线性代数模拟精彩试题

1、模拟试题一、判断题：（正确：2,错误：X）（每小题2分，共10分）1、若A,B为n阶方阵，则 A + B 十+»（）2、可逆方阵A的转置矩阵A必可逆. （）3、n元非齐次线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件R（A）二n .（）4、A为正交矩阵的充分必要条件 At二A.（） 5、设A是n阶方阵，且A = 0，则矩阵A中必有一列向量是其余列向量的线性组合 （）二、填空题：（每空2分，共20分）1、 A,B为3阶方阵，如果|A|=3,|B|=2，那么|2AB|=.2、 行列式中元素aij的余子式和代数余子式 Mj,Aj的关系是.3、 在5阶行列式中，项813832824341 a55

2、所带的正负号是.4、已知 A =（2 0 1 ） B =5 则 AB =.<-2>* 5_ 2、5、若A=，则.2 1丿1 0 1 0-8、6、设矩阵01-1 0 13是4元非齐次线性方程组Ax = b的增广矩阵,则100 0 1 2Ax = b的通解为.7、R A B R A R B .8、若A*是A的伴随矩阵，贝U AA*二.1 1 1 '9、设A= 0 12 ，则当t时，A的行向量组线性无关.100 t-510、方阵A的特征值为，方阵A2 4A 3E，则B的特征值为.三、计算：（每小题8分，共16分）1、已知4阶行列式D二一2-2,<求 2 A11 '&

3、#39;A21 - A313 A41.-10 12 0，求矩阵B0 b12、设矩阵A和B满足AB + E = A2 + B，其中A= 0X1 - X2 + X3 + X4 = 0四、（10分）求齐次线性方程组X1 x2xx0的基础解系和它的通解.3x1 + X2 + 2x3 -5x4 = 02xp - 2x2 4x3 2x4 = 0五、（10分）设三元非齐次线性方程组 Ax二b的增广矩阵为11扎九0 九 _11 一九k（1 一九）20（1入）（2+）（1丸）（1+九）讨论当取何值时，Ax二b无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通 解.六、（10分）3 '5-2224-212,

4、a3 =-6,a4 =6<_1>6<-4>判断向量组A : a1的线性相关性,如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量七、综合计算：（本题14分）已知二次型 f（X1, X2,X3）= x1 2x； -2x；-4X1X3（1）求二次型所对应的矩阵 A，并写出二次型的矩阵表示；（2）求A的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换X =PY化二次型为标准形，并写出标准形;（4）判断该二次型的正定性。八、证明题：（每小题5分，共10分）1、已知向量 a1 ,a2, a3线性无关，证明 bi = 2a 1 3a2, b - a2 4a3, b - 5a3 a1 线性无关

5、2、某矿产公司所属的三个采矿厂ai,a2,a3 ,在2011年所生产的四种矿石bi,b2,b3,b4,b5的数量(单位：吨)及各种矿石的单位价格(万元 /吨)如下表:、矿石产量工厂b2b3b4b5a110020305020a28020207030a33060106050各矿石单价23654(1) 做矩阵A3 5表示2011年工厂ai产矿石bj的数量(i =1,2,3; j =1,2,3,4,5)；(2) 通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、判断题(正确的打V,不正确的打)(每小题2分，共10分)1、设A,B为n阶方阵，则A B |A B ;()2、可逆矩阵A总可以只经

6、若干次初等行变换化为单位矩阵 E ;()3、设矩阵A的秩为r，则A中所有r -1阶子式必不是零；()4、若x= ：,x= 2是非齐次线性方程组 Ax = b的解，贝U x=2也是该方程组的解.)5、n阶对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。二、填空题(每小题2分，共16分)1、排列7623451的逆序数是 ;2 3 42、设四阶行列式D4 =3 414 1241 ，贝U A14+2A24+3A34 +4A44 =2其中Aj为元素aij的代数余子式;3、设A、B均为5阶矩阵,1A =2，B =2，则BA=4、3（ ： i _ ： ）2（ ： _-） = 5（：飞 11 二），其中：i 二（2,5

