两角和与差公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础知识自主学习n知识梳理i.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a3 = cos acos 3+ sin «sin 3 (C( a 3)cos( a+3 = cos_acos_ 3 sin_ ocsin3 (C(a+ )sin( a 3= sin_ ocos_ 3 cos_asin_ 3 (S(a3)sin( a+ 3= sin_ ocos_ 3+ cos_ asin_ 3 (S(a+3)tan a tan 3 十tan(a 3 =:； (T( a3)1 + tan atan 3一 tan a+ tan 3 ，十tan( a+ 3 = I?&q

2、uot; (T (a+ 3)1 tan atan 32 二倍角公式sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a;2 . 2 2 2cos 2 a= cos a sin a= 2cos a 1 = 1 一 2sin a;-2ta n atan 2 a=.1 tan a逆用和变形3. 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、用等.如T(引可变形为tan a±an 3= tan( a±®(1 ?tan_ atan_®,tan a+ tan 3 tan a tan 3,tan aan 3= 1 =“ tan( a+ 3)tan( a

3、3)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 存在实数 a, 3,使等式 sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V )在锐角厶ABC中，sin As in B和cos Acos B大小不确定.(X )3),且对任意(3)公式 tan(a+ 3)= tan a+ tan （2013课标全国n ）设B为第二象限角，若可以变形为 tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 tan aan1 tan aan 3角a, 3都成立.(X )存在实数 a,使tan 2 a= 2tan a( V )设 sin 2 a= sin a, a (才，n ,则

4、 tan 2 a= , 3.( V )考点自测1. （2013浙江）已知a R, Sin a+ 2COS a=冷0，贝V tan 2 a等于（）4A333B.4 C4答案解析'Sin a+ 2cos10a=,.2 :sin a+ 4sin ocos a+ 4cos25i a= 2化简得：4sin 2 a= 3cos 2 a,sin 2 a 3 , an 2a= co?2r7 故选 C.Sin a+ cos a 1,=2 贝y tan 2 a 等于（）a COS a4D.4答案解析sin a+ cos a 由sin a cos a1 tan a+1 11等式左边分子、分母同除cos a得

5、，=，解得tan a= 3,2 tan a 1 2则tan2 a=f = 31 tan a 3 4答案tan（0+ ：= ?，贝V sin 0+ cos 0=解析'tanan 0= 33sin 0= cos 0, 即Is in2 0+ cos2 0= 1,且B为第二象限角,解得 sin 0=£°,cos_ 3何0= 10 .'sin 0+ cos A 4. （2014课标全国n ）函数f（x） = sin（x+ 2册2sin $cos（x+妨的最大值为答案 1解析.f(x) = sin(x+ 2 册2sin(j)cos(x+ 册=sin(x + 册 + 册2

6、sin (jcos(x + 妨=sin(x+ ©cos 0+ cos(x+ ©sin 2sin gos(x+ =sin(x+ ©cos © cos(x+ ©sin ©=sin (x + © © = sin x,f(x)的最大值为1.题型分类深度剖析tan(a+ B)的值为()题型一三角函数公式的基本应用例1(1)设tan a, tan B是方程x2 3x + 2= 0的两根,C. 1D . 3n nn 、1右 o< a<2, 2< b<0 , cosq + a=3,c°s(：弓=F

7、,则 cos( a+ f)等于()A.C.5 .39答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan a+ tan B= 3, tan dan f= 2.tan a+ tan B 3'ta n(a+ f)= 3.1 tan dan B 1 2故选A.(2) cos( a+nn B=cos(4+ a)(4 2),n 、 z n 3n 、.，nB=cosq+ acos(4 2)+ si n£+ a)s in(4呂).n0v a<2,n n 3 n 则右+ av&，si n(：+ a =欝.则 n<n3<n则 4 42 2，n卫 6 则 sin(4

8、- 2)=苜.故曲+护1丿押冷=攀故选C.思维升华 三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.跟踪训练1nn 1(1)若 a(n，n, tan( a+ 4)= 7，则 sin a等于()A.:4B.43C 34D 5计算:1 + 笃(2° - sin 10 (士 tan 5 )=2si n 20tan 5答案(1)A宁解析n tan a+ 11(1) ：tan( a+-)= 1,41 tan a 7'tan3 sin aa= 4 = COs a，'COS a=- |sin aF .22乂 Sin a+ COS a=

