用放缩法证明与数列和有关的不等式.

1、用放缩法证明与数列和有关的不等式江苏省江阴长泾中学严洁邮编214411数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力本文介绍一类与数列和有关的不等式问题， 解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和一先求和后放缩例 1正数数列an的前 n 项的和 Sn ，满足 2 Snan1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设 bn1，数列 bn的前 n 项的和为Bn ，求证： Bn12an an 1解 ：（ 1 ） 由 已 知 得 4Sn(an 1) 2 ， n2 时 ， 4

2、Sn 1( an 11)2，作差得：4anan22an an212an 1 ，所以 (anan 1 )(anan 12)0，又因为 an 为正数数列，所以 anan 12，即 an是公差为2 的等差数列，由2 S1a11，得 a11，所以 an 2n1（2） bn111 (11) ，所以anan 1(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1Bn1 (11 1 111)11123 3 5 2n 1 2n 12 2(2n 1) 2注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等差、 等比、差比数列（这里

3、所谓的差比数列，即指数列 an 满足条件 an 1anfn ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和二先放缩再求和1放缩后成等差数列，再求和例 2已知各项均为正数的数列 an 的前n项和为 Sn ,且 a2a2S .nnn22(1) 求证： Snanan 1；4(2)求证： SnS1S2SnSn 1122解：（ 1 ）在条件中，令n1，得 a12a12S12a1 ，a10a11 ，又由条件an2an2Sn 有 an21an 12Sn 1 ，上述两式相减，注意到an1Sn 1Sn 得(an 1an )( an1an1) 0an0an 1an0 an 1an1所以， an11( n1)n，

4、Snn(n1)2所以 Snn(n 1)1 n2(n 1)2an 2an 122224（2）因为 nn(n1)n1 ，所以nn(n1)n1 ，所以222S1S2Sn1223n(n 1)23n1222222n23nSn 11；S1S2Sn12nn(n 1)Sn2222222222放缩后成等比数列，再求和例 3（ 1）设 a， nN* ， a2，证明： a 2n(a) n(a1)a n ；（ 2）等比数列 an 中， a11 ，前 n 项的和为 An，且 A7， A9， A8 成等差数列设2bnan2，数列 bn 前 n 项的和为 Bn，证明： Bn 1 1 an3解：（ 1）当 n 为奇数时， a

5、n a，于是， a 2 n(a) na n (an1)(a1)an 当 n 为偶数时， a1 1，且 ana2，于是a2 n( a) na n (a n1) (a21) a n( a 1)( a 1) a n( a 1) a n （ 2） A9A7a8a9 ， A8A9a9 ， a8a9a9 ，公比 qa91 a82111 an(1 nbn4 n)14n( 2) n3 2 n21(n)211Bnb1b2bn1111 2(122 )1(11132 3223 2 n31132 n )3 23放缩后为差比数列，再求和例 4已知数列 an 满足： a1 1， an(1n1,2,3) 求证：12n )a

6、n (nn1an 1an32n 1nn ) an ，所以 an证明：因为 an1(11 与 an 同号，又因为 a110 ，所以 an0 ，2即 an1annnan0，即 an 1an 所以数列 an 为递增数列，所以 ana11，2即 anannann，累加得： ana112n112n2n2222n1 令 Sn12n1112n12222n 1 ，所以Sn22232n，两式相减得：21 Sn1111n 1，所以 Sn2n 1，所以 an 3n1 ，2222232n 12n2n 12n 1故得 an 1ann13n 124放缩后为裂项相消，再求和例 5在 m（ m 2）个不同数的排列P1P2 P

7、n 中，若 1 i j m 时 Pi Pj （即前面某数大于后面某数），则称 Pi 与 Pj构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列 (n1)n(n1)321 的逆序数为 an，如排列21 的逆序数 a11，排列321 的逆序数a36 （1）求 a4、 a5 ，并写出an 的表达式；（2）令 bnanan1 ，证明 2nb1b2bn2n3 ， n=1,2, .an 1an解（ 1）由已知得 a410, a515 ， a nn(n1)21n( n1)2.（2）因为 bnanan 1nn 22n n 22, n1,2, ，an 1ann 2nn 2 n所以 b1 b2b

8、n2n .又因为 bnnn222, n1,2,2n2n，nn2所以 b1 b2bn2n2( 11)( 11)( 1n1)1324n2= 2n3222n3 .n1n 2综上， 2nb1b2bn2n3, n1,2,.注：常用放缩的结论： （ 1） 1111111 (k2)k k 1 k (k 1)k 2k (k 1)k 1 k（2） 2( 11)2k 1122(11 )(k2)kk 1kkkk 1k 1k在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键， 一般要看证明的结果是什么形式如例要证明的结论n23n、n(n1)为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数22223 要证明的结论1(111列，再求和即可；如例3n )为等比数列求和结果的类型，则把通23n 1项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论 3为差比数列求和结果的类2 n 122型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5 要证明的结论2n3为n 1n2裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可虽然证明与数列和