直线与圆专题18

1、最新高考数学专题冲刺学案(附经典解析)专题12直线与圆圆的方程【背一背基础知识】1. 圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2. 圆的标准方程(1)若圆的圆心为C(a,b),半径为r,则该圆的标准方程为:(X -a)2 +(y -b)2 = r2 方程(X-a)2+(y-b)2 = r2表示圆心为C(a,b),半径为r的圆.3. 圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：X2十y2 + Dx + Ey + F = 0 .这个方程就叫做圆的一般方程. 对方程：X2+y2+ Dx+Ey+F =0 .若D2+E2-4F:>0，则方程表示以(-D , - -E)为圆心,*J

2、d2+e24F为半径的圆;若D2+E2-4f=0，则方程只表示一个点(-号,-|)； 若D2 +E2 -4F <0，则方程不表示任何图形.4.点A(X0, yo)与Q C的位置关系(1)1 AQvr?点 A在圆内？ (Xo-a)2 + (yo b)2vr2(2)1 AC = r?点 A在圆上？ (xo-a)2 + (yo-b)2=r2 I AC>r?点 A在圆外？ (xo-a)2+ (yo-b)Sr2【讲一讲基本技能】1.必备技能： 1.求圆的方程，采用待定系数法:若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程.若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径，可选择圆的一般方 程.2.在求

3、圆的方程时，常用到圆的以下几何性质:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上.2.典型例题例1圆心在x轴上，半径为5,且过点A (2, -3)的圆的方程2 2 2 2(x+2) +y =25 或 x +(y-6) =25.【答案】I解析】由于圜心在梵轴上，半径为5,故可设圆的标准方程为：,则由题意得: =5S解这个方程组得.d或a = 6.所CJl所求圆的标准方程知(X+2/ +/ =25或x+(y-6/ =25. 例2圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴 所得弦的长为273，则圆C的标准方程为【答案】(X-2)2 +(y -1)2 =4【解析】因为

4、圆心在直线x_2y=0上，所以，可设圆心为(2a,a).因为圆C与y轴相切，所以，a",半径r=2，又因为圆C截x轴所 得弦长为23,所以，a2+(轴2 =(2a)2,.解得a=1，故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2 =4【练一练趁热打铁】1.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=l相切，则圆C的方程是().A2 I 225A.(x-2)+(y+2)盲B.(X2)2+(y|)2=25C. (x+ 2)2 +(y 3)224D.2 I 225(x+2) +(厂2)=【答案】A【解析】因为圆C经过坐标原点和点4 0),故可设圆心为0(2上),贝k = OC =V4+?.又

5、因为圆与直线F =1相切，所以尹詐_从由此可得=b-b =送-所以圆C的方程是: ("2尸2+孑斗24X2 + y2 - 4x -2y - 8 = 0D. 62.若直线ax+2by -2 =0(a Mb >0)，始终平分圆的周长，贝y丄+¥的最小值为()a bA、1 B . 3+272C . 442【答案】D【解析】 试题分析：因为直线g + 2切一2=0(d>A:>0) *始终平分圆- 4x-2j-B = 0的周长，所以直线纫一2=0过圆的圆心(2R贝g2d+2b2 = 0,即d + i = 贝Q丄+ ?=廿+兰+半.r=-(O<r<l>

6、;,则/(f> = f+-+在(QU上单调递為 aba ba bat几e = /(l) = l+2 + 3=6,故i+2的最小值为6.3.求圆心在直线l:x + y=O上，且过点A(AO), B(0,2)的圆的方程.【答案】(X +3)直线与圆、圆与圆的位置关系【背一背基础知识】 直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； Ja2 + B2(2)如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在RtUOB中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式 +(y 3)2 =皿【解析】直线仙的斜率为5=斗，AB的中点头)30 ”由詡式可得绑殳AS的垂直平分线的方程42为：2jc+y+3=O因为圆&

7、amp;在兀+"上，所以线段血的垂直平分26直线/的交点就是圆心 解方程组严Q；'=°得产;所決圆心为cw)lx+ y =0IJ =3何半径= +4/+(3-0/ =屎, 所以所求圆的标准方稈为:(X+S/ +(y-S/ =应.5. 几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d<r ;6.代数法：込>0 ,方程组有两组不同的解.7.设两圆的圆心分别为Ci、C2,圆心距为d = CiC2，半径分别为R、 r ( R>r).(1)两圆相离：无公共点；d>R + r，方程组无解.(2) 两圆外切：有一个公共点;d =R + r，方程组有一组不同的解.(3

