椭圆及其标准方程(优秀获奖教案)精品资料

1、2.2.1 椭及其标准方程（1）教学目标:1e点：肫圆的定义及椭圆紅准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程. 难点：肫圆准方程的建立和推导.知识点：椭岡定义及标沲方程.能力点：通过对m岡概念的入教学.堉挣学生的观察能力採索能力：通过对椭岡杯准方的推#. 使学生进一步常捉求曲线方w的一般方法.提离学生运川坐标法解决几何m题的能力谛得欣赏 数学的“简洁炎".并i参透数形结合和匁价转化的数学思ffl/jii.教育点：通过椭阅定义的|门纳和标准方程的推导.坫痒t生发现规沐、认识规律并利用规沖解决实标问 狴的能力，坫养学牛.採索数学的兴趣.激发学生的学习热m.自主探宂点：1.通过教学情境屮h体

2、的学1活动（如动手实验、a主探宂、合作交流等.引导学生发 现并提出数学问题.并在作出合理推导的基础上.形成椭圆的定义：2. 探wwi岡标准方程的iii简形式.汴通过对解决问题过程的反ffl，获得求曲线方程的一般方法. 考试点：m阋定义及标沲方程，利用其解决有关的椭阕问题错易浞a: /|:叫椭岡h.准方程时.学生一般点的位？f i 错. 拓展点：如何利用坐标法探ht其它岡稚曲线的方程. 教具准备多媒体谍件和三角板课堂模式学糾学一、引入新课【创设情景】w料1：对w阀的感性认识.通过演示改前准s的牛活屮/f关椭險1的实物和阳片.讣7:牛从感性卜认识椭阀.w料2: 2012年6月16 u卜午18时.“

3、神州九4 ”钗人飞船顺利升空，实现多人多天k行.标志肴我m 航天5（仆又卜.了一个新台阶.消问：“神州九9”飞船的运行轨道足什么？名媒体展示“祌州九9”运行 轨道ffl片.【设计意图】利用多媒体.展示学生常见的椭网形状的物品，让学生从感性i.认ui椭圆.通过“祌州九号” 的轨道斌像，让学生感受现实，激发学生的学习趣.培痄爱凼犯想.思考1:自然界处处存在松釉阀,我们如何用i'ld的双手阃出椭岡呢？思考2:在岡的学习屮我们知逍,flftj内到一定点的跑离力定长的点的轨进足相.那么.到两定点蜘离之和艿 十常数的点的轨迹乂足什么呢？【设计意图】村t-生活中、数学中的岡.学生己经打一定的认i!i

4、和研宂，但对椭圆，学生只停ffl在fl观感 受，堪于它w的关系，引导学生用上一章所学，来研宄椭岡.学生分组做试验,教师同时做好指导：按照课本上介绍的方法.学生用一块纸板：两个阁钉.一根无辨性的细绳试_椭_，让学生内己动手肺. 同fitilllwe.探讨研宄（提醒学生：怍阁过程中注总观察椭圆的几何特征.即椭圆上的点费满足怎样的 儿何条件）思考:点m运动时，fpf.fmj rn.j? am技照什么糸件运动形成的轨迹足椭阀？1. 在作阁时，尖为动点，两个阁钉为记点.动a*、：:到两记点距离之和符介什么条件？ «轨迹如何？2. 改殳两w钉之叫的使其与绳长扣等，w出的阁形还足椭岡吗？3. 当绳

5、长小于两ra钉之间的距离吋.还能画出阁形吗？学生经过动r操作一独立思考一小饥讨论一共同交流的探宄过稈，师生共同总结規律：当imfj+imf少ifai时.m点的轨迹为椭岡:iimfj+imfifj时.m点的轨迹为线段f,f2 :imfj+imf-jlflut, m点的轨迹不存在.【设计意图】在本环w中并不足急于向学生交行椭_的定义，而足s计一个实验 一g为了给学生一个动 手实验的机会.让学生体会椭圆上点的运动规律：二足通过实践思考.为进一步上升到理论做准备.二.探宄新知（一）归纳定义通过师生共同总结归纳，形成椭圆槪念摘圆定义：在平面内，到两个定点巧、f2的跖讳之和等于常数（火于ifj）的点的轨迹

