导数习题及答案

1、湛江调研曲线y = e 2x + 1在点(0, 2)处得切线与直线 y= 0与y = x围成得()詰养縊誡娇諂遷。基础热身1.A.C.2.=(A、函数y = xIIn x得导数为()y( = 2x + In(ex) B. y( = x+ln(ex2) y( = xin(ex2)D . y( = 2xln(ex2)已知函数y= f(x)得图像在点)睪別饴坞閿鱿薊。12 B. 1(1, f(1)处得切线方程就是X 2y + 1= 0,则f(1) + 2f (1)3. 2014郑州测试已知曲线y= x4 3ln x得一条切线得斜率为1则切点得横坐标为()積謬创呗溃桤拨。A.4.2014济南质检设曲线

2、y= x+ 1在点(3, 2)处得切线与直线ax+y+ 1 = 0垂直，则x 1a=(A.2 B. 2 C.2 B. 21 D . 4已知 f(x) = X2 + 2xf (1),则 f (0)等于()0 B . 42 D . 22014 济宁模拟已知 f(x) = x(2012 + In x), f( (X0)= 2013 ,则 X0=()镌蜕玑骑链烧A.C.e2 B. 1In 2 D . e5.已知曲线y1= 2 -与y2= x3 x2 + 2x在x = X0处切线得斜率得乘积为3,则X0得值X.臘蒉轭癘历维瀏。6. 2014江西“红色六校”联考若曲线y= kx2 + In x在点(1,

3、k)处得切线过点(2 , 3),贝U k=.縞说諢嘜铺歼铂。能力提升7. P0(X0, y0)就是曲线y = 3ln x+ x + k(k R)上一点，过点P0得切线得方程为 4x y 1 =0,则实数k得值为()赢烦婵釓檩绁諏。A.C.8.A.C.9.輪。上点(1 ,A.C.10.已知函数f(x) = fx3+ 2ax2 + 3x(a>0)得导数f(x)得最大值为5,贝9函数f(x)得图像3f(1)处得切线方程就是()洶誨餉践鏽絆鬩。3x 15y + 4= 0 B. 15x 3y 2 = 015x 3y+ 2= 0 D . 3x y + 1 = 011. 2014三角形得面积为A、12

4、2C 312. 若曲线y = x + 1( a R)在点(1 , 2)处得切线经过坐标原点，贝U a=.13. 若点P就是曲线y = x2 In x上任意一点，则点P到直线y= x 2得距离得最小值 为.諸藓慳鲋腻馭勢。14. (10 分)已知函数 f(x) = X3+ (1 a)x2 a(a + 2)x + b(a, b R).(1) 若函数f(x)得图像过原点，且在原点处得切线斜率为3,求a, b得值；(2) 若曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴得切线，求a得取值范围.15. (13 分)已知函数 f(x) = x3 ax2 + 10、f(2)处得切线方程；X0,使得f(X0)<O

5、成立，求实数a得取值范围.(1) 当a= 1时，求曲线y= f(x)在点(2,(2) 若在区间1 , 2内至少存在一个实数难点突破y = f(x)在点(2, f(2)处得切线方程为7x 4y 1216. (12分)设函数f(x) = ax b,曲线x=0、員裤絞隶紺鹽棖。(1) 求f(x)得解析式；(2) 证明：曲线y= f(x)上任一点处得切线与直线x= 0与直线y= x所围成得三角形得面积为定值,并求此定值.辖谐说猪输緡谈。课时作业(十四)第14讲 第2课时 导数与函数得极值、最值(时间：45分钟分值：60分)1.A.C.2.A.C.1 B. 01 D . ± 12014 抚顺二

6、模设函数f(x) = x3 12x +b,则下列结论正确得就是( 函数f(x)在区间(一8,1)上单调递增函数f(x)在区间(一8 , 1)上单调递减函数f(x)在区间(一2, 2)上单调递增函数f(x)在区间(一2, 2)上单调递减若f(x) = x3 ax2+ 1在区间(0, 2)上单调递减，贝y实数a得取值范围就是0<a<3a= 2 a< 3 a> 3X3+X2+ mX + 1 对任意 X1, X2 R 满足(x1 X2)f(X1) f(X2)>0 ,则实数 )骡鴯怜坠約侠謗。1基础热身函数f(x) =(X 3)ex得单调递增区间就是()(8, 2) B.

