2019版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书理苏教版

1、(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书理苏教版基础知识自主学习ta+b1 .基本不等式洞&一厂(1)基本不等式成立的条件：a、0,bno.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号2 .几个重要的不等式1 1)a2+b2>辿a,beR).ba2 2)a+尸2(a,b同号).ab<a+b2a2 + b2(4) -2(a,bg>Ja2"b)(a,beR).以上不等式等号成立的条件均为a=b.3 .算术平均数与几何平均数a+b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为一2一,几何平均数为洞，基本不等式可叙述

2、为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等4 .利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,贝U(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值25.(简记：积定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立？f(X)min>A(XCD)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立？f(x)ma<B(xeD).(2

3、)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立？f(x)maAA(xCD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立？f(x)min<RxCD).(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立？f(x)>A的解集为D;不等式f(x)<B恰在区间D上成立？f(x)<B的解集为D.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)函数y=x+J的最小值是2.(x)x(2)函数f(x)=cosx+xC(0,三)的最小值等于4.(X)cosx2“x>0且y&g

4、t;0”是“5+丫>2”的充要条件.(x)yx(4)若a>0,则a3+02的最小值为24a.(x)不等式a2+b2>2ab与a2也>廊有相同的成立条件.(x)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项考点自测1 .(教材改编)设*>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为答案81解析x>0,y>0,，g_y>、/xy,x+y2即xy<(-)=81,当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.2 .(教材改编)若0<x<1,则Jx3-2x的取值范围是.答案(0,平解析由0<x<1知32x>0故由A2x

5、飞32x2x+ 3-2x3；24 ，当且仅当x=3时，上式等号成立.4- 0<tJx_3-2x <34".3.（教材改编）当点（x, y）在直线x+3y 2=0上移动时，函数z=3x+27y + 3的最小值是答案 9解析 z=3x+33y+3>2 , 33y +3= 2/3 + 3=232+3= 9,当且仅当3x=33y,即x= 1,y=z取最小值.4.（教材改编）已知x>0, y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为答案116解析 1 = x+4y>2 -J4xy= 4Jxy,-xy<(-)2=,y4，161当且仅当x= 4y=2，即<

6、;1 x=2?1 y=8时,1 (xy)max=.5.（教材改编）若x（0,兀），则sinx + -；封2 ；若a,sin xbn2 5g a lg b;若 xC R,则x + 4 >4.其中正确结论的序 xbe (0 , +°°),则 lg a+ lg工日_入巴 .答案解析 因为xC（0,兀），所以sin x（0,1,所以成立;只有在lg a>0, lg b>0即a>1, b>1时才成立; x+4 =|x| 十x|x| x =4,当且仅当x=±2 时="成立题型分类深度剖析题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基

7、本不等式例1 (1)已知0<x<1,则x(4 3x)取得最大值时x的值为.5 一1(2)已知x<-,则f(x)=4x2 + ；-的最大值为44x 5 x2 + 2一一.(3)函数y =-(x>1)的取小值为 .x 12答案(1)3 (2)1(3)23+2解析(1) x(43x)=1 (3x)(4 -3x)<1 - ：3x+ 1-3x 2 = 4, 3323当且仅当3x=4-3x,即x=2时，取等号. 3一， 5 ，(2)因为 x<-,所以 5-4x>0, 411则 f (x) =4x-2+45 =- (5 -4x+54) + 3<- 2+3= 1

8、.，1-，”，当且仅当5-4x=7-即x=1时，等号成立5 4x1故f(x)=4x2+的最大值为1.4x- 5x + 2 x 2x + 1 + x x 2 +3(3) y=r =xix 1 2+2 x 1 +3一x-1= (x-1) +3+2>2 J3+2.x- 1 丫当且仅当(x1)=x-p,即x= V3+ 1时，等号成立命题点2通过常数代换法利用基本不等式例2已知a>0,b>0,a+b=1,则1+1的最小值为ab答案4解析.a>0,b>0,a+b=1,11a+ba+bba',a+b-a+b-2+a+b>2+2aI-7-=4,即F匚的最小值为4,当

9、且仅当a=b=3时等号成立abab2引申探究1 .条件不变，求(1+；)(1+b)的最小值.1a+ba+b b ad+J+bxa+丁 )(1+丁 L/y + b)=5+2(b+a)>5+4=9.ab1当且仅当a=b=2时，取等号2 .已知a>0,b>0,1+1=4,求a+b的最小值.ab解由1+1=4,得;+工=1.ab4a4ba+b=(；+白(a+b)=1+2+为1+2%仔4=1.4a4b24a4b24a4b一，1，一当且仅当a=b=2时取等号.3 .将条件改为a+2b=3,求二十匚的最小值.ab解.a+2b=3,-3a+|b=11111212a2b-a+b=(a+b)(3

10、a+3b)=3+3+3b+3a>1 +2b2 2=1 + &-3a 3 .当且仅当a=42b时，取等号思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后

