中心极限定理教学设计

1、页眉内容概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100 分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理B1601-02市场营销B1601课型新授课课题中心极限定理学 习 目 标知识与技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和列维一 林德伯格中心极限疋理（独立同分布中心极限疋 理）的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算 有关随机事件的概率；过程与方法1 .中心极限定理产生的历史背景。2. 中心极限定理的提法.3. 林德伯格-勒维中心极限定理4. 隶莫弗拉普拉斯疋理5. 林德贝格中心极限定理6. 李雅普诺夫中心极限疋理7. 中心极限定理在管理中的应用情感态度与 价值观1培养学生能够自

2、活，将统计方法, 题，提高认知能.2. 中心极限定理名 分布收敛于正态, 两个世纪的时间 因此也得到了中.3. 让学生懂得，:耳觉地用极限定理的视角观察生 用于分析和探讨生活中的实际问 力和水平.名称的得来是由于随机变量和的分布的极限疋理的研究在长达 内成了概率论研究的中心课题， 心极限定理的名称.量变与质变的辩证关系。.教学分析教学内容1中心极限定理产生的历史背景。2. 中心极限定理的提法.3. 林德伯格-勒维中心极限定理4. 隶莫弗拉普拉斯疋理5. 林德贝格中心极限定理6. 李雅普诺夫中心极限疋理7. 中心极限定理在管理中的应用教学重点1隶莫弗拉普拉斯疋理；2.李雅普诺夫中心极限疋理；教学

3、难点1隶莫弗拉普拉斯疋理；2.李雅普诺夫中心极限疋理；教学方法 与策略课堂教学设 计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关 系谈起，通过对概率论的经典定理一中心极限定 理在独立同分布和不同分布两种情况卜的结论 作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的 性质 平均结果的稳疋性.经过对中心极限疋理 的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用 正态分布来表示的理论依据.同样中心极限疋理 的内容也从独立同分布与独立不冋分布两个角 度来进行讨论；最后给出了一些中心极限定理在 数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等 方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在 各分支学科中的重要作用和应用价值.

4、板书设计教学进程教学意图教学内容教学环节1极大似然估计的原理与思想（1（分钟）概率统计学是一门研究随机现象统计规律性的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算 极限定理最早的成果有：伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向一大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究概率论中讨论随机变量序列部分和的

5、分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的中心极限定理就是从数学上证明了这一现象最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件 A出现时间：10分钟中心极限定 理的名称最 早是由仆里耶（1920年）提出来的， 中心极限定 理的一般形 式最早是由 切比雪夫（1821 年一1894年）提出来的下面 我们介绍四 个主要定理:1）林德伯格一勒维定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德的次数渐近于正态分布的问题.171年前后，棣莫佛对n重伯努利试

6、验中每次试验事件 A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进自莱维在1919-192年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等.无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美.长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展.同时新的极限理论问题也在实际中不断产生.这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等中心极限 定理的提 法

7、方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究 具有一定的理论和实际意义.直观上，如果一随机变量决定于大量（乃至无 穷多个）随机.因素的总合，其中每个随机因素的 单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均 匀，那么它就服从（或近似地服从）正态分布，下 面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.在许多情形下，一随机变量X可以表示为或 近似地表示为大量独立随机变量之和，X 12n（a）这里，每个i直观上表示一种随机因素的效 应，假如式（a）包含了决定X的充分多的随机因素n的效应（即n充分大），则i的分布就近似于 Xi 1的分布中心极限定理就是要说明，在什么条件 下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，

8、即,在什么条件下，当n时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的.伯格定理3） 李雅普诺夫 定理.其中 林德伯格定 理是最一般 的，其它情 形可以看作 它的推论.375教育资源网 页眉内容累计1C分钟中心极限定理有多种不同的形式，它们的结 论相同，区别仅在于加在各被加项仆2,上的条件不同独立同分布随机变量列的中心极限定 理，是中心极限定理最简单又最常用（特别在数理 统计中）的一种形式，通常称做林德伯格-勒维 疋理.历史上最早的中心极限疋理一棣莫弗一拉 普拉斯（积分）定理是它的特殊情形.设k（k 1,2,）的方差D ，大于0,令nak E k,b2 D k,B；b2（1）k 1我们说，随机变数列

9、k服从中心极限定时间:5分钟 用足球比赛 事件引入达 到以下目 的：吸引 学生注意 力，使学生 尽快进入上 课状态； 帮助学生深 入浅出的理引入中心理，如果关于x R均匀的有解极大似然极限定理估计的基本的基本思 想1 n 1t2XF思想.lim P( k ak) x,nBn k 1宵e Tdt.(2)1 n(2)表示：随机变量数 一(k ak)的分布Bn k 1函数关于X均匀的趋于正态分布N(0,1)的分布函数.累计20分钟教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：时间20分林德伯格-勒维中心极限定理钟设X1,X2, ,Xn, 相互独立,服从同一分布，具有数学期望和方差：E(Xi),Var