7、,1,3）T， :- 2 二（10,1,5,10）T：3 =（4,1,一1,1）丁，贝U : =5、已知向量组A: :1时，b可由A线性表示，且表示法唯一;6设齐次线性方程组AX二0的系数矩阵通过初等行变换化为1-123010 -2 ，则000 0此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 7、设向量=(1,2, 1)T，: = -2, ,2 T 正交，则，二8、设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征 值为1、_1_4广10、A =,B =d < b三、计算题(每小题8分，共16分)设矩阵求矩阵AB和BA。2、11A =-211，B =3，C =6<1

8、11疋丿已知矩阵求矩阵方程AX -B =C四、计算题(每小题8分，共16分)k、2 '1、已知向量组«1 =0,。2 =k +2,。3 =k+2 ，<0J-k>< -2丿2 2 22、已知二次型 f (xi, X2, X3) = 2xi 5x2 5x3 4xi X2 - 4xi X3 - 8x2X3 ,(1) 写出此二次型对应的矩阵 A；(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。五、计算题(每小题10分，共20分)-10 2、2 6-6023.334；(2)矩阵A的列向量组的一个最大线性无关组。.Xj + x2 + x3 + x4 = 22x1 3x2

9、x3 x4 = 1所对应的齐次线性方程组的基础解Xi 2x3 2x4 二 5131 "六、(12分)设矩阵A= 0 -11<0 0 2.(1)求矩阵A的特征值和全部的特征向量；求可逆矩阵P，使得PAPI (其中上是对角矩阵)，并写出对角矩阵上。七、(5分)证明题设方阵A满足A2，A-E =0，证明：A可逆并求它的逆矩阵。八、(5分)应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不 同城镇不同人员的数目的矩阵：1、设矩阵A=1-22<3-24-13求：(1)矩阵A秩;2、求非齐次线性方程组系和此方程组的通解。商店1商店2平果橘子梨人员1人员2平果

10、|0.100.151人员 1 1 5103城镇 1 _1000500 1橘子0.150.20人员2 455城镇 2 |'20001000梨0.10 0.10L设第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第 三个矩阵为C。(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三、判断题：（正确：2，错误：X）（每小题2分，共10分）1、 A, B为n阶方阵则卜B =|BA（）2、 设A为m n（m：n）矩阵，则Ax二b有无穷多解。（）3、向量组A是向量组A的一部分，向量组 A1线性无关，则向量组 A一定线性相关

11、；（）4、设1,2是方阵A的特征值，贝U 'i心也是方阵A的特征值。（ ）5、 4个3维向量一定线性相关。（）二、填空题：（每空2分，共20分）1、已知A为3阶方阵，且A = -2，则-2A =;2、 六阶行列式中某项 ai5a2ia36a42a53a64带有的符号为;3、设A为n阶方阵，满足A2 - A= E,则A：4、设1, 2是n元非齐次线性方程组 Ax二b勺两个解，且A的秩R （A）二n-1，则 A x= b勺通解x =5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为（102-11"B= 01-300，贝Uk=时方程组无解，（000（1-k）k1k2当k=时方程组有无穷解，此时该方

12、程组对应的齐次线性方程组的基础解系中有个向量。6、 二次型f - -2x2 4xy-6y2 -4z2 4xz的秩为，正定性为（请选正定、负定、不定之一）。7、方阵A的特征值为，方阵B = A2 2A - 3E，则B的特征值为。三、计算：（每小题8分，共16分）111、已知4阶行列式D =2-1求 2An A21 ' A31 2A411 -112、已知A = 11 12 1，试判断A是否可逆。若可逆，求 A-1，若不可逆,1 3丿伴随矩阵A*四、计算：（每小题10分，共20分）2xt - x2 x3 x4 = 0丨 - X1 + X2 - 2X3 - X4 = 01、求齐次线性方程组的基

13、础解系和它的通解4Xt - 2x2 + 2x3 + 2x4 = 02Xt - 2x2 4x3 3x4 = 02、已知线性方程组x y z = 02x-3y-3z = 2有解，求a，并求全部解;2x + y + z = a1、广2、01-1-1-1,僅2 =2g =530,G 4 =2110<1<1丿五、（10分）判断向量组:1的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量 六、综合计算：（本题14分）二次型 f（X1,X2,X3）= X： X； x3 2X1X2（1）求二次型所对应的矩阵 A，并写出二次型的矩阵表示（2）求A的特征值与全部特征向量；（3）求正