11、利用基本不等式求解最值(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是1Ial(2)设a+b=2b>0,则狗+R取最小值时，a的值为答案(1)5(2)-2解析(1)方法一由x+3y=5xy可彳#+=1,5y5x,-.3x+4y=(3x+4y)(5y+专943x12y、1312c555y5x55一.(当且仅当言=鲁，即x=1,y=；时，等号成立)，5y5x2，3x+4y的最小值是5.、，23y万法一由x+3y=5xy,得x=-5y-I1-x>0,y>0,1-y>5,9y-3x+4y=5y-7+4y=13y-g+9+4-4y555c4+4y5y-11395-+

12、5''151T4(y5)(2)a+b=2,(3x+4y)min=5.1|a|_2|a|2|a|十b一4|a|十ba+b|a|4|a|十bab|a|a=4|a|+4|a|+-b->4|a|+2当且仅当7TT=唱时等号成立.4|a|bbJal4|1V=而+1,又a+b=2,b>0,当a2时，京+*取得最小值.题型二基本不等式的实际应用例3设x,v,z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项,则始+黄的最小值为.(2)(2016江苏苏州暑假测试)设正四面体ABCD勺棱长为乖,P是棱AB上的任意一点(不与点A,B重合)，且点P到平面ACD平面BCD勺距离分别为x,y,则:十

13、；的最小值是.xy答案(1)9(2)2+/8解析(1)由题意得z2=xy,lgx>0,lgy>0,11lgzJgz_2.x+lgylgx+lgy"4lgx十lgy4lgxlgy188lgx22lgy511gylgx88lgx2lgy当且仅当8g三二第,即lgy=2lgx,即y=x2时取等号.(2)过点A作AOL平面BCDF点Q则O为BCD勺重心，所以OB=：乂+3乂乖=42,32所以AO-,6222=2.又VP-BC叶VP-ACDV-BCD)所以；$BCD-y+SACD-x=1S；ABCD-2,即x+y=2.所以3+1=1(3+1)(x+y)=1(4+333xy2xy2V

14、3y)>2+3,当且仅当x=343,y=M31时取等号.思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.跟踪训练2(1)设x,y>0,且x+y=4,若不等式+'>m恒成立，则实数m的最大值为xy.(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*),则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值

15、是万元.答案94亿)8解析1414x+y1y4x198x+y=(x+y)(丁)=4(5+x+寸M(5+2><2)=4'当且仅当y=2x=3时等节成立.v25年平均利润为X=-x-7+1825=(x+58,x+竺*、x.25=10,x；x',.y=18-(x+25)<18-10=8,当且仅当x="，即x=5时，取等号 x题型三基本不等式的综合应用命题点1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4若不等式x+2yXy<a(x+y)对任意白实数x,yC(0,十8)恒成立，则实数a的最小值为答案4+1-2解析yx恒成立.1 + y x1 + 2因为,1 +

16、 2t(t>0),则 2>小u 1再令 1 +2t = u( u>1)，则 t =2-,故 a> 1 +u 1 252u+-22uU + 5>2乖(当且仅当 u=45时等号成立)，故U + 5 2>2，5 2,从而 0<一4一uu5u4V5+ 1 拓V5+ 1 口口<T,故 a>r,即 a2 -5-222V5+1min =.2命题点2求参数值或取值范围3 1例5已知a>0, b>0,若不等式a+a+3b恒成立，则m的最大值为x2 + ax+11*(2)已知函数f(x) =一(aCF),若对于任意的xN, f(x)>3恒成立

17、，则a的取值 x i I范围是答案(1)12(2)-8,+oo)3,31m斛析(1)由一十匚-,aba+3b得me(a+3bx|+-)=当+，+6.abab9ba,9ba.又百+b+6>249+6=12(当且仅当至二日时等号成立)，.m<12,m的最大值为12.*x+ax+118(2)对任意xCN,f(x)>3恒成立，即一x-j->3恒成立，即知a>-(x+-)+3.设g(x)=x+jxCN,则g(2)=6,g(3)=x3.g(2)>g(3),.g(x)min=137,.一(x+$+3W3,，a>8,故a的取值范围是8,+8).33思维升华(1)应用基

18、本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练3(2016江苏三校联考)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商

19、品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入、(x2600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量5a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解(1)设每件定价为t元，-t25依题意得(8iX0.2)t>25X8,整理得t265t+1000<0,解得25WtW40.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为40元.(2)依题意知，x>25,且ax>25X8+50+6(x2-600)

20、+5x,等价于a>+x+;(x>25).x6515011501由于M+6xr6x=10，150x当且仅当=-,即x=30时等号成立，所以a>10.2.x6当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.现场纠错系列8.利用基本不等式求最值典例(1)已知x>0,y>0,且x+j=1,则x+y的最小值是一3(2)函数y=12x(x<0)的值域为x错解展示解析(1)x>0,y>0,1=x+y>2xy,Jxy>22,x+y>2Jxy=4>y2,，x+y

21、的最小值为42.(2).2x+3>2乖，y=1-2x-3<1-26.xx，函数y=12xx(x<0)的值域为(一00,12加.答案(1)4/(2)(8,1-276现场纠错解析:x>0,y>0,-x+y=(x+y)(1+2)xyy2x=3+(+歹>3+2。2(当且仅当y=g时取等号),当x=也+1,y=2+小时，(x+y)min=3+22.-2x| 二=1 + 26,当且仅x "当x=(2)1x<0,.-.y=l-2x-X=1+(-2x)+(-33)>1+23等号，故函数y=1-2x(x<0)的值域为1+2巡，+8).x答案(1)3