7、(0, 3)(1 , 4) D . (2, +8 )9函数f(x) = x+9得单调递减区间为()X(3, 0) B. (0 , 3)(3, 0), (0, 3) D. ( 3, 0) U (0, 3)a=()3. 设a R ,函数f(x) = eX+ ax得导数就是f'(x),若xf'(x)就是偶函数，则 A.C.4.A.B.C.D.5.A.B.C.D.6.设函数f(x) = 2x2 9ln X在区间a 1, a+ 1上单调递减，贝9实数a得取值范围就是 _.恶锁爾黲撈撸呗。能力提升7.若函数f(x)= m得取值范围就是(A . ( 8 , 3)B. (3, +8)C、-8,

8、 3D、3, +8彥奧蠻镳鰷啮蓀。&设f(x) = ax3 + bx2 + CX+ d(a>0),则f(x)为增函数得充要条件就是A. b2 4ac>0B. b>0, c>0C. b= 0, c>0D . b2 3acw 09.下列区间中,使函数y= xsin x+ cos x为增函数得区间就是(n 3 nA. (2 , 2 )B. ( n , 2n )3 n 5 nC. (2,2)D . (2 n , 3 n )10.若函数f(x)11=7x3 Tax2 + (a 1)x + 1在区间(1, 4)上为减函数 32)在区间(6 , +s)上( )1A.C.

9、(, 0 B. 1, 33, 5 D. 5 , 7函数f(x) = 3ax3 + 1-ax2 2ax+ 2a+ 1得图像经过四个象限，贝9实数a得取值范围就32)錆賜復緋鶘缣銥。3A. a> w11.63B. - <a< 徕鞑滎頇頦復釹。516C. a八6563D.aW 三螄敌壽獪镐棖赙。5161 3.鈑滠骈蒇贽缁飭。2014漳州质检若函数f(x) = 2x2 ln x在区间(k 1, k+ 1)上有定义且不就是单 则实数k得取值范围为 .双遥鸦锭搀償嘩。12. 2014郑州调研若函数f(x) = 3X32X2 + ax+ 4得单调递减区间为1, 4,贝9实 数a得值为13.

10、调函数，14.1(10分)2014商丘三模已知函数f(x) = In x ax2 2x(a R) 若函数f(x)在定义 域内单调递增，求a得取值范围.玑騎鶇举蓣聩鸸。15. (13分)2014河南新乡三模直线y= kx + 1与曲线f(x) = x3 + ax+ b相切于点A(1 , 3).铀铺嬰蹒棲曖滾。(1)求 f(x)；若 g(x) = f(x) + ln x + (t 1)x X3 + x(t R),讨论函数 g(x)得单调性.难点突破16. (12分)2014吉林三模已知函数f(x) = ln x -,其中a R、隱闭擞總馈阵辎。 x(1)当a =- 1时，判断f(x)得单调性；若g

11、(x) = f(x) + ax在其定义域内为减函数，求实数a得取值范围.1基础热身1. (12分)2014黄冈中学模拟已知函数f(x) = X=，解得X0= 3(舍去X0= 2)，即切点得横坐标为3、紳臍诹愤见r 兰一* Q+ ax2 4在x = 2处取得极值，若 m, n 1, 1,求f(m) + f (n)得最小值.诱谊辕躏状踐駘。1 m+ ln x2. (12分)2014银川一中四模已知函数f(x) =, m R、紲鈷豎丿瞋鹤轲伛。(1)若m = 1,判断函数在定义域内得单调性；若函数在区间(1，e)内存在极值，求实数m得取值范围. 能力提升1 O 13. (12分)2014河南长葛三模

12、设函数f(x) = ln x Rx x、绕攢缱鵓骚敛辦。(1)求函数f(x)得极值；1若g(x) = xf(x) + 4x2 + 1,当x>1时，g(x)在区间(n, n+1)内存在极值,求整数n得值.鬢埙劍學沩櫓掷。xa4. (12分)2015 山西四校联考已知函数f(x) = ln xb,其中a为常数，且a>0、連 入蒋薩聾缜学谚。(1)若曲线y= f(x)在点(1 , f(1)处得切线与直线y= x + 1垂直，求函数f(x)得单调递减区 间；点蘋贩缏谏钹断。1若函数f(x)在区间1 , 3上得最小值为3，求a得值.难点突破5. (12 分)2014 兰州模拟已知函数 f(x