8、) 两圆相交：有两个公共点;R - r < d c R + r，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点;d=R-r，方程组有一组不同的解.Axo +Byo +C=r，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题 两圆内含：无公共点；0"<R-r，方程组无解.特别地，d=0 时，为两个同心圆.【讲一讲基本技能】 1.必备技能:(1)设圆的圆心为C(xo, yo)半径分别为r，直线的方程为方法一、设圆的半径为R，圆心到直线的距Ax + By +C =0.若直线与圆相切，贝y圆心到直线的距离离为d，贝y弦长I =2jR2_d2 .方法二、设直线的斜率为k，直线与圆的交点坐标

9、为P(Xi,yi),Q(X2,y2)，则弦长 |PQ =Xi - x2丿1 +k2 = y1 y2(4) 两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程;(5) 求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解2.典型例题 例1如图，已知圆C与X轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A B ( B在A的上方)，且I AB|=2.(I)圆C的标准方程为 ()圆C在点B处的切线在X轴上的截距为-CA30 T【答案】(I) (X-1)2+(y -72)2 =2 ; (n) -1-72.【解析】设点口的坐标为区J亠 则由圆C与兀轴相切于点JU知，点C的横坐标为L,即 7,半径

10、F=% 又0为11=2 >所以r +F=>0 即*b=血=C所以圆C的标淮方程为a -ly +tv -= 2 $令"0得：巩00十学设圆C在点H处的切线方程为j- + l） = kx,则圆心C到其距离为:-忑,解之得比"即圆C在点B处的切线方程为=于是令y = 0可得X =-1,即圆C在点B处的切线在工轴上的截距为_1_庞，故应和-【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题 ，属中高档【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起 来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现 了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较

11、好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.例 2 直线 3x+4y=b 与圆 X2 + y2-2x-2y+1=0 相切，则 b=(A)-2 或 12(B)2 或-12(0-2 或-12(D)2或12【答案】D【解析】直线3x + 4y=b与圆心为（1,1 ）,半径为1的圆相切，.3+4-bb=2或12,故选D.【练一练趁热打铁】1.若点p（1,2）在以坐标原点为圆心的圆上，贝y该圆在点P处的切最新高考数学专题冲刺学案（附经典解析）线方程为.【答案】x+2y5=0【解析】由点刊X2）在次坐标嫌点为圆心的圆上知此圆的方程为：=所以该圆在点P处的切线方程为lxjc+2xy =

12、 55卩兀+2-5 = 0,古攵填：工+ 2$5 = 0【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算， 采用分母实数化和利 用共轭复数的概念进行化解求解 本题属于基础题，注意运算的准确性2.若直线3x-4y+5=0与圆X2 +y2=r2（r:>0 ）相交于A,B两点，且NAOB =120。（ 0为坐标原点），则r =【答案】【解析】如图直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2（r>0）交于A、B两点，0为坐标原点，且NAOB=120o，则圆心（0, 0）到直线3X-4y + 5 = 0的距离为厂為弘r=2 .故答案为2.【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法： 设

13、圆的半径为r，弦心距为d，弦长为I，则G）2才2-d2.本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系，再根据点到直线 距离公式列等量关系.选择题（12*5=60分）1.圆（x+2）2+y2=4 与圆（x-2）2+（y-1）2=9 的位置关系为（）A.内切B. 相交 C. 外切 D 相离【解析】【答案】两圆圆心间的距离d=J（2 + 2卄1=717，两圆半径的差为1和为6，因为1 <71 <6，故两圆相交，选B.2.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是A . 2x y+75=0 或 2x y 75=0B.2x + y + J5=0 或2x

14、+y=0C. 2x_y+5=0 或 2x y5=0D.2x+y+5=0或2x +y -5=0【答案】D .【解析】依题可设所求切线方程为2x+y+ = 0.则有+-r= >5.解得"却，所以所求切线的直纟肪程为2jc+j + 5=0或2jc +$5=0故选D 【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为2X + y+C =0，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得，也可以利用几何法转化为圆心与直线的距离等于半径求得，属于容易题.3

15、.若圆心在x轴上、半径为75的圆O位于y轴左侧，且与直线x+ 2y = 0相切，则圆O的方程是（）A.(X 75)2 + y2= 5 B . (x + 歼 + y2= 5C. (x 5)2 + y2= 5 D . (x + 5)2 + y2= 5【答案】D最新高考数学专题冲刺学案（附经典解析）4 + 2x0【解析】设圆心为a.0）（a<0）. Klr=屈 2：二,解得耳=-5 ,所以，所求圆的方程为0 + 5)2 +夢3=5,故选 D.4. 一条光线从点（-2,-3）射出，经y轴反射后与圆2 2(X + 3) ry 2) =1相切，则反射光线所在直线的斜率为（B）-3 或（A） -5 或

