《现代信号处理》ppt课件

1、内内 容容内内 容容研讨的必要性研讨的必要性高阶统计量高阶统计量高阶谱高阶谱高阶累积量和多谱的性质高阶累积量和多谱的性质三阶相关和双谱及其性质三阶相关和双谱及其性质基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的相位谱估计基于高阶谱的模型参数估计基于高阶谱的模型参数估计多谱的运用多谱的运用 参考参考:(184-199；204-205) 研讨高阶谱的必要研讨高阶谱的必要性性v 关于模型参数估计问题关于模型参数估计问题v所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列列( (如模型输出端所观测到的信号如模型输出端所观测到的信号y(n)y(n)来估计来估计图中随机信号模型的参数，

2、图中随机信号模型的参数，) )v与前面所述不同之处在于：这里思索了观测过与前面所述不同之处在于：这里思索了观测过程所引入的噪声程所引入的噪声v(n).v(n). H ( z ) ( h ( n ) )v(n)y(n)x(n)u(n) 研讨高阶谱的必要研讨高阶谱的必要性性v 基于二阶统计量的模型参数估计方法的基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷缺陷 前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。即含信号的相位特性，亦称盲相。即

3、22)()(jueHS 这种模型只适宜于高斯随机信号，由于高斯信号仅用 二阶统计量(均值和方差)就能加以描画。 研讨高阶谱的必要研讨高阶谱的必要性性v二阶统计量方法的根本限制二阶统计量方法的根本限制v 前面讨论的方法中，普通都假设：前面讨论的方法中，普通都假设： 信号模型中的系统H(z)是最小相位的。 鼓励信号u(n)是均值为零，方差为 的高斯白噪声。 丈量信号v(n)是均值为零，方差为 的高斯白噪声； 且v(n)与信号x(n)统计无关，即v(n)不影响信号的谱外形 故有 2u2v)()()()()()()(22222mhmnynuEmRHSSuuyvuvxxyy 研讨高阶谱的必要研讨高阶谱的

4、必要性性v 二阶统计量方法存在的问题二阶统计量方法存在的问题v 在许多实践运用(如地震勘探、水声信号处置、远程通 信)中，往往不能满足上述假设；甚至系统是非线性的。 对于非高斯信号的模型参数，如仅仅思索与自相关函数 匹配，就不能够充分获取隐含在数据中的信息。 假设信号不仅是非高斯的，而且是非最小相位的，采用基 于自相关函数的估计方法所得到的模型参数，就不能反 映原信号的非最小相位特点。 当丈量噪声较大，尤其当丈量噪声有色时，基于自相关 函数的估计方法所得到的模型参数有较大的估计误差。 研讨高阶谱的必要研讨高阶谱的必要性性v 处理问题的方法处理问题的方法v 从观测数据中提取相位信息 信号分析必需

5、具有抗有色噪声干扰的才干 因此，必需用高阶谱(高阶统计量)来分析信号随机信号的高阶特征随机信号的高阶特征功率谱估计，功率谱估计，Wiener滤波器都是以信号的相关函数为工具。滤波器都是以信号的相关函数为工具。 pijiqijieezAzBP121222211)()()(模型的多重性：思索功率谱模型的多重性：思索功率谱故由于,1)(111*jjee)(11)(121221221222PeePpiiqiipijiiqijii即不同即不同ARMA过程具有一样外形的功率谱。这一特性过程具有一样外形的功率谱。这一特性 称为相关函数的多重性或模型的多重性。称为相关函数的多重性或模型的多重性。 相关函数的局

6、限性随机信号的高阶特征续随机信号的高阶特征续 两个具有零均值和一样方差的高斯白色噪声和 指数分布白色噪声显然是不同的随机过程，但它 们的功率谱一样。 用这样两个白色噪声鼓励同一个ARMA模型，产生的 两个ARMA过程显然是不同的随机过程，但它们的功 率谱一样。 两个灰度图一样的图像有能够是不同的图像。以上现实阐明以上现实阐明, 要准确地描写随机信号要准确地描写随机信号, 仅运用相关仅运用相关函数函数(二阶统计量二阶统计量)是不够的是不够的, 还必需运用更高阶的统还必需运用更高阶的统计量。三阶和更高阶的统计量合称高阶统计量。计量。三阶和更高阶的统计量合称高阶统计量。相关函数：相关函数： 描写信号