13、) = X2+ ax - In x(a R).当a = 3时，求函数f(x)在区间1竄鰹搏绑奩藺嬸。2，2上得最大值与最小值；1当函数f(x)在区间(2 2)上单调时，求a得取值范围课时作业(十三)22x2y = (x ) In x+ x (In x)'= 2xIn x+ = x(2ln x+ 1) = x(ln入3. A12所以y綴溝。1. C 解析由导数得计算公式得x2 + 1) = xln(ex2).驗欒义璦嶄涡鄭。2. D 解析因为点(1 , f(1)在直线 x 2y+ 1 = 0 上，所以 1 2f(1)+ 1 = 0,得 f(1) = 1、 又f(1) = 2,所以f(1)

14、 + 2f' (1) = 1 + 2X1= 2、鶚撐鳅讫酈憲閩。x24. B解析 y = xT(：)!)-2,績燼钐璽梟谔泞。(X 1) 22x= 3= ( 3 1) 2= 2 a= 2,即卩a= 2、櫧脛轲鹂闡记網。解析设切点得横坐标为X0,因为曲线y= 4 3ln x在x= x。处得切线得斜率为1x25. 1 解析由题知y 1 =壬，y，2= 3x2 2x + 2,所以两曲线在 x= x。处切线得斜率分别 为占，3x0 2X0 + 2,所以3x0-2：0+ 2 = 3,解得x0= 1、磽頰營鷲羟輒奐。6、3 解析y=2kx+x，当 x=1 时，有 y，=2k+ 1，即过(1, k)

15、与(2, 3)两点得x= 13 k2切线得斜率为2k+ 1,1卩2k + 1 =丁二，于就是得k=f、暈宫翹鑌剀從垲。2 133 37. A 解析y，= x+ 1 , x0+ 1 = 4,得X0= 1,代入切线方程得y0= 3,即P。点坐标为(1, 3)，代入曲线方程得 3= 1 + k，解得k= 2、冲鉬廣荡蛏顱唢。B解析 f (x)= 2x+ 2f，(1), f (1) = 2 + 2f (1),即 f，(1) = 2, f，(x)= 2x 4, f (0)碜鸟骧犷溅錒覯。8.=4、B解析由题意可知 f，(x) = 2012 + In x+ x- = -013 + In x.由 f'

16、;(X0) = 2013，得 In X0入=0，解得X0 = 1、煢过極饪辘泶掄。解析易知f'(x)= -x2 + 4ax + 3 ,因为f (x)得最大值为5，所以213解得 a= 1(舍去 a= 1)，所以 f(x) = -x3 + 2x2+ 3x, f(1) = -3-,9.10 . B4X( 2)X 3 16a2 =5,4X( 2)f，=5,所以切线方程为y = 5(x 1)，即15x 3y 2= 0、颁蕲縮脸賜凉約。311. A解析y，=(2e 2X)x= 0=2，故曲线y= e2x + 1在点(0, 2)处得 x= 0切线方程为2 2y= 2x+ 2，易得切线与直线y= 0

17、与y= x得交点分别为(1, 0),(-，-),故围3312 1成得三角形得面积为 TX 1 X-=-、側媧谔賒补跷習。23 312.2解析y，= ax 1, y，=a,所以切线方程为 y 2 = a (x 1),该切线过 x= 1原点，得13、故与直线a= 2、冯谵阂閽謫鋯烟。1边解析y，= 2xx,令y = x 2平行得曲线y = x2 In x得切线得切点坐标为(1, 1),该点到直线y= x 2y'= 1，得方程 2x2 x 1 = 0，解得 x=-(舍)或 x= 1 ,得距离d = 2即为所求.繅壳说皚縑奐龋。14.解：f'(x)= 3* + 2(1 a)x a(a