9、1 ,-Sa= 25.n3又=(2, n , /sin a= 5.2cos210 °(2)原式二 4sin 1o'cos 10 "Sin 1022 ocos 5 sin 5oosin 5 cos 5cos 10 0 sin 202sin 10sin 10cos 10 ° 2sin 202sin 10°cos 10 °2sin 30。一 10°2sin 10°cos 10 ° 2sin 30 c6s 10 + 2cos 30 s° 102sin 10°题型二三角函数公式的灵活应用例 2(1

10、)sin(65 ° x)cos(x 20°) + cos(65 ° x) cos(110 ° x)的值为()A. 2b¥C.1化简:4212cos x 2cos x+ 2n . 2 n2tan4 xsin 4+ x求值:cos 15 半 sin 15cos 15 si n 151答案(1)B？cos 2x (3),3解析 (1)原式=sin(65 °x) cos(x 20° + cos(65 ° x)cos90° (x 20° = sin(65 °x)cos(x 20°+ c

11、os(65 -x)sin(x 20 sin(65 -x)+ (x 20 = sin 45 缚故选 B.原式=1 4cos4x.24cos x + 1n2X sin 4 xcos 4222(2cos x 1 )=cos22xnnn4sin x cos 4 x 2sin 2x2ccos 2x 1 =-cos 2x.2cos 2x 21 + tan 15 ° tan 45 丰 tan 15(3) 原式=1 tan 15 ° 1 tan 45 tan 15=tan(45 牛 15°) = . 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆

12、用及变形，如tan a+ tan 3= tan(a+ 3 (1 tan atan 3和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式 的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.sin a+ COS a(1)已知a (0, n,化简:a . acos2 sin-'2+2cos a在 ABC中，已知三个内角A, B, C成等差数列，则tanA+ tanC +3tanA2tan的值为答案(1)cos a (2) 32 a 八a aa .a(2cos 2 + 2sintcost )(cos，一 sin 解析原式=22222寸 4cos2aa因为aqo, n,所以cosyo,2 aa

13、 aa a2cos 2+ 2sincos - cos2 sin§ 所以原式= a2cos/ a |. a、 “ a .a 2 a=(cos + sinp (cos? sinR = cos ?.2asin 2=cos a因为三个内角 A, B, C成等差数列,且A+ B+ C = n所以A+ C =尹,A+ C2n3, tan=.3,所以 tan A+ tan C + ,3tan Atan CA1 tan gtanAtan=tanA Ctan gtan 2an Atan C = 3.题型三三角函数公式运用中角的变换例3（1）已知a 3均为锐角，且sin31a= , tan( a 3=二

14、则 sin( a 3 =53,cos 3=2 “（2013课标全国n ）已知sin 2a= 3 则cos （a+才丿等于1A.61 1 2B.3 C.2 d3答案(1)嚅 50 10 (2)A解析(1) -a, 3如,，从而n<a1又 Tta n( a 3)= 3<0,n2< a 3<0.xH0W10sin(a 3)=肓,cos(a3)=.34'.a 为锐角，sin a= 5，COS a= 5. 'cos 3= cos a ( a ® =cos a;os( a 3+ sin 久sin (a 3) =4X 远 + 3x (血)=更n42510 +

15、 5'10 )50 ./、 1 + cos22i n i因为cos a+ 4 =(n1 + cos 2 a+ 21 sin 2 a2 = ° ，22 f n 1 sin 2 a 1 3 1 所以 cos a+ 4 =2= 2 = 6，选 A.思维升华1解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.（1）当“已 知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式； 当“已知角”“所有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 求角”变成“已知角”.a+ 3 a 3a+ 3 a 32 .常见的配角技巧： 2 a=

16、( a+ 3)+ ( a 3), a= ( a+ 3) 3, 3= 2 2 ， a= 2 + 2，a 32 =(3a“a+ ) - ( + 3 等.踉踪训缚 3(1)设 a、3都是锐角，且 cos a=£5, sin( a+ 3 = 3 贝"cos 3等于()55A技5A. 25B. 53或C. 25 或D.f 唏5525（2）已知（cos( a- 6)+ sin a= g/3,贝U sin( a+ 77)的值是答案（14)A (2) - 45解析（1)依题意得 sin a= '1 cos2 a=,COS(a+ 33 = ± 1 sin i a+ 3 =