6、叫做槲网.这两个定点巧.巧叫做椭圆的焦点.两热点的距离叫做椭m的焦距.注意：“和”，“常数”及“常数”的范闱（常数大于ihf 思考：热点为，的盹圆上任一点m，打什么性质？i殳楠岡卜.任一点为m ,则mf!| + |mf:| = 2a（2a 2c = 1f31）【设计意图】通过乍卞观察、思考.讨论.槪m出椭岡的定义，il:学卞全w衫4槪念的探宂过秤.加深押 提岛槪括能力和数学ift宫的衣达能乃.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步:（教师捉问.针对对r"学生w?沽况做一总结（1）注系、没点；2）写出点的集介；（3）列式；4）化亂（5）证明.思考：如何迂系，才能使求出的方程

7、敁®呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，常遇到的建系方法如下：（供教师参考）方案一:巧建在x轴上，以巧、6的中点为b点:方案二:f:建在x轴上，以巧为原点,方案三:f:建在x轴上，以巧、巧与乂轴的左交点为垛点:f:建在y轴上，以f；、巧的中点为原点:【设计意图】积极鼓励学生用不向注系方法让他们充分ss自然®维，通过比较，得出於简洁的方案，而不足被动地接受教m成老w强加给的方法.通过师生分析对比，选择方案一比较简沽：(师生共同求解w圆方程)(1) 建系：以f，f2所在直线为x轴.以

8、线段rf2的垂h平分线为y轴，逑立h角坐标系。设点：sm(x,y)jilhjp上tt®点，为了使fpf2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设|fjf:h2c(c>0)，则fl(-c，o)，f2(c，o)sm 两定点fpf2的距离的和艿丁-2a(2) 写点的集合：由椭岡的定义 iwi岡就足集介p = m|mf；|+|mf2|= 2a(3) 列式：imfj+imfh 2a(x4- c)2 + y2 + (x- c)?+ y3 = 2a,(4) 化简：教师引导学生思考:我们怎么化简两个带根式的式子？对于本式是直接平方好还是移项后再平 方好呢7 (通过分析对比，最后选择移项平方)7(x+

9、c)-+y-= 2a-扣-(:)2+/两边平方.得：(x+ c)2+yr= 4a2- 4aj(x- c)2+r+ (x- c+y2即 a:- cx= a(x- cf+y2两边平a得：a4- 2a2cx+ c2xr = a2(x- c)2+ a'y2整理.得:(a2- c2)x2 + a2y2= a'(a2- c2)w边m除以a2(a3- c2),得 +- = 1a a -c-由椭阏的定义知，a>c所以a2-c2o注:教师板书化简过程,让学生进一步明确标准方程的由来，体会化简的技巧.思考1:请同学观察右图，你能从中找出表示a，c,5/a2-c2的线段 由知，|pf；| =

10、|pf| = a. |of；| = |of；| = c. |po| = >/a2-c令b = |po| 即 a2- c2= b2(b> 0) 则方程"j®化力：lx2 + a2y2 = a2b2幣理成：+ = 1(3 >b>0) a- tr【设计意图】通过思考可以让学生进一步明确a,b,c的几何意义，加深对椭圆定义及标准方程的理解.(5)证明：从上述过以c到.椭岡上任怠点的坐标都满足方程.以方程的解(x，y)为坐标的点到mwi的两个托点r(-c，o)、fjc，o)的跗离之和为2a .即以的解为*lth;的点都作椭冏i:,山曲线sizf柷的关系知，万权

11、记椭则的方ft!.我们把它叫做椭圆的标准方程.方程4+- = 1(3 >b>0)叫做椭圆的标准方程.焦点在x轴上.焦点足巧(-(：，0)及(£，0)，<：2 = 32-1)2 a d思考2:如果以1，匕所itn线为y轴.线段的垂ii平分线为x轴，述立ft角坐w系，焦点足6(0,-c)，f2(o，c)，槲岡的方稈又如何呢？ 如果不fflikfih述繁琐的化简过程.我们将如何做呢？_分析:由 imfil+imfh 2a 且>/(x+ c)2+ y5 + j(x- c):十 y5 = 2a， 变为:7+(y+c)3 +c)2= 2a,即变量x与y互換位置;所以r +

