抛物线的参数方程

1、14.抛物线的参数方程审核:主备:学习目标: 2.学习重点: 学习难点: 学习过程:1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题椭圆参数方程的应用，椭圆参数方程中参数的意义.一、课前准备：阅读教材P33 P34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题:x(1) y1.将下列参数方程化为普通方程：2 t 22(t 为参数)，答：y x2 5x 3；t2 t 32m2(m为参数)，答：y2 8x .4m2.将下列普通方程化为参数方程:(1) y 2x2,其中 xxt 1 （t为参数），答：y2t2（2）3y2 4x,其中 xt （t 0

2、为参数），答：y二、新课导学：（一）新知：抛物线的参数方程的推导过程：如图：设 M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线0M为终边的角记为，当 在（一,一）内变化时,点M在抛物线上运动，并且对于 线上都有口t一的 M点与对应.因此, 抛物线的参数方程.2 2的每一个值，在抛物可以取 为参数探求根据三角函数的定义得,tany上，即y xtan x联立2 一一y 2px ,得2ptan2（为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程,2ptantan2 4, t2但方程的形式不够简洁,x 2 Pt2,t (,0)U(0,)，则 x pt (t 为参数),y 2pt0时，由参数方程得，正好为顶点

3、0（0,0）,因此当t （）时，上式为2 Px的参数方程.:参数t的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数动动手：（1）选择适当的参数t,建立抛物线x2 2py的参数方程.【解析】如图,(0，2)u (万，)，根据三角函数的定2义得，t tany ,即 y xt ,联立 x2 2py ,得xx 2 pt s0 (t为参数).y 2pt(2)可选择M到准线的距离t为参数，y22 Px的数方程是怎样的【解析】如图，|MA | t ,则x t孝，代入抛物线方程，得y 2pt t2 ,所以，抛物线的参数方程为t B2( t为参数),2pt t2(二)典型例题：【例1】A、B是

4、抛物线y2 2x上异于顶点的两动点,且OA OB, OM AB并与AB相交于M ,求点M的轨迹方程【解析】 uuu 由OA_2(2tit2) uuuu又OM2x(t；2 _ _2 _一万法一：设 M(x,y), A(2ti,2ti), B(2t2 , 2t2) (t1 t2,且 11t2 0). uur uuu uuuOB，所以 OA OB 0 ,一2， 一2 城20 , tit21uurAB ,所以2_ti ) 2(t2uuuu uuuOM AB 0,ti)所以 x(t1 t2) yuuuu又 AM (x 2ti2,y0,ti2ti),t2 uuir MB-(xx2(2t20)x,2t2 y

5、)且 A,m ,(x由,B共线._ 2_2ti )(2t2代入,y)得到2(y2 x一 - 22ti)(2t2 x),即 y(ti t2) 2tit22x 0(x 0),这就是所求M点的轨迹方程.方法二：设吟山10),2 y2 B( 20),因为OA OB ,所以近222 2yy20 ， y1y2直线AB的方程为：y y1-yi(x 2),yiy2所以直线AB过定点C(2p,0)又OM AB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆，则 M的轨迹方程为 222(x P) y p (y 0).动动手：已知O是坐标原点，A、B是抛物线 x 2pt (t为参数)上异于顶点的两动点, y 2pt且OA OB

6、,求AB中点M的轨迹方程.22 _【解析】设 A(2pti ,2pti) , B(2 pt2 ,2 pt2),由 OA OB,得 tit21,x又中点M (x, y)由y-2-22pti2 Pt2二2pti 2 Pt2222PH t22),结合11t 2P(tl t2)1,得点M的方程为：y2 p(x 2 p).三、总结提升：1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化 .2 _一一 _ 2 _ 一2 .抛物线y 2px(p 0)上任意一点可以设为 M (2 pt ,2 pt).3 .在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐

7、标四、反馈练习： . x 4t 1 .若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则PF等于(C )y 4tA 2 B . 3 C . 4 D.52 .抛物线x 2m2 (m为参数)的焦点坐标是(B )y mA . ( 1,0) B . (0, 1) C . (0, 2) D . ( 2,0)3 .已知曲线x 2 Pt (t为参数，p为正常数)上的两点M ,N对应的参数分别为t1和t2 ,y 2pt且t1 t2 0,那么 MN( C )A.pt1 B .2pt1C .4pt1D .8pt14 .若曲线 x 2Pt (t为参数)上异于原点的不同的两点M1、M2所对应的参数分别是t1、y 2ptt2 ,求M1M2所在直线的斜率.【解析】由于M 1、M2所对应的参数分别是t1、t2 ,所以可设两点 Mi、M2坐标分别为，一 2 一 、 ，一 2 一 、Mi(2 pt1 , 2 pt1 ),M2(2 pt2,2ptz),所以，kM1M 22 pt12 pt21222 Pti22 Pt2t1 t25 . A、B是抛物线y2 2x上异于顶点的两动点，且 OA OB,点A、B在什么位置时, AOB的面积最小最小值是多少【解析】设 A(2t12,2t3 B(2t22,2t2) (t1 t2,且11t2 0),则 |OA| 2|t1h/tf,