17、±5.又a, 3均为锐角，所以 0< a< a+ 3 n, COS a>cos( a+ 3) 因为5>-54> 55，所以cos4；(a+ ®= 5.于是cos;3= cos( a+ 3) a=COS( a-卜 3cos a+ sin( a+ 3sin a一 4X5叵3X 2萌疵5 + 5525 .(2) '-Cos(n4a 6) + sin a= 53,鱼-2 cos3 .4 ；.-a+ sin a= 5冯 3,.3(2cos3.4Qa+ 2 sin a= 5 .3,3s in(6 -卜a=4 3,z nsin(6+“)=5,*sin

18、( a+7 nn 、4孕=-si Pi©- a= 5.高频小考点高考中的三角函数求值、化简问题2cos2#- sin 0- 1典例： 若 tan 2 0= 2 2, n <0<2n,则n2sin B+ 4n(2)(2014 课标全国 I)设 a (0, ), 3 (0,n2),且 tan1 + sin 3,、a=盂頁则()A . 3 a 3= 2B . 2 an3= 2D 2 a+nC . 3 a+ 3= 2(2012大纲全国)已知a为第二象限角,sin a+ cosa=_33， cos 2a 等于()A -于B-专晡D(4)(2012 重庆)sin 47 sin 17c

19、os 30cos 17等于(思维点拨1B. 2C.1 D穿(1)注意和差公式的逆用及变形.(2) “切化弦”利用和差公式、诱导公式找a 3的关系.a与 sin acos a的联系.''n <2<2 n,n'2< 0 n :.an10= .2,可以利用sin2a+ cos2 a= 1寻求sin a±cos利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.“ ,cos 0 sin 0 1 tan 0解析 (1)原式=:sin 0+ cos 0 1 + tan 02tan 0又 tan 2 0= = 2 2，即 2tan20tan 0- . 2 = 0,1

20、 tan2 0故原式=丄=3 + 2 2.1 .2,1 + si口 sin a 1 + sinB由tan a='得 =cos p cos a cos p即 sin o(cos p= cos a+ cos ain p-sin( anp) = cos a= sing a n n n_亠n-a pq-2，2)，2 aC(0，2)， 由Sin( a p = sin(2 a)，得 a P= 2 a,cn'2 a p=夕(3)方法sina+cos a=(si n2a+ cos a)13,22si n acos a= 3,3即 sin 2a=3,又Ta为第二象限角且sin a+ cosa=&

21、gt;0,n32k n+ 2< a<2kn+ 4 Mk 題),3 4k n+ n <2x<4k n+ 2 n(k®), 2 a为第三象限角, cos 2 a=1 sin 2 a=方法由 sin a+ cosa= f两边平方得1 + 2sin acos a：13, 2si n acos a=23'a为第二象限角， sin a>0 , cos a<0, Sin a cos a=P(sin a cos a $=1 2sinacos a=153sin a+ COS a=令， 由3sin a COS a=于,.3+ 15 sin a=6得,3 一 1

22、5COs a= 6 'COS 2 a= 2COS.重视三角函数的 “三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可 能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能 有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、 所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降 a 1 = .3cos 17sinf30 °+ 17 ° sin 17 cOs 30 (4)原式=sin 3

23、0 cOs 17 + cos 30 s° 17 sin 17 cOs 30 cos 17 °sin 30 cOs 17 cos 17 °= sin 30 =2.答案(1)3 + 2 2(2)B(3)A(4)C温馨提醒(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.思想方法-感悟提高方法与技巧1 .巧用公式变形:和差角公式变形：tan x±an y= tan(x±y) (1?tan x tan y);倍角公式变形：降幕公式cos2 a=1 + cos 2 a2sin a=1 cos

24、 2 a2配方变形：1 ±in a=2a1 + cos a= 2cos 2,2 a1 cos a= 2sin 2次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.J22 .在（0, n范围内，Sin（a+所对应的角 a+ B不是唯一的.3 .在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值练出高分组专项基础训练（时间：30分钟）21 .已知 tan( a+ 3 = 5, tann 14 = 4,那么tana才丿等于（）a.818b.13 c.22 d.622 22 6答案解析因为 a+ 4+ 4=a+ 3,所以n /、a+ 4= ( a+ 囱一n itan(a+ 4 = tan (a+ 3 一tan a