10、(x)2 0.提问：如何记度量样本值 出现的可能 性？、，X1 X2 . Xn nYn厂Pn则对任意实数y，有(3)lim p(Yny)n证明 为证(1式，只须证 £*的分布函数列若收敛于标准正态分布.又由定理4. 3. 4,只须证Yn*的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数为此设Xn 的特征函数为(t),则Yn*的特征函数为Y*(t)| n又因为E(Xn)O,Var(Xn)2，所以林德伯格-勒维中心(0) 0, (0)于是特征函数(t)有展开式(t)(0)(0)t(o)；(t2)1Tt2 (t2)从而有22 nt2tt巳lim Y*(t) lim 1 )e ,nYnn2nFt2而

11、e 正是N(0,1)分布的特征函数，定理得 证.例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从 参数为2的泊松分布.若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的，求一 年中售出700辆以上汽车的概率.解:设x某汽车销售点每天出售的汽车辆数， 则丫捲X2X365 ,为一年的总销量.由E(Xi) Var(x) 2,知E(Y) Var(Y) 365 2730 .利用林德贝格-勒维中心极限定理可得，700 730 P(Y 700)1 P(Y 700)1(一)1V730这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0. 8665(111) 0.86累计40分钟隶莫弗土拉普土拉苴F定千理( 10lk钟)

12、隶莫弗拉曰拉斯疋理(10分钟丿教学意图教学内容教学环节在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中时间10分钟出现的概率为p(0<p<1), n为n次试验中事件A出现的次数，且记Yn叩°Jnpq且对任意实数y，有主要依据上边的例题，1 y占nlim p(Yny)(切右 e 2dt.归纳总结离 散型总体下 似然函数的此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2构建.是定理1的推论.隶莫弗一拉普拉 斯定理例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%,以x表示在随意抽查的10(个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出x的分布列；(2)求被盗户不少于14户且不多

13、于30户的概率近似值.解：(1) X服从n 100, p 0.2的二项分布 b(100,2),即p(x k) 门 0.2k0.8100 k,k 1,2, ,nk利用隶莫弗-拉普拉斯中心极限定理，有p(14 x 30)p(13.5 x 30.5)(30.5 100 0.2(J100 0.2(13.5(100100 0.20.2 0.8(2.625)( 1.625)(2.625)1(1.625)0.99565这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率1 0.9480.9437近似值为0. 9437累计50分钟课间休息10分钟3.极大似然估计法应用（15分钟）教学意图教学内容教学环节林德贝格 中心

14、极限 定理对于独立同分布随机变量序列!, 2,只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立而在实 际问题中说诸i具有独立性是常见的，但是很难 说诸i是“同分布”的随机变量，正如前面提到 的测量误差Yn的产生是由大量“微小的”相互独n立的随机因素叠加而成的，即Yn匚则i间具i 1有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨 论独立不同分布随机变量和的极限分布冋题，目 的是给出极限分布为正态分布的条件林德伯格 （Lideber于1922年找到了独立随机变量服从中心 极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件.2. 3. 1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列 Xn满足林德贝格 条件，则对任意的X,有时

15、间5分钟 通过指数分布（连续型）参数的极大 似然估计， 进一步巩固 极大似然估 计的方法与 步骤，同时 体现极大似 然估计法在 工作生活中 有着很广 泛、很重要的应用.t21n1Xlim P (XjJ x e dt.nBn i 1为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a，有eia 1|a|；(4)2ia ” ae 1 ia2!(5)2I2ia片aae 1 ia 23!(6)实际上，对a 0上三式明显设a 0，贝Uia彳a ix ,e 1e dx a ;0 ，iaI I a ixaa2e 1 ia(e 1)dxxdx ;0 ' 0 2!a2a iiaxaz ixA Ie 1 i o (e

16、 1 ix)dx22aix 彳LaXae 1 ixdx一dx 一0r02!3!利用 eiacos a i si na，可见(4) (5) (6)方都是a的偶函数，故他们对a0也成立.累计15分钟李雅普诺夫中心极限疋理时间15分钟如对独立随机变数列k，存在常数0，使当n时有1 n2JEkak0Bn k 1（25）李雅普诺 夫中心极 限定理则(2)对x均匀的成立.证只要验证林德贝格条件满足，由(25)1 ° 2二B (xak) dFk(X)B ° k 1 卜环| Bn1 0 , 2r x ak dFk(x)B2n( B) k1 lxak| Bk211° 22Ek ak