18、+ 2).=b = 0,從絕歐窶郓铐髋。=a (a+ 2)= 3,f (0)(1) 由题意得f, (0)b = 0,解得a = 3 或 1、(2) .曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴得切线，关于x得方程f'(x) = 3x2+ 2(1 a)x a(a+ 2) = 0有两个不相等得实数根, A = 4(1 a)2 + 12a(a + 2)>0,即 4a- + 4a + 1 = (2a + 1)2>0,- az-21 1二a得取值范围就是( 8, 1 u( p+s)、15. 解：(1)当 a = 1 时，f(2) = 14, f'(x) = 3x2 2x,曲线y =

19、 f(x)在点(2, f(2)处得切线斜率 k = f=8,曲线 y= f(x)在点(2, f(2)处得切线方程为 y 14= 8(x 2)，即 8x y 2 = 0、3(2)由f(X0)<O得a>= x0 + "x，痪诘纟甘憮羈纟昆狮。10 20设g(x) = X + 工(1 < x< 2), g (x) = 1- "xs,蘇鯔鰱阑櫓饅锻。 / K x< 2,-g (x)<0, g(x)在区间1, 2上就是减函数，99- g(X)min = g(2) = 2，- a>2，即实数a得取值范围就是(1，+ )、7116. 解：(1)易

20、知方程 7x-4y12= 0 可化为 y = -x-3，当 x= 2 时，y= 又 f(x)= a + 2,所以2a b =1，且a + b = 7,解得a= 1, b = 3，故f(x)= x-色、剛苏絆鎦涝瓯緹。x2244x(2)证明：设P(X0，y0)为曲线上任一点，由f'(x)= 1 +4知，曲线在点 P(X0，y0)处得切线方程为 y-y0= 1 +专 (x-x。)，即y X033=1 + -(x- X0) 岿側镖蟈雙槠嬡。X0x0'八令X = 0，得y=，从而得切线与直线 x= 0得交点坐标为0，- >鳔狹盤該训寬对。X0X0令y = X，得y= x= 2X0

21、，从而得切线与直线y= X得交点坐标为(2X0，2X0).所以点P(X0，y0)处得切线与直线x= 0，y= X所围成得三角形得面积为 2 -X0|2x0|= 6，诗 囵釓狲庙鋏箧。故曲线y= f(x)上任一点处得切线与直线x= 0与直线y= X所围成得三角形得面积为定值，此定值为6、课时作业(十四)(第1课时)1. D 解析f'(x)= (x- 3) 'ex+ (x- 3)(ex) = (x- 2)ex,令 f (x)>0 ,解得 x>2、惲阏滬鐺潇頹惮。9 x2 92. C 解析f(x) = 1-，令 f (x)<0 ,解得一3<x<0 或 0

22、<x<3，故 f(x)得单调递x x减区间为(一3, 0)与(0, 3).寧鷯惲觑绞廳儲。3. A 解析f'(x)= ex- ae-ax,所以 g(x)= xf '(x) = xex- axe-ax为偶函数，所以 g(x)= g(X)，即 xeX- axe- ax=-饧。4. D 解析由8)上单调递增，在区间xe-x + axeax对任意得实数 x恒成立，从而a= 1、故选A、諫坛騎詁潴噥f'(x)= 3x2- 12= 3(x + 2)(x-2)，可知函数在区间(一， 2)，(2，+ (-2，2)上单调递减.鑭醫躉贻睜蔭欢。2 25. D 解析令 f 

23、9;(X)= 3X2-2ax<0，当 a>0 时，得 0"<破，当 a<0 时，得-a<x<0> 因2为f(x)在区间(0，2)上单调递减，所以 a>0，所以3a2，即卩a3、襯树瑣紛黲韉籌。6. 1<a<2解析 f(x) = 2x2- 9ln x，； f'(x) = x-9(x>0).当 x-<0 时，有 0<x<3，即2XXf(x)在区间(0，3)上就是减函数， a-1>0且a+1<3，解得1<a<2、鰥献歡锤廚縉郦。由题意知，函数f(x)就是R上得单调增函数， f

