知识要点空间直角坐标系

1、空 间 直 角 坐知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指;已知点的坐标 P（x, y, z）作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x 0时）或负方向（x 0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y 0时）|z|负方向（y 0时）移动I y |个单位，最后沿 x轴正方向（z 0时）或负方向（z 0时）移动个单位，即可作岀点 已知点的位置求坐标的方法: 过P作三个平面分别与 x轴、y轴、z轴垂直于A, B,C，点A,B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a, b, c，则（a,b,c）就是点P的坐标2、在x轴上的点分别可以表示

2、为（a,0,0）,（0,b,0）,（0,0,c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a,b,0）,（a,0,c）,（0,b,c）；3、点P（a,b,c）关于x轴的对称点的坐标为（a, b, c）点P（a,b,c）关于y轴的对称点的坐标为 （a,b, c）；点P（a,b,c）关于z轴的对称点的坐标为（a, b,c）；点P（a, b,c）关于坐标平面 xOy的对称点为（a,b, c）；点P（a,b,c）关于坐标平面xOz的对称点为（a, b,c）；点P（a,b,c）关于坐标平面yOz的对称点为（a,b,c）；点P（a,b,c）关于原点的对称点（a, b, c）。4.已知空间两点

3、P（X1, y1, Z1）Q（X2, y2,Z2），则线段PQ的中点坐标为（xX2,_yy2 Z25.空间两点间的距离公式已知空间两点 P(xi, yi ,Zi)Q(X2, y2, Z2)，则两点的距离为 |PQ| J(X1 X2)2 (y1 y2)2 (Z1 Z2)2特殊地，点A(x, y, z)到原点O的距离为| AO | Jx2y2z22 2 2 25.以C(X0,y0,z0)为球心，r为半径的球面方程为 (X 冷)(y y。) (z z。)r特殊地，以原点为球心，r为半径的球面方程为X2 y2 Z2 r2重难点突破重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空

4、间两点间的距离公难点：借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1.借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点P(a,b,c)到y轴的距离为解析借助长方体来思考，以点O,P为长方体对角线的两个顶点，点P(a,b, c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为J'a2 c22.将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数 x,y,z， 求 JX2 y2 z2 7(x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 的最小值解析在空间直角坐标系中，jxy2z27

5、(x1)2(y2)2(z1)2表示空间点(x, y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(1,2,1)之间的线段长，所以賦z J(x 1)2(y 2)2(z 1)2的最小值为 J6。3.利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直判断空间三点是否共线得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1：空间直角坐标系题型1:认识空间直角坐标系(1)在空间直角坐标系中,y a表示A. y轴上的点.过y轴的平面(2)A.垂直于y轴的平面在空间直角坐标系中，方程在坐标平面xOy中，1，经过Z轴的一个平面【解题思路】认

6、识空间直角坐标系.平行于y x表示象限的平分线y轴的直线B平行于Z轴的一条直线.平行于Z轴的一个平面,可以类比平面直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中，方程X 1表示所有横坐标为1的点的集合解析(1) y a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以 y a表示经过点(0, a,0)且垂直于y轴的平面(2)方程y x表示在任何一个垂直于 Z轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系，可以帮助我们认识空间直角坐标系要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如:经过点(a,0,0)且垂直于x轴的平面上的点都可表示为(a,y, Z)题型2:空

7、间中点坐标公式与点的对称问题例2 点P(a,b,c)关于Z轴的对称点为p1，点p关于平面xOy的对称点为P2，则P2的坐标为_【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和P关于Z轴对称，所以点P和P的竖坐标相同，且在平面xOy的射影关于原点对称,故点P的坐标为(a, b,c),又因点P和F2关于平面xOy对称,所以点P2坐标为(a, b, c)【名师指弓I】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象，二要从它们在坐标平面的射影找关系，如借助空间想象，在例2中可以直接得岀点P2为点P(a,b, c)关于原点的对称点，故坐标为(a, b, c)【新题导练】1.