12、 -5l = i(a >b >0)变为»+= l(a > b >0)a- ita b即：椭阓的标准方程焦点在x轴：焦点在y轴：2 2 r+xr = l (a >b >0) a- ir+ = 1 (a >b>0) a ir焦点是 fi(-ao)，f2(c，o焦点是 fjco.-cxfjc)注：摘圆焦点的位罝由标准方程中分母的大小确定，【设计意图】伸1叫的i小准方稈的导出.艽放p给学牛货试.教帅跟踪抬导.洱展示学牛结果：教帅对照w 形，加以引导.让学牛明屮字母的几何总义.对方稈的押解灯很人的作用：利用类比对称.化的 思想得出焦点在y轴上的w

13、准方ft,避免®的繁杂计算.三、理解新知1.椭冏的w准z/w：2 2(1) - + - = l(a >b>0)焦点在x轴上，焦点是f；(-c,0xfj(c,0), c2 = a2-b2 3 d(2) 2l+l = l(a >b>0)焦点在y轴上.，焦/iffie(0,-cxf,(0,c), c2 = a3-b2 aj b_2.归纳概括，w岡方程特征(1) miate准方程形式：左边足两个分式的平方和.右边足1:(2) a >b> 0不可少，体会a，b,c的几何意义;(3) w阏烘点的位k由标淮方枵屮分母的人小确定；(4) 准方程中三个参数a,b，c

14、关系：a3 = b2 + c2 aw人.b、c人小不定.【设计意图】通过将两个标淮方s的总结加深学生对阅祕难方柷的理解亨握，特别足焦点位汽.三个參 数的关系，为求解m圆的相关问题打下基础.四、运用新知题型一:求椭囲标准方程例】.己知椭圆的两个两焦点坐w分别(-2,0),(2,0).并且肫阅经过点求它的标准方程 分析:要求椭的标准zf程,关键尖痛定参数a，b，c.本题己知c = 2,结舍b3 = i2-c2及f小准方程广f = 1(a>b观进-步确定4教师板书例题求解过程：2 2法】：w力椭岡的焦点在x轴上.所以设它的标准方程>v- + t = l(a >b>0) a*

15、b*所以：a = vlo又闪为c = 2, 所以b3 = a2-c2 = 10-4 = 6因此.所求摘醐繼程为卜思考与探宂:是否还有其他方法解决此类型问题w为椭阀经过点(，-)且b2 = a2-c(-y (-va2-4 所以：=1所以解方w得：a-=10,b2=6 闪此，所求椭网的好袱方r为二-+ 2- = 1注:本题多以方法二为主，如：己知椭圈+ = 1(3 >b>0)的左、右焦心:分别为'、f2.椭b上-点到两焦点巧、f2的距离的和等十4,求的标准方程及焦点坐i小.本题再用方法一解决敁荇比 较麻烦了.方法小结:求椭s标准方程的步骤(1) “定位”即确定wm的焦点在

16、74;条坐标轴t;(2) “定量”即确定a2，b3的具体数值;(3) 求tth标准方程的常用方法:待定系数法及定义法.分析:通过条件看不出焦点的位置，因此在解决问题前应先考虑焦点位置的两种情况，然后带入两点的坐标 求参数a、b即可.1 1 方法1:繼在激设_程为戸卜>b>即所求_的标准方程为f + r（2）腿紐y轴上，賴酗_方程">"），由己知餅相而，（-1，竽）即所求_的标准旅为r=1.採上，所求醐編 方法分析:结合方法，的两种情况，影抽后结關只是所以我们可以设 = n = u，求出来具体值后在比较大小,进一步确定表达丈这样可以减少讨论的复杂性.iit椭

