28、是 AD 的中点，求证： FB1平面 BCC1B1.解：以 D 为原点， DA， DC ，DD1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)， C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0， a， a)(1)AB1 (a，a，a)， DD1 (0,0，a)，cos AB1， DD1AB1 ·DD133，| AB1 | |·DD1 |3所以异面直线 AB1 与 DD 1 所成角的余弦值为3 .(2)证明：BB1 (a， a，a)， BC (2a,0,0)， FB

29、1 (0， a， a)，FB1 ·BB1 0，FB1 BB1 ，FB1BC.FB1 ·BC 0.BB1BCB，FB1平面BCC1B1.2如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形，平面 ABC平面 AA1C1C，AB 3， BC 5.(1)求证： AA1平面 ABC；(2)求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值；BD(3)证明：在线段 BC1 上存在点 D，使得 ADA1 B，并求 BC1 的值解： (1)证明：因为四边形 AA11C为正方形，所以1CAAAC.因为平面 ABC平面AA1C1C，且 AA1 垂直于这两个平面的交线AC，所以

30、 AA1平面ABC.(2)由(1)知 AA1AC，AA1AB.由题知 AB3，BC5，AC4，所以 ABAC.如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz，则 B(0,3,0)， A(0,0,4)， B (0,3,4)， C (4,0,4)，111A1 B (0,3， 4)， A1C1 (4,0,0)设平面 A1BC1 的法向量为 n(x， y，z)，n·A1B 0，3y4z 0，令 z3，则 x 0， y 4，所以 n (0,4,3)则即n·A1C1 0.4x0.n·m16同理可得，平面B1BC1 的一个法向量为m(3,4,0)所以 cos n， m |n

31、|m| 25.16由题知二面角A1-BC1-B1 为锐角，所以二面角A1-BC1-B1 的余弦值为25.(3)证明：设 D(x， y， z)是直线 BC1 上一点，且 BD BC1 .所以 (x，y3，z)(4， 3,4)解得 x4，y33，z 4.所以 AD (4， 3 3，4)由 AD ·A B 0，即 9 25 0，解得 9.125911因为 250,1 ，所以在线段 BC 上存在点 D，使得 ADA B.此时， BD 9 .BC1253如图 (1)，四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， DB2，DC1，BC5，ABAD 2.将图 (1)沿直线 BD 折起，使得二面角

32、A-BD-C 为 60°，如图 (2)(1)求证： AE平面 BDC；(2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值解： (1)证明：取 BD 的中点 F，连接 EF，AF，则 AF1， EF1， °2AFE60 .21 213由余弦定理知 AE1 22×1×2cos 60°2 .AE2EF2 AF2，AEEF.ABAD，F 为 BD 中点BDAF.又 BD 2，DC1，BC5，BD2DC2 BC2，即 BDCD.又 E 为 BC 中点， EFCD，BDEF.又 EFAFF，BD平面AEF.又 BDAE，BDEFF，AE平面BDC.(2)以

33、 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A， ，3 ，002C1，1，0，B 1， 1，0 ，2211313D1， 2，0 ， DB (2,0,0)， DA 1，2， 2， AC 1，2， 2 .设平面 ABD 的法向量为 n(x， y， z)，n·DB 02x0，由得取 z3，n·DA 013x2y2 z0，则 y 3，又n(0， 3， 3)cosn， AC n·AC64.|n| AC |10故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为 4 .4如图所示，在矩形 ABCD 中， AB35， AD6，BD 是对角线，过点 A 作 AEBD，垂足为 O，交 C

34、D 于 E，以 AE 为折痕将 ADE 向上折起，使点D 到点 P 的位置，且 PB41.(1)求证： PO平面 ABCE；(2)求二面角 E-AP-B 的余弦值解： (1)证明：由已知得 AB3 5，AD 6，BD 9.在矩形 ABCD 中，AEBD，DOADRtAODRtBAD，DO4，BO 5.ADBD在POB 中， PB41，PO4，BO5，PO2 BO2PB2，POOB.又 POAE， AE OB O，PO平面ABCE.(2)BO 5，AOAB2OB2 2 5.以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，A(25，0,0)， B(0,5,0)，PA (25， 0