25、+1 + ta n a+322.2 .若0n4,n2，sin 2 0=，贝V sin 0 等于(83473代3B.4C-4d4答案D解析 由 sin 2 0=討7和 sin2 0+ cos2 0= 1 得2(sin 0+ cos 0)=又0畔n，/sin 0+ cos 0=3 一 V73同理，sin 0- cos 0= 丁，.3 0= 23.已知tan a= 4,则21 + cos 2 a+ 8sinsin 2 aa的值为(A. 4 .365D.答案 B2 2 21 + cos 2 a+ 8sin a 2cos a+ 8sin a 解析=sin 2 a2sin acos a'ta n

26、a= 4, cos aM),分子、分母都除以cos2 a22+ 8ta n a2ta n a65T.cos 40-n已知 cos(x 6)=34. (2013 重庆)4cos 50 - tan 40 等于()A. 22+ ,cos 40边sin 50 半 cos 50 sin 40 ° 在sin 50cos 40 °= cos 40rn则 cos x+ cos(x 3)的值是(2,3 D . ±1答案 CB. 2C. 3D . 2 2 1答案C解析4cos 50 ° tan 40 °4sin 40 cos 40 sin 40cos 40

27、76;2sin 80 - sin 40 ° 2sin 50 °+ 30 ° sin 40解析cos x + cos(x3)=1 血.3cos x+?cos x+ sin x=?cos x+1cos x+ §sin x)= , 3宁sin x=n解析sin 250 °1 + sin 10cos(x 6)= 11 cos 90 °+ 10 °1 + sin 10 ° 12 1 + sin 10 °2 1 + sin 10 ° 2.7.已知 a B均为锐角，且 cos( a+ 3 = sin( a B

28、),贝U tan a= 答案 1解析根据已知条件：cos acos 3 sin asin = sin acoscos asin 3cos Bcos a sin a) + sin Bcos a sin a) = 0,即(cos 3+ sin 3(cos a sin a)= 0.又a、3为锐角，则sin + cos B>0,'cos a sin a= 0,ta n a= 1.Vptan 12 38. 4cos212 ° 2 sin 12答案 4,3解析原式=- 3cos 122 o2 2cos 12 ° 1 sin 122 .3 *sin 12 "cos

29、 12 °cos 12 °2cos 24 s°n 12 °2 , 3sin 48 ° 2 , 3sin 482cos 24 sin 12 c6s 12 =sin 24 cbs 242 , 3sin 48sin 48=4 3.9 .已知1 + sin a；1 sin a1 sin a4 1 + sin a2tana,试确定使等式成立的a的取值集合.|1 + sin a |1 sin a|1 + sin a 1 + sin a |cos a2sin a|cos a，2sin a2sin a所以一一2tan a.|COs aCOs a所以 sin a

30、 0 或|cos a= cos a>0.n3 n故 a 的取值集合为 a a kn或 2k n+ < a<2kn或 2k n+ n<a<2k n+， k Z.i'n' n . aa v610. 已知 a 2， n，且 sin 2 + cos 2 芬.(1)求cos a的值；若sin( a ®= 3,沃 牙，n 求cos B的值.解因为sin 0°+ cos扌一于，1两边同时平方，得sin a 2.n又2< a< n,所以cos ann因为 2< a<n, 2< B<n,nnn所以一n<仟

31、，故一2<a护夕3 4又 sin( a B 一 匚，得 cos( a B .55cos B cos a ( a ® cos acos( a B)+ sin 久sin (a B) -今-5+八3-害B组专项能力提升22sin a+ sin 2 a则厂等于(cos a 4 |（时间：25分钟）n 1n11. 已知 tan(a+ 4) 2,且2< a<0，鉱C 一血D也10.105答案 Antan a+ 1 11解析 由 tan( a+ -)=；，得 tan a=_ ；.4 1 tan a 23n又一2< a<0,所以sin10a= 10.22sin a+ s

32、in 2 a 2sin a sin a+ cos a故=:=2 2sin anCOS a4,2sin a+ cos a=沁=5 .12. 若 a 0, n ,且 sin2a+ cos 2a=半，则 tan a的值等于()2A. "2"B33 C. 2 D. 3答案D解析.n口.21-aq 0,，且 sin a+ COS 2a= 4,.2 2 . 2 1 . 2 1-sin a+ COs a Sin a= 4，.COS a= 4,1 、 1cos a= 2或2(舍去),7t tan a=詁3.1nn13. 若 tan 0= 2，茨(0, 4)，贝y sin(2 0+ 4)=答案7*210解析因为sin 2 0=2sin Gcos