人大微积分课件10-3格林公式及其应用课件

1、第三节格林公式及其应用（第三节格林公式及其应用（1 1）一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类二、格林公式二、格林公式三、简单应用三、简单应用 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、区域连通性的分类 设空间区域设空间区域G, , 如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, , 则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果G内任一闭

2、曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面, , 则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 设设闭闭区区域域 D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L围围成成, ,函函数数),(),(yxQyxP及及在在 D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ( (1 1) ) 其其中中L是是D的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线, , 公公式式( (1 1) )叫叫做做格格林林公公式式

3、. . 定理定理1 1二、格林公式连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(

4、),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若区域若区域D由按段光由按段光滑的闭曲线围成滑的闭曲线围成. .如图如图, ,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyy

5、PxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段ABAB, ,CECE. .则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA构成构成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLL

6、QdyPdx),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoL例例 1 1 计算计算 ABxdy,其中曲其中曲线线AB是半径为是半径为r的圆在的圆在第一象限部分第一象限部分.解解 引入辅助曲线引入辅助曲线L,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有三、简单应用 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyx

7、dy由由于于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应用格林公式应用格林公式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e例例3 3 计计算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L为为一一条条无无重重点点, ,分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点的的连连续续闭闭曲曲线线, ,L的的

8、方方向向为为逆逆时时针针方方向向. .则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和 l所所围围成成, 应用格林公式应用格林公式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积曲线曲线AMO由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2