35、， 4)， PB (0,5， 4)n1·PA 0，25x 4z0，设 n1 (x， y， z)为平面 APB 的法向量则即n1·PB 0，5y4z0.取 x2 5得 n1(2 5，4,5)又 n2 (0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量，cosn1， n2n1·n2 4461，|n1 | |·n2|61×1614 61故二面角 E-AP-B 的余弦值为 61 .5.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PAPD 2，PA PD，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，ABBC1，O 为 AD 中点

36、(1)求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值；(2)求 B 点到平面 PCD 的距离；6PQ(3)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q-AC-D 的余弦值为 3 ？若存在，求出 QD的值；若不存在，请说明理由解： (1)在PAD 中， PA PD， O 为 AD 中点，所以 POAD.又侧面 PAD底面ABCD，平面PAD平面 ABCDAD，PO? 平面 PAD，所以 PO平面ABCD.又在直角梯形 ABCD 中，连接 OC，易得 OCAD，所以以 O 为坐标原点， OC，OD，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1

37、， 1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，PB (1， 1， 1)，易证 OA平面POC，OA (0， 1,0)是平面 POC 的法向量，OA3. 直线PB 与平面 POC 所成角的余弦值为6.cos PB ， OA PB ·| PB |OA |33(2)PD (0,1， 1)， CP (1,0,1)设平面 PDC 的一个法向量为u (x，y， z)，u·CP x z0，取 z1，得 u (1,1,1)B 点到平面 PCD 的距离为 d| BP ·u|3则|u| 3 .u·PD yz0，(3)假设存在一点 Q，则设 PQ PD(0<<

38、1)PD (0,1， 1)，PQ (0， ) OQ OP ，OQ (0， ， 1 )，Q(0，1)设平面 CAQ 的一个法向量为 m(x，y，z)，又 AC (1,1,0)，AQ(0， 1,1)，m· x y 0，AC取 z1，得 m(1，1，1)，则m·AQ 1 y 1 z0.6又平面 CAD 的一个法向量为 n (0,0,1)，二面角 Q-AC-D 的余弦值为 3 ，|m·n|621所以 |cosm， n |m|n|3，得 31030，解得 3或 3(舍)，PQ1所以存在点 Q，且 QD2.6如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱

39、SA底面 ABCD， AB 垂直于 AD 和 BC， SAABBC2，AD1.M 是棱 SB 的中点(1)求证： AM平面 SCD；(2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值；(3)设点 N 是直线 CD 上的动点， MN 与平面 SAB所成的角为 ，求 sin 的最大值解：(1)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)所以 AM (0,1,1)， SD (1,0， 2)， CD (1， 2,0)设平面 SCD 的法向量是 n(x， y， z)，SD ·n

40、0，x2z 0，则即令 z 1，则 x2，y 1，CD ·n0，x2y0.于是 n(2， 1,1)AM ·n0，AM n.又 AM?平面 SCD，AM平面SCD.(2)易知平面 SAB 的一个法向量为n1(1,0,0)设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ，n1·n1，0，0 ·2， 1， 1266则 |cos | |n1| ·|n|1· 61·63 ，即 cos 3 .6平面SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为3 .(3)设 N(x,2x2,0)(x1,2) ，则 MN (x,2x 3， 1)又平面 SA

41、B 的一个法向量为 n (1,0,0)，1x，2x3， 1 ·1， 0， 0x1sin 2222115x 12x105 12·10·x 2x3 1 ·1xx211.111310212 51027xxx5513535当 x5，即 x3时，(sin )max7 .7、如图，四边形ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形， FAB DAB90°，AFABBC2，AD1，FA CD.(1)证明：在平面 BCE 上，一定存在过点C 的直线 l 与直线 DF 平行；(2)求二面角 F-CD-A 的余弦值解： (1)证明：由已知得， BEAF，BCAD，BEBCB，ADAFA，平面BCE平面ADF.设平面 DFC 平面 BCEl，则 l 过点 C.平面BCE平面ADF，平面 DFC 平面 BCE l，平面 DFC平面 ADFDF.DF l，即在平面 BCE 上一定存在过点C 的直线 l ，使得 DF l.(2)FAAB， FACD，AB 与 CD 相交，FA平面ABCD.故以 A 为原点， AD，AB， AF 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图由已知得， D(1