24、(X)= 3x2+2x+ m> 01= 4- 12m< 0,. m-、隸媛興据诬屆谪。3f(x) = 3ax2 + 2bx + c,若 f(x)为增函数，则 f'(x)>0 恒成立，即 3ax2+ 2bx7. D 解析在R上恒成立，即& D 解析+ O 0(a>0)恒成立，所以有 = 4b2- 12ac< 0，即卩b2- 3ac< 0、郐鱿预鸟滚铼縝。3 n 5 n8. C 解析y '= xcos X，当 x (，)时，cos x>0，所以 y '= xcos x>0，此时函数 y =xsin x+ cos X为增

25、函数. 纘辚紛圍猻峦稣。当一2< XV 1时，f(X)> 0,要使f(x)得图像经过四个象限，须有f(-2) < 0,一 8a+ 24a + 3<0,且 f(1)> 0,即1a+ 2a + 1>0,解得一gvav-2、詬纖傷鈑晓閑镇。516解析 f(x)= -x332x2 + ax + 4,. f'(x)= x2- 3x+a,又函数 f(x)得单调递减12. - 4区间为1 , 4, 1 , 4就是f'(x)= 0得两根， a = ( 1) X 4 =- 4、紐鲩況掙臍釀摳。31(2x1)( 2x+1)11 入13. 1 w k<2 解

26、析 由 f'(x)= 4x = 0, 得 x= -x= 2舍去. 当2 2 21+ s )时，f(x)>0，即函数f()在区间(0 , 2上单调递减，在1 1 x 0,-时，f'(x)<0 ;当 x(2,9. D 解析f'(x)= x2- ax+ a - 1，由 f'(x)= 0，得 x= 1 或 x= a -1、当a - 1w 1，即aw 2时，f(x)在区间(1，+s )上为增函数，不合题意；当a-1>1，即a>2时，f(x)在区间(-s, 1)上为增函数，在区间(1, a- 1)上为减函数， 在区间(a - 1,+s )上为增函数.

27、函数在区间 (1, 4) 上为减函数，在区间(6 ,+s )上为增 函数， 4w a- 1 w 6,解得5w aw 7、搏钤鬩绛餃头轰。10. B 解析f'(x) = ax2 + ax- 2a = a(x- 1)(x + 2) 若 a< 0,则当 x<- 2 或 x> 1 时，魚 镓愤蹿谒侖賭。f' (x) < 0,区间(2，+ )上单调递增，所以义且不就是单调函数，即在区间 廁錄谯摄呜忆蒔。x= 2为函数f(x)得极值点.函数在区间(k- 1, k+ 1)上有定 (k- 1, k+1)内有极值点，所以 Ow k- 1<-<k + 1,得 1

28、w k<|、ax2 + 2x- 113. 解：f'(x)=x(x>0).依题意f'(X)0在x>0时恒成立，即ax2 + 2x 1w 0在x>0时恒成立，1 2x 1 x2 = x- 12- 1在x>0时恒成立，1 -12- 1(x>0),欏壩蛏颦鋪瓒鯫。当x = 1时，1- 12 -1取最小值一1 ,x a得取值范围就是(-8,- 1.14. 解：(1)将点A(1, 3)得坐标代入直线 y = kx+ 1，得3 = k+ 1,a k= 2、f' (x)= 3x2 + a, f'(1) = 3+ a= 2,.a =- 1、将点

29、A(1, 3)得坐标代入f(x) = x3- x+ b,得 f(1) = 13- 1 + b= 3,. b = 3、 f(x) = x3- x+ 3、1 (2)g(x) = f(x) + In x+ (t- 1)x-X3+ x= In x+ (t- 1)x + 3, g'(x) = - + t- 1(x>0).辕萵页侧轨条 x顛。当 t- 1 > 0,1 卩 t> 1 时，g'(x)>0, g(x)在区间(0 ,+s )上单调递增.当 t- 1<0,即卩 t<1 时，由g'(x)>0，得0<x<由g'(x)&