14、交矩阵P，使PAP为对角形矩阵。（4）求正交变换X = PY化二次型为标准形（5）写出标准形七、证明题：（每小题5分，共10分）1、设°是非齐次线性方程组 Ax二b的一个解，乙；是对应的齐次线性方程组AX =0的一个基础解系，证明：0,123线性无关;2、某石油公司所属的三个炼油厂ai,a2,a3，在2010年所生产的四种油品bi,b2,ba,b4的数量（单位：吨）及各种油品的单位价格（元 /吨）如下表：油品产量工厂b1b2b3b4a15234a27315a36213各油品单价100150130110（1）做矩阵A3 4表示2010年工厂ai产油品bj的数量（i = 1,2,3; j

15、 = 1,2,3,4）（2）计算三个工厂在2010年的生产总值。模拟试题四一、判断题：（正确：2,错误：X）（每小题2分，共10分）1、 设A,B均为n阶方阵,则若A或B可逆，则AB必可逆.（）2、 已知A,B是n阶方阵，k为整数，则（AB）k = AkBk.（）3、已知向量组：1,： 2,： 3,： 4的秩为3，则：1,： 2,： 3,： 4中至少有三个向量线性无关.（ ）4、 一个向量组的最大无关组与这个向量组本身等价（）5、 设1 , ' 2是矩阵A的两个不同的特征值，Pj,P2是对应的特征向量，则P1与P2正交.（）二、填空题：（每空2分，共20分）1、4阶行列式det（aj）

16、中含a, a的带正号的项为 2、A,B为3阶方阵，如果 A=2, B=3，那么3AB ' =3、m个n维向量构成的向量组a“a2,，am线性相关的充分必要条件是矩阵A =(ai,a2,，am)的秩R(A)于向量个数m .4、若n元非齐次线性方程组 Am nx二b有解且R(A)二r，则当时，方程组有无穷多解.5、行列式D4 395 71中元素325的代数余子式A21=6已知A= (2_11则A<-73 丿354111117、已知4阶行列式D ='1-111-1，贝U A21A22A23A24 的值为，其111-1中Aij为D的第i行第j列元素的代数余子式.广104 A8、矩

17、阵A= 02-1对应的二次型是 1 145丿x1 x2 x3 4x4 3x5 =0四、(10分)求齐次线性方程组f _X2 +3X3 _2X4 +X5 =0的一个基础解系和它2xt + x2 + 3x3 + 5x4 + 5x5 = 0 3xx 5x3 + 6x4 + 7x5 = 0 3302 '9、 矩阵A= -1 -4 3 0 的列向量组的秩为 .1-5 6_2丿10、 已知 =2是A特征值，且A可逆，则是A，的特征值.三、计算：(每小题8分，共16分)1 0 0 '10 0"1、已知矩阵A =0 0 1，B =0 2 0 ，0 1 0丿© 0 3丿2求(

18、1) A ;(2) A2012 2BT ：的通解.1、1、r 6、-13-12-122，a2 =1,a 3 =2，a4 =3，a5 =10 ，I4丿乙g< 0五、（10分）设有5个向量ai求此向量组中的一个最大线性无关组，并用它表示其余的向量.六、（10分）设非齐次线性方程组 AX二b的增广矩阵为10012-3-101 、0B=0001 k1 k000(1 _k)k讨论它的解的情况，何时无解，何时有无穷多个解，并说明理由；有无穷多个解 时求出该方程组的通解.七、（本题14分）设二次型T222f（Xi, X2, X3） = X AX = Xi X2 6x3 4x1X2 6x1 X3 6x2X3，（1）求二次型的矩阵A ；（2）求矩阵A的特征值及全部特征向量；（3）判断矩阵A是否可以对角化；（4）判断它是否为正定二次型.八、综合题：（每小题5分，共10分）1、证明题： 设 b = a1 a2,