7、的粗糙像描写信号的粗糙像高阶统计量：描写信号的细节高阶统计量：描写信号的细节v 特征函数与高阶矩特征函数与高阶矩 特征函数：随机变量 x 的特征函数定义为)1 ()()(adxexfeEvjvxjvx或或)1 ()()(bdxexfeEssxsx其中其中 f(x) 是随机变量是随机变量 x 的概率密度函数。的概率密度函数。 高阶矩：对高阶矩：对(1b)求求k 阶导数，得阶导数，得kksxkkdssdexEs)()(那么随机变量那么随机变量x 的的k 阶矩阶矩(即即k 阶原点矩阶原点矩)定义定义为为)2()()0(0skkkkkdssdxEm由于由于k 阶矩由阶矩由 生成，故特征函数生成，故特征

8、函数 为随机变量为随机变量x的矩生成函数的矩生成函数(矩母函数矩母函数)，又成为第一特征函数。，又成为第一特征函数。)(s)(sv 累积量生成函数与高阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)累积量生成函数累积量生成函数)3()(ln)(avv或或)3()(ln)(bss称为累积量生成函数称为累积量生成函数(第二特征函数或累积量母函数第二特征函数或累积量母函数)。高阶累积量：随机变量高阶累积量：随机变量x x 的的k k 阶累积量定义为阶累积量定义为 ) 3()(0skkkdssdc即累积量生成函数的即累积量生成函数的k k 阶导数在原点的值。阶导数在原点的值。v累积量生成函数与高

9、阶累积量累积量生成函数与高阶累积量(cumulant)高阶矩与高阶累积量的关系高阶矩与高阶累积量的关系.)(61243)5()(23)(41412213122443131213321212211mxEmmmmmmmcmxEmmmmcmxEmmcxEmc 关系关系:(留意：留意：k 阶中心矩定义为阶中心矩定义为 ) 结论结论: 二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为二、三阶累积量分别是二、三阶中心矩；均值为 零时零时, 就是二、三阶相关就是二、三阶相关(矩矩) 四阶以上的累积量不等于相应的中心矩四阶以上的累积量不等于相应的中心矩kxxE)(v 累积量的物理意义累积量的物理意义 高斯随机变量的

10、高阶矩与累积量高斯随机变量的高阶矩与累积量 高斯随机变量可用二阶矩完全描画。实践上高斯随机变量可用二阶矩完全描画。实践上,零均值高斯零均值高斯 随机变量的随机变量的k 阶矩阶矩(或零均值的或零均值的k 阶中心矩阶中心矩)为为 高斯随机变量只需一阶和二阶累积量；其二阶以上的累高斯随机变量只需一阶和二阶累积量；其二阶以上的累 积量为零积量为零, 它不提供新的信息。即它不提供新的信息。即为奇数，为偶数kkkxEmkkk0,)1(,.,5 , 3 , 1 可见，其高阶矩依然取决于二阶矩可见，其高阶矩依然取决于二阶矩 。2 假设任一随机变量与高斯随机变量有一样的二阶矩假设任一随机变量与高斯随机变量有一样

11、的二阶矩, 那么那么累积累积 量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。量就是它们高阶矩的差。故有如下累积量的物理意义。) 3(0,221kccmckv 累积量的物理意义累积量的物理意义 一阶累积量数学期望一阶累积量数学期望:描画了概率分布的中心描画了概率分布的中心 二阶累积量方差：二阶累积量方差： 描画了概率分布的离散程度描画了概率分布的离散程度 三阶累积量三阶矩：三阶累积量三阶矩： 描画了概率分布的不对称程度描画了概率分布的不对称程度累积量衡量恣意随机变量偏离正态累积量衡量恣意随机变量偏离正态(高斯高斯)分布的程度分布的程度物理意义物理意义偏态与峰态偏态与峰态33csx 将三阶矩除以