17、0,( n)Bn k 1例3 一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对第1题的概率为0. 99; 答对第2题的概率为0. 98;般地，他答对第1题 的概率为1 i/100,i1,2,卅.加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题 目以上(包括60个)才算通过考试.试计算该学 生通过考试的可能性多大？解设1,若学生答对第i题；i0,若学生答错第i题.于是Xi相互独立，且服从不同的二点分布：p(Xi 1)Pi1 i 100, p(Xi 0) 1 Pi i 100,i1,2,LI,99而我们要求的是99p( Xi 60) i 1为使用中心极限定理，我们可以设想从X

18、100开始的随机变量都与X99同分布且相互独 立下面我们用 1来验证随机变量序列 Xn 满足李雅普诺夫条件(25),因为BnnVar(Xi)i 1Pi(1p),(nE(Xi3Pi I )3 “Pi (1p)Pi(1 Pi )3Pi(1Pi),1 nD3E(XiBn i 13Pi )于是n12Pi(1Pi)i 1(n即Xn满足李雅普诺夫条件(25),所以可 以使用中心极限定理.又因为999999E( Xi)Pi(1 二)49.5i 1i 1i 11009999B99Var(XJ(1'n)( ' ) 16.665i 1i 1100100所以该学生通过考试的可能性为99p( 99 X

19、 60) p i1Xi 49.560 49.5P i 1 iP“6.665“6.6651(2.5735)0.005 .由此看出：此学生通过考试的可能性很小， 大约只有千分之五.累计30分钟中心极限定理在商业管理中的应用（20分钟）教学意图教学环节假设某高校有学生5000人,只有一个开水房， 由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排 长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公 司提议增设水龙头假设后勤集团公司经过调 查，发现每个学生在傍晚一般有1%的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总 务处遇到的问题是：时间1（分钟375教育资源网 页眉内容水房拥挤 问题(1)未新装水龙头前，

20、拥挤的概率是多少？提问，请学 生思考.(2)需至少要装多少个水龙头，才能以95%以上的概率保证不拥挤？解：(1设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，贝UX B (5000 0. 01拥挤的概率是p( 45)1p(04545)1C5q00 0.01k 0.995000 kk 0直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理.已知 n=5000,p=0. 01, q=0. 99, np 50, npq 7.04.P(045)45 507.040507.040.7110.2389.从而p(45)1 0.23890.7611 .怪不得同学们有不少的抱怨.拥挤的概率竟达到76.11%375教

21、育资源网 页眉内容(2) 欲求m,使得P(045) 0.95即m 500 500.957.047.04由于0 507.0907.04即m 50门 cl0.95 7.04查标准正态分布表，得m 50 1.6457.04即m 61.6故需要装62个水龙头.冋题的变形：(3) 需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？解：欲求m,使得P(045)0.99即m 50050小"0.997.047.04由于0 507.090 . 767.04即m 50门 cc0.99 7.04查标准正态分布表，得m 50 o ccl2.3257.04即m 66.4故需要装67个水龙头.(4) 右

22、条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两冋题结果如何？解：(1)55 50p( 55)1()1(0.71)0.2389 .7.04(2)同上.(5) 若条件中的每个学生占用由1%提高到1 5%其余的条件不变，则(1), (2)两问题结果如何？解：设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，贝uX B ( 5000 0. 015,已知 n=5000,p=0.015,q=0 .985,np 75, Jnpq 8.60.拥挤的概率是45 75P(45)113.491.8.60拥挤的概率竟达到100%欲求m使得P(045)0.95即m 75075门“ 0.958.60 8.60由

23、于S 08.60即m 750.958.60查标准正态分布表，得m 751.6458.60即m 89.14故需要装90个水龙头.累计40分钟盈利问题5:假设一家保险公司有1000个人 参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一 个人死亡的概率为0. 006死亡时，家属可向保 险公司领得100元，问(1保险公司亏本的概率有多少？(2)保险公司一年的利润不少于 4000(元，6000(元, 80000元的概率各为多少？时间1(分钟375教育资源网 页眉内容375教育资源网 页眉内容盈利问题累计50分钟解：设X为一年内死亡的人数，则X B(10000,1.06)，即Px=k) =cMOO(o.oo6)o.m)IDrajRfc由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(1)刊保险金亏本 = pr>i20 = i-pr <120-10003x0 06120-LCCi r 一一 _ >1710000x0.06x0.9 Viooom1(7.77)0.7809设Ai,A2, a分别表示一年的利润不少于4000（元, 600