【大学】随机变量的分布函数

1、.)(xXPxF 称为称为 X 的的分布函数分布函数0 xxX 设设 X 是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数是任意实数, 函数函数几何定义几何定义：.(1) 在分布函数的定义中在分布函数的定义中, X是随机变量是随机变量, x是参变量是参变量. (2) F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3) 对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间( x1 , x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数， 它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描

2、述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox XXXX. 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量学的工具来研究随机变量.）（ xxXPxF),()(xoxXX.二、分布函数的性质二、分布函数的性质 ,上是一个不减函数上是一个不减函数在在 xF(1) ;,212121xFxFxxxx 都有都有且且即对即对 21F xF x1x2xox XX 120P xXxXX. 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数的分布函数

3、. 也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函是鉴别一个函数是否是某数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.(3) F(x) 右连续，即右连续，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXxx x()F limxF x limxF x()F 0 1 .例例2 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数? ?(1) 0, 1; 02, 2/12, 0)(xxxxF 2/1, 1. 2/10, 2/10, 0)(xxxxxF;, 10,sin0, 0)( xxxxxF(2)(3).解解(1) 由题设由题设, ,)(x

4、F在在),( 上单调不减上单调不减, ,右连续右连续, , 并有并有, 0)(lim)( xFFx, 1)(lim)( xFFx所以所以)(xF是某一随机变量是某一随机变量X的分布函数的分布函数. .(2) 因因)(xF在在), 2/( 上单调下降上单调下降, ,不可能是分布函数不可能是分布函数. .(3) 因为因为)(xF在在),( 上单调不减上单调不减, , 右连续右连续, ,且有且有, 0)(lim)( xFFx, 1)(lim)( xFFx)(xF所以所以所以所以)(xF是某一随机变量是某一随机变量X的分布函数的分布函数. .完完.二离散型随机变量的分布函数二离散型随机变量的分布函数设

5、离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为Xip1x2xnx1p2pnp则则X的分布函数为的分布函数为)(xXPxF 即，即，, 0)( xF当当21xxx 时，时，,)(1pxF ixxxXPi xxiip1xx 时，时，当当当当32xxx 时，时，,)(21ppxF 当当nnxxx 1时，时，,)(121 npppxF.当当nnxxx 1时，时，,)(121 npppxF如图，如图，)(xF是一个阶是一个阶它在它在ixx ), 2 , 1( i有跳跃，有跳跃，.iixXPp 反之，反之， 若一个随机变量若一个随机变量X和分布函和分布函则则X一定是一个离散型随机变量，一定是一个离

6、散型随机变量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由)(xF唯一确定唯一确定.完完梯函数，梯函数，跳跃度恰为随机变量跳跃度恰为随机变量ixx 点处的概率点处的概率X在在数，数，数为阶梯函数为阶梯函)(xFxO2x1x3x.1p3p2p.当当 x0 时时， X x = ， 故故 F(x) =0例例1 设设 随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为当当 0 x 1 时时， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解0 x12x x XXXkp0121 31 61 2求求 X 的分布函数的分布函数 F (x) .当当 1 x 2 时时， F(x) = PX

7、=0+ PX=1= + =316121当当 x 2 时时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 XxxX.故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF.31211202161OOO1)(xF的分布函数图的分布函数图xy.【练习练习 】，的集合为的集合为的的 XxX0 xX-1x )(xFXpk21 -1 2 34141解解xXP . 0 P.)(xXPxF .411 XPXpk21 -1 2 34141xX-1x1 X.)(xXPxF xX-1x.214121 XXP或或Xpk21

8、 -1 2 3414121或或 X.同理当同理当,3时时x )(xXPxF .3, 1,32,43,21,41, 1,0)(xxxxxF-1 0 1 2 3 x1. 1321 XXXP或或或或. 21XP 2523XP32 XP-1 0 1 2 3 x12)2()3( XPFF,4321431 )21(F,41 )23()25(FF,214143 .-1 0 1 2 3 x1214141 分布函数分布函数 F (x) 在在 x = xk (k =1, 2 ,) 处有处有跳跃跳跃, 其跳跃值为其跳跃值为 pk=PX= xk.Xpk21 -1 2 34141说明说明.练习练习 X具有离散均匀分布具

9、有离散均匀分布, , 即即,/1nxXPi , 2 , 1ni 求求X的分布函数的分布函数. .解解 将将X所取的所取的n个值按从小到大的顺序排列为个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(nxxx 则则时时, ,)1(xx , 0)( xXPxF,/1)(nxXPxF ,/2)(nxXPxF )2()1(xxx 时时, ,)3()2(xxx 时时, ,/)(nkxXPxF )1()( kkxxx时时, ,1)( xXPxF)(nxx 时时, ,.例例4X具有离散均匀分布具有离散均匀分布, , 即即,/1nxXPi , 2 , 1ni 求求X的分布函数的分布函数. .解解 将将X所取的所取的n

10、个值按从小到大的顺序排列为个值按从小到大的顺序排列为)()2()1(nxxx 故故)(xF), 2, 1n中恰有中恰有k个不大于个不大于x ),min(1nxxx 当当, 0且且 jxj(),min(1nxxx 当当,/nk),max(1nxxx 当当, 1完完.例例1 等可能地在数轴上的有界区间等可能地在数轴上的有界区间,ba上投点上投点, ,X记记为落点的位置为落点的位置(数轴上的坐标数轴上的坐标), , 求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数. .解解 当当ax 时时, ,xX 是不可能事件是不可能事件, ,于是于是, ,. 0)( xXPxF当当bxa 时时, ,由于由于,xXax

11、X 且且,baxa 由几何概率得知由几何概率得知, ,.)(abaxxXaPxXPxF 当当bx 时时, , 由于由于,bXaxX 于是于是.例例1 等可能地在数轴上的有界区间等可能地在数轴上的有界区间,ba上投点上投点, ,X记记为落点的位置为落点的位置(数轴上的坐标数轴上的坐标), , 求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数. .解解当当bx 时时, , 由于由于,bXaxX 于是于是)(xF. 0 )(xF.abax . 1)( ababbXaPxXPxF综上可得综上可得X的分布函数为的分布函数为 bxbxaabaxaxxF, 1., 0)(完完. 1)(lim)(;0)(lim)(, 1)(0 xFFxFFxFxx且且)(xXPxF 1.分布函数分布函数F (x) 是一个不减的函数是一个不减的函数 .)(),()0(是右连续的是右连续的即即xFxFxF . xxxxxxxF31321211213210200的的分