22、+242(2)1+2乖)+00)纠错心得利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件课时作业1.(教材改编)已知a,beR,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的序号是 a2+b2>2ab； a+1)>2yab;1 12®-+->-j=；abab答案解析因为a2+b2>2ab,当且仅当a=b时，等号成立，所以错误；对于，因为ab>0,所以b'+a>2、/b.a=2.对于，当a<0,b<0时，明显错误.abab2.(教材改编)用长为16cm的铁丝围成一个矩形，则所围成的矩形的最大面积

23、是2cm.答案16解析设矩形长为xcm(0<x<8),则宽为(8x)cm,.,_x+8x2，一.,1面积S=x(8-x).由于x>0,8-x>0,可得S<(一2一)=16，当且仅当x=8-x,即x=4时，Smax=16.所以矩形的最大面积是16cm2.2x一.3.当x>0时，函数f(x)=x2+1有取值，为.答案大1. 一2x解析f(x)=E4.（2016 盐城模拟=2耳w|=1,当且仅当x=1时取等号x+一x一x22）函数y=2L2的最小值为.x+1答案解析小值2x2+1+1y-7x212.=Jx2in+_1>2,当且仅当后臼=_2,即x=0时，y取

24、到最x+1'x+1c.1t+15.设正数a,使a+a2>0成立，右t>0,贝U2logatloga_2(填>“<”).答案解析因为 a + a 2>0,所以 a< 2 或 a>1,又a>0,所以a>1,因为所以10gt + 1厂 1a-2 > lOg at =2lOg at .6.设f(x)= x2+x+ 1, g(x) =x2+ 1,f x 则的取值范围是g x答案12解析3xx2+x+1x +1x= * 1 + x2+l当x = 0时,=1;当x>0时,11W1+2 = x + -x32；当x<0时,1x+I=

25、(Lrfx*7.（2016吉林九校第二次联考）若正数a,b满足；+（=1,则a1+b1的最小值是答案619 _ 1a 1 + b 1 - a 1解析T=-+ 9( a 1) >2aa-1时T8.(2016 南京一模)已知x, yC R且满足x2+2xy+4y2 = 6,则z = x2+4y2的取值范围为.11a.一，正数设满石十丘口动解得a>1.同理可得一，1r-4,a=6,当且仅当a-1=9(a1),即2=3时等号成立，最小值为6.答案4,122A2解析2xy=6(x2+4y2),而2xy<乂J,22x2+4y2-6-(x+4y)<2,.x2+4y2>4(当且仅

26、当x=2y时取等号).又.(x+2y)2=6+2xy>0,IP2xy>6,z=x2+4y2=6-2xy<12(当且仅当x=2y时取等号).综上可知4<x2+4y2<12.人,心a+bL9.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的取小值cd为.答案4a+b=x+y,解析由题意，知cd=xy,所以a+b2=x+y2=x+y2+2xy=x±£+2cdxyxyxy>2+2=4,当且仅当x=y时，等号成立.10.某民营企业的一种电子产品，2015年的年产量在2014年基础上增长率为a；2016年计划a

27、+b,在2015年的基础上增长率为b(a,b>0),若这两年的平均增长率为q,则q与一2一的大小关玄早不TH.a+b答案qw2一解析设2014年的年产量为1,则2016年的年产量为(1+a)(1+b),解析因为E =a+17 = (a-1)+t+1>3,a i当且仅当a=2时等号成立.12.（2016 南通模拟2）设实数x, y满足:一y2=1,则3x22xy的最小值是答案 6+4/解析 方法一 因为x4y2=1,所以3x2-2xy =3x22xy3-§x 2 1zy 4y 1 1令 y 2, 5),贝U 3x2 2xy =3 2k 4 32k=72121-4k4-k,再

28、令 t =3-2k(2,4),则 k =，故 3x2 2xy =4t一 t 2十 6t 一 844>T=6+ 4也 当且仅当t=2，2时等号成立. t + 8 +6 6一38方法二令 t =3x22xy,则 y=z一代入方程y2= 1 并化简得 8x4+ (4 6t) x2+ 12= 0, 2x4令 u = x2>4 ,则 8u2 +(46t)u + t2=0 在4 , + 8）上有解，从而由A= 4-6t 2-32t2>0,3 6t -4I 16 >0,得t212t+4>0,解得t>6+42,当取得最小值时，u3=2 + 22?两足题息.2、，x 2 x x 万法二 因为 4y = 1 = (2+y)(2y)所以令5 + y=t,则21y=.(1+q)2=(1+a)(1+b),i1：1+a+1+ba+b.1+q=7i+a1+b<2=1T2-,ab，qwa/,当且仅当a=b时，取"=：一，一1,一，11.(2016泰州模拟)已知a>b>1且210gab+310gba=7,贝Ua+b2的最小值为答