17、阅的一般方ft为 11k2 +1it = 1(111 > 0.11 > 0.111* u).将w点(2，-小结:在对捕圆定义充分理解的基础上，显然方法2解决问题要比方法1要简单.【设计意图】培冷学生发敗思准的能力及以好的解题习惯.同-个题饤不同的解法.我们"i以从中选择 闶捷、自然的的解题也路.本题突出椭阀定义的应用和待定系数法的解题方法. 题型二:椭圆标准方程的识别2j例:.当3<、<吼刪方程吉觑分析:婴圯确定jl_+_ = i农示的曲线，宵先w确记9-k，k-3的収似范|礼 9-k k-3教师板书例题求解过程：由 3<k<9，则 9-k >

18、;0，k-3 >0.bv = e? + er =tja| +1| + w i + ilivsraw瞄ez =1cj9 i +1 rj9 r«z =|w i +1 rjv ivm:祕杯3vi万阍抽峙av豁mwidk皁眾wwiawvk 'k 4（0<q< «）t =+-toiwi«3：slu= 09 his mu- = tjd，jvs fim p =讯ii 曲 «ur - -（« +«0 = 909sooinii3 - .u+ ,ni =.|汹 * 09 = 4dtdz 申艺.£r =叮=u +ui 则

19、即明£ddljv?r 09 = dd!ii7 “<'汾wwmw¥:d= qz = cni«<f = cq7i =£es« =1 :jd i加=| jd iffl :&r*本囲秘法褂w场 彌mshwh叫mwii关v拗s+:投好宙 23 箕 sk®kw:hffi 超 安萆飧_«»回疆釋苓对杀_班5柔:fi泊但flrpk 穿否*脊s_bfel籌琴士 k 篡团否笮ms®穿解h1wim轾'«题8耷我费xx革昭!wft否吉般叫杀_bh扨®粢：wr®【田

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21、曲荦穿解'咩级本愛柚囿ws褂:转+安«刨则wh哄x迎皁逍空孥&钇6>>i>9l-5i>>i-6fc （£） : = ca + rxtos，w9 = 5flfl->i = -6te （：） mw.i脚x潭穿解绝s8穿抽9习£曲*_151_6运（d思考:当直线ab过焦点ft时，随著ab位置的该变，是否aabf.的周长也在跟着改变呢?分析:由椭囲的定义可得aabr的周长是个定值，即为4a.【设计意图】通过题型三，一是加强学生对椭困定义和标准方程的理解，二是加强了椭圆与三角函数的联系. 并且通过思考进一步明确三角形一边过

22、焦点时周长为定值的情况.五、课堂小结1. 知识：本节谍学习了椭阋的定义及标准方程.应注意以下几点：(1) fflih的定义屮a，b，c皆为正位，a2 =b-+c2, jt屮2c圮椭岡烀跖：(2) ®注盘特征禎a，b，c的几何怠义，它们确定椭圆的形状.g)炸点的位s由w調的t小准力r屮x2,/的分母火小或作点屮杯來决定;求椭岡的标袱之时a宄判 断焦点位b以便确定代入哪个方s解题.2. 思ffi:曲线1ja村的轨迹wjffi. a程的恩&、分类w论的待定系数法.在!h纳总结的基础t.学生完成f表标准方程+&=1(a>b>0)> ，s+=1(a>b&

23、gt;0)m形ya，b，c关系b: = a2 - c2b2 = a3 - c:焦点坐w(±c.o)(0,±c)焦点位置在x轴上在y轴上【设计意图】通过楠圆的教学，加强对学生学习方法的指导，让学生进一步巩固所学知识，与前面的学习目 标呼应，同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.六、布置作业必做题：i.写出适合下列条件的醐标准方程(1)a=4，b = l,焦点fiix轴上：< 2) a = 4,c = /l5f 焦点在 y 轴上，：(3) a + c = 10, a-c=41 = 1表示焦点在x轴上的釉岡，求k的范111. a +63.己知m岡c圆/+37六=37的供点fp f2ffl同，fl椭岡c 过点(于，外(1) 求wi岡c的标准as.(2) ?7pe c,zf；pf2