8、已知正四棱柱 ABCD A1B1C101的顶点坐标分别为A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0)，A (0,0,5)，贝y C1的坐标为解析正四棱柱ABCD A B1C1D1过点A的三条棱恰好是坐标轴,C1的坐标为(2，2，5)2平行四边形 ABCD的两个顶点的的坐标为A( 1,1,3),B(3,2, 3)，对角线的交点为 M (1,0,4)，则顶点C的坐标为顶点D的坐标为解析由已知得线段 AC的中点为M,线段BD的中点也是 M,由中点坐标公式易得C(3, 1,5)，D(1, 2,11)3.已知 M (4,3,1)，记M到x轴的距离为a， M到y轴的距离为b， M到z轴的距离为

9、c，则A. a b c.cab D解析借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度。5，选考点2:空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例3 如图：已知点 A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点 P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA AB恒成立？若存在，求岀 B点的坐标；若不存在，说明理由。2 2 2【解题思路】转化为距离问题，即证明PA AB PB解析设 P(0,0,c) B(O,b,O)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，假设在Oy轴上存在一点 B，使得PAOB YAZP则 PA2 AB2PB22(0 1) (01)2 (c2 2 2 2 2 20) (

10、10)(1 b) (00) (0 0)(0 b) (c0)2即 3 (b 1)22b，解得:所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA AB恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点 共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4.已知 A(x,5 x,2x 1), B(1,x2,2 x)，当A, B两点间距离取得最小值时，x的值为A. 191914解析|AB| J(x 1)2(3 2x)2(3x3)2如/ 12x 19 飙X |)2 号8当x °时，|AB|取得最小值72 2 25.已知球面(X 1) (y 2) (z 3)9

11、，与点A( 3,2,5)，则球面上的点与点 A距离的最大值与最小值分别是解析球心C(1, 2,3), AC 6，球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是9和36 .已知三点A( 1,1,2), B(1,2, 1),C(a,0,3)，是否存在实数a，使A B C共线？若存在，求岀 a的值；若不存在，说明理由。解析AB J( 1 1)2(1 2)2(2 1)2414 ,AC J( 1 a)2(1 0)22(2 3)J(a 1)22，BC J(1 a)2 (2 0)2(13)2J(a1)220，因为BC AB，所以，若A, B,C三点共线，有BCAC AB 或若 BC ACAB，整理得：5a218

12、a190，此方程无解；若 AC BCAB，整理得：5a218a190，此方程也无解。所以不存在实数a，使 A、BC共线。抢分频道AC BC AB,基础巩固训练1.将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将 x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成().75°A. 900 B . 1350 C . 450 D解析：选B2.点P(3,4,5)在yoz平面上的投影点P的坐标是A . (3,0,0) B . (0,4,5)C . (3,0,5)D .(3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选3.三棱锥 0 ABC 中，O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0

13、,3)此三棱锥的体积为()A. 11 1解析OA,OB,OC 两两垂直，VO ABC 1 1 1 2 313 24. ( 2007山东济宁模拟)设点 B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，贝|AB|等于()解析A点A（2,-3,5）关于平面xOy的对称点为 B（2, 3, 5）,5. （ 2007年湛江模拟）点P（1,2,3）关于y轴的对称点为P , P关于平面xOz的对称点为P2，则IRP2I =解析P( 1,2, 3) , F2(1, 2,3) ,IP1P2I V566. 正方体不在同一表面上的两顶点P （-1 , 2 , -1 ） , Q（ 3 , -2 , 3）,则正方体的体

14、积是解析 P,Q不共面，PQ为正方体的一条对角线，PQ 4j3,正方体的棱长为 4,体积为 64综合提高训练7.空间直角坐标系中，到坐标平面xOy , xOz, yOz的距离分别为2, 2, 3的点有个 个 个个解析：8个。分别为（3, 2 , 2）、(3, 2, -2 )、( 3, -2 ,2)、( 3, -2 , -2 )、( -3 , 2, 2八(-3 , 2, -2 )>( -3 , -2 , 2)、(-3 , -2 , -2 )8.（ 2007山东昌乐模拟）三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1, 2,11),B(4,2,3),C(6, 1,4)，则ABC的形状为（）A.正三角形

15、B 锐角三角形C.直角三角形.钝角三角形解析C9. (2008年佛冈一中模拟）已知空间直角坐标系O xyz中有一点A(1, 1,2），点B是平面xOy内的直线xy 1上的动点，贝y A,B两点的最短距离是（）x 1,0),解析因为点B在xoy平面内的直线 x y 1上，故可设点B为（x,所以 AB J(x 1)2 ( x 2)2 (0 2)2 V2x2 2x 92& -)2 卫f221 7341 1所以当丄时，AB取得最小值 丄4，此时点B为（-1,0）。2 22'2O xyz，点P在正方体的对角线 AB上，点Q在正方体的棱CD上。探究(2)探究当点P为对角线AB的中点，点PQ的最小值;当点P在对角线AB上运动，点PQ的最小值;Q在棱CD上运动时,Q为棱CD的中点时,B/Z11111O1斗1 1p1 1 、 -ZziDQA10.如图，以棱长为 a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系解析由已知 A(a,a,0), C(0,a,0), D(0,a, a), B(0,0