12、均方差的三次方将三阶矩除以均方差的三次方 ,得偏态系数或偏态：得偏态系数或偏态：3 将四阶累积量除以均方差的四次方将四阶累积量除以均方差的四次方 ,得峰态得峰态:433344444422444mmmmcx高阶谱高阶谱功率谱的缺陷：功率谱的缺陷：由功率谱只能恢复由功率谱只能恢复 ，不能够恢复，不能够恢复自相关函数辨识系统，无法辨识非最小相位系统自相关函数辨识系统，无法辨识非最小相位系统 “模型的多重性模型的多重性 “自相关函数等价性自相关函数等价性 “功率谱等价性功率谱等价性)()()()(*2fXfXfXfpx)( fX)( fX高阶谱续高阶谱续 含义：高阶谱(Higher-order spe

13、ctrum),又称多(polyspectrum), 是信号多个频率的能量谱。 111111)(1111),(),(krjkkxrkkxecS定义：高阶谱定义为定义：高阶谱定义为k阶累积量的阶累积量的k-1维维DFT，即，即 条件： “绝对可求和11),(11krkkxrc通常将通常将 的累积量谱称为高阶谱或多谱。的累积量谱称为高阶谱或多谱。3k常用常用:常用的高阶谱是三阶谱常用的高阶谱是三阶谱(双谱双谱)和四阶谱和四阶谱(三谱三谱)。 高阶谱续高阶谱续222111)(21321),()(rjxrxecB二阶谱即为功率谱，它是单个频率的谱。二阶谱即为功率谱，它是单个频率的谱。三阶谱为双谱三阶谱为

14、双谱(bispectrum)(bispectrum)，即两个频率，即两个频率的谱的谱四阶谱为三谱四阶谱为三谱(trispectrum)(trispectrum)，即三个频率，即三个频率的谱的谱333221121)(3214321),()(rjxrrxecT高阶谱续高阶谱续功率谱：功率谱：2)()(Xpx双谱：)()()()()()(),(21*21212121XXXXXXBx三谱：)()()()()()()()(),(321*321321321321XXXXXXXXTx1 1双谱估计的直接方法：双谱估计的直接方法：)()()(),()()(21*2121ffXfXfXffBfxnx高阶谱续高阶

15、谱续2双谱估计的间接方法：双谱估计的间接方法：双谱),()(3nmcnxx2D-FT峰度峰度224)(3)(txEtxEk归一化峰度归一化峰度)()(2241txEtxEk 31k高斯信号亚高斯信号31k超高斯信号31k高阶谱续高阶谱续归零化峰度3)()(2242txEtxEk高斯信号： 零峰度亚高斯信号: 负峰度超高斯信号： 正峰度v 主要性质主要性质 (8个性质个性质) v 最重要的性质如下最重要的性质如下: 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 随机信号经过线性系统后的累积量等于该随机信号 的累积量与线性系统冲激呼应累积量的卷积信号的高阶累积量可以决议信号模型的冲激呼应h(n)，

16、即用信号模型的输出信号(即观测到的信号)y(n)的高 阶累积量就能决议h(n)。 v 主要性质主要性质(续续) 确定性序列的多谱确定性序列的多谱: 确定性序列确定性序列h(1),h(k)的的k阶累量阶累量)7()().()(),.,(1111,knkhknhnhnhC其其 k 阶谱为阶谱为)8()()().()(),.,(11121121,kiikkhkHHHHS式中nnjenhH)()(v用高阶累积量作为时间序列分析工具的缘由用高阶累积量作为时间序列分析工具的缘由 v 用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析用高阶累量而不是高阶矩作为时间序列分析工具的缘由：工具的缘由： 实际上，运用高阶累积量

17、可防止高斯有色噪声的影响， 高阶矩不能做到这一点。高阶白噪声的高阶累积量是多维冲激函数, 其谱是多维 平坦的, 但高阶白噪声的高阶矩及其谱无此特性和优点；累积量问题的解具有独一性(因特征函数独一地确定概 率密度函数)，但矩问题不具有独一性；两个统计独立的随机过程的累积量等于各随机过程累积 量之和，这一结论对高阶矩不成立。 三阶相关：三阶相关： 设设x(n)为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为零均值的实平稳序列，其三阶相关函数为为)()()(),(2121mnxmnxnxEmmRx双谱双谱 Rx(m1,m2)Rx(m1,m2)的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式的二维傅立叶变换就是双谱，其表达式