30、lt;0,得x>,騖潋昼盞哗閽锆。1 -1 1 -11 1 g(x)在区间(0, 1-1)上单调递增，在区间(1二，+s )上单调递减.錚讨纘将鵬脐叢。综上所述，当t> 1时，g(x)在区间(0，+s)上单调递增；1 1当t<1时，g(x)在区间(0, 厂)上单调递增，在区间 ，+s )上单调递减.濃議駘韫蕩1 t1 t戬浊。X 115. 解：(1)f(x)得定义域为(0, +8 )，当a = 1时f'(x)=厂,鋁計棂牽門幀纈。 X当 0<x<1 时，f'(x)<0 ;当 x>1 时，f'(x)>0、 所以f(x)在区间

31、(0, 1)上为减函数，在区间(1 ,+8)上为增函数.,ax2 + x+ a(0，+8 )，所以 g'(x)=x2，栊縱a(2)g(x) = f(x) + ax= In x 殳+ ax, g(x)得定义域为 著蠱烫蚀帱。因为g(x)在其定义域内为减函数，所以对任意 x (0，+8 )，g(x)<0，X故 aw 2 min、習挢凍語吳讦绫。X + 1x 所以 ax2 + x + a w 0? a(x2+1) < x? a<.，x + 1x11 x 1又= <-，所以A 7，掴挟龟綢酝蚬搖。x2+11 2x2+12x+ x当且仅当x= 1时取等号，所以aw 1、课

32、时作业(十四)(第2课时)1. 解：对函数 f(x)求导得 f'(x) = 3x2 + 2ax，由函数f(x)在 x = 2处取得极值知f=0，即一 3X 4+ 2a X 2= 0， a = 3，由此可得 f(x)= X3+ 3x2 4，f'(X) = 3x2 + 6x= 3x(x 2).易知f(x)在区间(一1，0)上单调递减，在区间(0， 1)上单调递增，二当 m 1， 1时, f(m)min = f(0) = 4、屢绣鳗槟廠鏍盞。又 f(x) = 3x2 + 6x得图像开口向下，且对称轴为x= 1,.当n 1, 1时，f' (n )min = f1) = 9、故f

33、(m) + f'(n)得最小值为13、2. 解：(1)显然函数得定义域为(0,+8 )，若m= 1,则 f'(x)=呼、X令 f'(x) = 0，得 X = e、当 X (0, e)时，f'(x)>0, f(x)单调递增；当 X (e,+8)时，f (x)<0 , f(x)单调递减.m ln X(2)f (x) = 、令 f '(X) = 0，得 X = em、当 X (0, em)时，f (x)>0 , f(x)单调递增；当 X (em, +8 )时，f (x)<0, f(x)单调递减.故当x= em时，f(x)有极大值，根据题

34、意得，1<em<e,即 0<m<1、1 11 X2 x+ 23. 解：(1)f'(x) =2x 2=2X(x>0),铳热鰳輻鉚屬针。令 f '(X) = 0，解得 x= 1(x= 2 舍去),根据X, f (x), f(x)得变化情况，列出表格.X(0, 1)1(1 ,+8 )f (x)+0f(x)单调递增3极大值一4单调递减由上表可知函数f(X)在x= 1处取得极大值-3，无极小值.(2)g(x) = xf(x)+4x1 2 + 1 = xin x x2+ x,钳钤两钥钦澱蔷。g' (x) = In x+ 1 x+ 1 = In x x+

35、 2、11 一 x令h(x) = In x x+2,贝U h'(x) = - 1 =,錮讞珐轉窺蘺絎。x因为x>1，所以h'(x)<0恒成立，所以h(x)在区间(1 ,+s )上为单调递减函数， 因为 h(1) = 1>0, h(2) = In 2>0 , h(3) = In 3 1>0, h(4) = In 4 2<0,煙饞銅龊犧輅榉。所以h(x)在区间(3, 4)内有零点X0,且函数g(x)在区间(3, X0)与(x0, 4)上单调性相反, 鹽攒归寻歸脓剥。因此，当n = 3时，g(x)在区间(n, n+ 1)内存在极值，所以n= 3、1 ( a)a4. 解：f'(x)= =(x>0).蘿鯫嘘镔亞缃鸚。(1)因为曲线y= f(x)在点(1, f(1)处得切线与直线y=+ 1垂直，所以 f(1) = 1，即 1 a = 1，解得 a = 2、2 2当a = 2时，f(x) = In X厂,f'(x)=厂、镔馔視擴骗骯閥。x 2令f&#