16、 _335（D）一4或-4【答案】D(C)-或-445【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长2规'过点（2-3）,设反射光线所在直线的斜率为氐,则反身光纟戋所在直线方不呈为：y+3 = A;（x-2）,艮卩：b-y-2A;-3 = 0.又因为光线与圆相切，（x+3/+（j-2）" = l所儿I节2-213| = 1 ,整理：12Jt+25jt+12 = 0 ,解得：jt=一一 ，或氏=一一，故选 D.34【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与

17、圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、 直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.5.圆X2+y2-4x+4y+6 =0截直线x-y-5 = 0所得弦长为（）最新高考数学专题冲刺学案(附经典解析)【答案】A【解析】将X2 +y2 _4x+4y+6 = 0配方得：(x 一 2)2 + (y+ 2)2 = 2 ,所以圆心到直线的距离为d =帝¥，弦长为I =2jR2-d2 =2匸 = /6，选 A.6.直线l经过点P(5,5),且与圆C:x2 + y2=25相交，截得弦长为45 , 求I的方程.【答案】2x y 5 = 0或 X 2y +5 = 0【解析】(2)由题意

18、可知直线的斜率存在.可设/的方程为:y 5 = k(x5)艮卩：AxJ + 5 5A; = 0又由圆C:x + /=25截直线I的弦长为4 则圆心到直线/的距离为75 陋由点到直线碍公式泮解得i =2或* =-.代入所设/的方程化简为；2x-y-5= 0或x-2j + 5=O, £7.已知圆 C：(X-a)2+( y-2)2 =4 ( a>0 ),有直线 I : x-y+3 = 0，当直线I被圆C截得弦长为2J3时，a等于(B.2-C.42D. 72+1【答案】A4-3 = 1.又由点到直线【解析】由题意得：圆心到直线的距离d2a =近-1 .选 A.8.已知a , b是方程X

19、2X 72 = 0的两个不等的实数根，则点P（a,b）与圆C： xy8的位置关系是（A.点P在圆C内 B .点P在圆C外 C .点P在圆C上D.无法确定【答案】A【解析】. a2+b2 = (a+b)2-2ab=12+272=1+22 V 8,.点 P(a,b)在圆C： X2 + y2 =8 内.9.过点A (1, -1 ), B (-1 , 1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（）A. (X-3)2 +(y+1)2 =4B. (x-1)2 +(y -1)2 =4C. (X +3)2 +(y -1)2 =4D. (x+1)2 +(y +1)2 =4【答案】B最新高考数学专题冲刺学案(

20、附经典解析)【解析】设圆的标准方程为：o口尸+(j 一窃,则由题意得(l-a)+(-l-i/=r(一+(1硏口 "一2=0 一®得：也一4Z? = 0 a h -®得：，代入®得：口 =L将a=tb=l代入得：尸丄=4所以所求圆的标准方程为:(x-l>"+(j-l/ = 4 ,选月.10.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(A. (X-1 )+(y-1 ) =12 2.(X+1) +(y + 1) =1C22C. (x+1)+(y+i) =22 2.(X1) +(y1) =2【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为 7 ,则圆的标准方程为

21、(X-1 $+(y-1 f =2，故选 D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“过原点”否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a 2 +(y -b)2 =r2 .y2=25的圆心到该直线的距11. 一条直线过点卩(-3,-3)，且圆X2 +离为3,则该直线的方程为()A. X = 3最新高考数学专题冲刺学案(附经典解析)B.x 一3或y|C. X = 3或3x+4y+15 = 0D. 3x +4y +15 =0【答案】C【解析】圆X2 + y2=25的圆心为

22、原点，显然原点到直线 x=3的距离为3.当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y + _3 = k(x + 3)即kx-y+3k|=0.由点到直线的距离公式得:30-0+3k-2Jk2+1=3，平方得：k=-3，所以直线的方程为y+? = -mZ!)即3x + 4x + 15 = 0.综424上知，选C.12.过三点A(1,3)，B(4,2)， C(1,7)的圆交y轴于M N两点，则| MN 1 =(A. 2 J6B . 8 C . 476D . 10【答案】【解析】a_217= 咯=3,所汰%=1,所以血丄CB,即SC为直角三 14341角形，其外接圆圆心为(1-2),半径为5 ,所以外接圆方程为0c-1F+O+2"竹令"0,得y = ±2来-2,所以= 故选 G【考点定位】圆的方程.【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程， 要注意边之间斜率最新高考数学专题冲刺学案（附经典解析）的关系，得出MBC是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆 方程，进而求弦MN的长，属于中档题.（二）填空题（4*5=20分）13.设直线过点（0,a）,其斜率为1,且与圆x2+y2=2