18、为为2, 1)(2121,),(),(221112mmjmmxxemmRBv 性质性质 三阶相关函数的对称性三阶相关函数的对称性 双谱的对称性、周期性和共轭性双谱的对称性、周期性和共轭性v 定义定义)()()(),(21*1121HHHBhv双谱中的相位信息双谱中的相位信息其中nnjenhH)()(这阐明双谱包含信号模型的相位信息这阐明双谱包含信号模型的相位信息 ；而功率谱而功率谱 不含相位信息不含相位信息 。 设设)(),(2121)()(),(),(21jjhheHHeBB那么那么有有)()()(),()()()(),(212121212121HHHBh且有)()(),(),(2121时当

19、MnhnyBBhy)()(Sv确定性序列的双谱确定性序列的双谱v 设设h(n)表示有限长确定性序列，其双谱可表示有限长确定性序列，其双谱可表示为表示为v自相关函数丧失了信号的相位特性，而累积量可以得到自相关函数丧失了信号的相位特性，而累积量可以得到信号的相位谱。信号的相位谱。v实践运用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量实践运用中，基于三阶累积量的双谱和基于四阶累积量的三谱曾经够用。的三谱曾经够用。v根本原理根本原理 v 与与AR功率谱估计功率谱估计(即单谱估计即单谱估计)相类似，相类似，AR过程的多谱过程的多谱 估计与知的多谱相匹配的程度，也可用线性预测的多估计与知的多谱相匹配的程度，也

20、可用线性预测的多 谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量。阐明如下：谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量。阐明如下： 设用设用p 个值个值x(n)作线性预测，即作线性预测，即pkkknxanx1)()( 那么预测误那么预测误差差pkkknxanxnxne0)()( )()(其多谱为其多谱为)9(),.,()()().()(),.,(11,1112111,kxkkiikkekSAAAAS式中式中nnjenhH)()(v根本原理根本原理 ( (续续) )v 假设选择系数假设选择系数ak ，使得，使得)10()()().()(),.,(11111,11,kiiukkekAAAASukkekS,11

21、,),.,( 式中式中 为一常量，那么有为一常量，那么有 uk,上式阐明：上式阐明：x(n)是由是由ukkneE,)(的非正态白噪声鼓励参数为的非正态白噪声鼓励参数为ak(k=1,p)的的AR过程产生过程产生的。的。结论：预测误差的多谱的平坦度可用作结论：预测误差的多谱的平坦度可用作AR过程多谱与实过程多谱与实践多谱接近程度的一种度量。践多谱接近程度的一种度量。v 不稳定问题及其处理方法不稳定问题及其处理方法 不稳定问题：用单谱不稳定问题：用单谱(功率谱功率谱)和多谱估计和多谱估计AR模型参数时，模型参数时， 都存在稳定性问题。都存在稳定性问题。 处理方法处理方法 当用单谱估计当用单谱估计AR

22、模型时，只需把不稳定极点交换为模型时，只需把不稳定极点交换为其其 倒数极点倒数极点(反演技术反演技术)即可，这是由于即可，这是由于 当用多谱估计当用多谱估计AR模型时模型时,不能作这种交换不能作这种交换. 以双谱为以双谱为例例)()()()(1, 2111, 2zSzAzAzSxx)()()(),(12111211121, 3zzAzAzAzzSx)()()(),(2111211111211, 3zzAzAzAzzSx而故),(),(1211, 321, 3zzSzzSxxv 多谱运用: 用于信息学、海洋学、地球物理学、生物医学、机械学和经济时间序列分析等学科领域v对信号处置而言，多谱可运用于自顺应信号处置、阵列信号处置和多维信号处置v信号处置中多谱的作用 从正态信号中提取信息 检测和定性分析系统的非线性特征 从有色正态噪声中提取信号如水下信号、空间信号等 提取非正态信号的相位信息双谱在目的识别中的运用双谱在目的识别中的运用),(21)(212121222111),(),(),(jrjkyreBecB特性：特性：1 1保管了幅值特性保管了幅值特性2 2保管了相位特性保管了相位特性3 3平移不变性平移不变性 ),(,)(),(,)(2121xxBtxBtx运用运用: :1 1飞机目的飞