矩形的性质公开课获奖教案

1、18 2特殊的平行四边形18 2.1矩形 第 1 课时矩形的性质角在矩形 abcd 中， o 是 bc 的中1. 理解并掌握矩形的性质定理及推论； ( 重点)2. 会用矩形的性质定理及推论进行推导证明； (重点 )3. 会综合运用矩形的性质定理、推论以 及 特 殊 三 角 形 的 性 质 进 行 证 明 与 计算 (难点 )一、情境导入如图， 用四段木条做一个平行四边形的活动木框， 将其直立在地面上轻轻地推动点d ，你会发现什么？可以发现， 角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状点， aod 90°，矩形 abcd的周长为24cm，则 ab 长为()a 1cmb 2c

2、mc 2.5cm d 4cm解析： 在矩形 abcd 中， o 是 bc 的中点 ， aod 90°. 根 据 矩 形 的 性 质 得 到 abo ocd ，则 oa od ， dao 45°，所以 boa bao 45°，即 bc2ab.由矩形 abcd 的周长为 24cm，得 2ab 4ab 24cm，解得 ab 4cm.故选 d.方法总结： 解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题如图，矩形abcd 的对角线的交点为 o， ef 过点 o 且分别交 ab， cd

3、于点e，f ，则图中阴影部分的面积是矩形abcd 的面积的 ()1113我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角， 就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即a. 5b.4c.3d.10解析： 在矩形 abcd 中， ab cd ， ob od ， abo cdo .在 boe 和 abo cdo ，矩形，如图所示 二、合作探究 dof中，ob od， boe dof ，探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段或 boe dof (asa) ， s boe sdof ，1 s 阴影 s aob4s 矩形 abcd.故选 b.方法总结： 运用矩形的性质，通过证

4、明全等三角形进行转化， 将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形 abcd 中，以顶点b 为圆心、边bc 长为半径作弧，交ad 边于点 e，连接 be ，过 c 点作 cf be 于 f. 求证： bf ae.解析： 利用矩形的性质得出 ad bc， a 90°，再利用全等三角形的判定得出 bfc eab，进而得出答案证明： 在矩形 abcd 中，ad bc， a 90°， aeb fbc .cf be ， bfc a 90°.由作图可知， bc be. a cfb ，证明： 四边形 abcd 是矩形，

5、 b c bad 90°， ab cd ， bef bfe 90°. ef ed ， bef ced 90°. bfe ced ， bef edc. 在 ebf与 dce中 ， bfe ced ， ef ed ， bef edc ， ebf dce (asa) be cd . be ab ， bae bea 45°， ead 45°， bae ead， ae 平分 bad .方法总结： 矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决探究点二： 直角三角形斜边上的中线的性质如图， 在 abc 中，ad 是高， e、在 bfc 和 eab 中，

6、 aeb fbc， eb bc，f 分别是 ab、ac 的中点(1) 若 ab 10，ac 8，求四边形 aedf的周长； bfc eab(aas) ， bf ae.方法总结： 涉及与矩形性质有关的线段的证明， 可运用题设条件结合三角形全等进行证明， 一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明【类型四】运用矩形的性质证明角相(2) 求证： ef 垂直平分 ad .，ab解析： (1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 可得 de ae 121等如图，在矩形 abcd 中， e、f 分df af 2ac，再根据四边形的周长的公式计算即可得解； (2)根据 “ 到线段两端点距离相等的

7、点在线段的垂直平分线上” 证明即可(1) 解： ad 是 abc 的高， e、f 分别是 ab、ac 的中点， de ae 1ab 1别是边 bc、ab 上的点，且 efed ，ef ed .2 2求证： ae 平分 bad .11解析： 要证 ae 平分 bad，可转化为× 10 5， df af ac22 ×8 4，四 abe 为等腰直角三角形，得ab be.又ab cd ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边， 根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证边形 aedf 的周长 aede df af 5 5 4 4 18；(2) 证明： de ae， df af ，

8、 e、f 在线段 ad 的垂直平分线上， ef 垂直平分 ad.方法总结： 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解三、板书设计1. 矩形的性质矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等2. 直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识， 扩大认知结构， 发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系， 使课堂教学真正落实到学生的发展上17.1 1勾股定理第 1 课时勾股定理1. 经历探索及验证勾股定理的过程， 体会数形结合的思想；(重点 )2.

9、 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题； (重点 )3. 了解利用拼图验证勾股定理的方法 (难点 )(1) ac 的长；(2) s abc；(3) cd 的长解析： (1) 由于在 abc 中， acb 90°，ab 13cm， bc 5cm，根据勾股定理即可求出 ac 的长； (2)直接利用三角形的面积公式即可求出s abc； (3) 根据面积公式得到 cd ·ab bc·ac 即可求出 cd .解： (1) 在 abc 中， acb 90°， ab 13cm，bc 5cm， ac ab2 bc2 12cm；一、情境导入(2) s abc 1230(

10、cm2) ；(3) sabc 1cb·ac 12·bc 1× 5× 12 ·ab， cdaccd22 ac·bc 60cm.如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树， 这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成， 而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？ 二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理如图，在 abc 中， acb 90°， ab 13cm， bc 5cm， cd ab 于 d ，求：ab13方法总结： 解答此类问题，一般是先

11、利用勾股定理求出第三边， 然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在 abc 中， ab 15， ac 13， bc 边上的高 ad 12，试求 abc 的周长解析：本题应分 abc 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论 解： 此题应分两种情况说明：(1) 当 abc 为锐角三角形时，如图所示在 rtabd 中， bd ab2 ad2 152 122 9. 在 rt acd 中 ， cd ac2 ad 2 132 122 5， bc 5 9 14， abc 的周长为 15 13 14 42；等于 r

12、t bae 和 rt bfe 的面积之和进行解答；方法 2：根据 abc 和 rt acd 的面积之和等于 rt abd 和 bcd 的面积之和解答解：方法 1：s正方形 acfd s四边形 abfe s bae sbfe，即 b2 1c22 12(b a)( b a)，整理(2) 当 abc 为钝角三角形时，如图 所示在 rtabd 中， bd ab2 ad2152 122 9. 在rt acd中 ， cd 得 2b2 c2 b2a2， a2 b2 c2；方法 2：此图也可以看成 rt bea 绕其直角顶点 e 顺时针旋转 90°，再向下平移得到 s 四边形 abcd s abc

13、sacd ，s 四边形 abcd sabd sbcd ， sabc sacd s abd ac2 ad 2 132 122 5， bc 9 5 4， abc 的周长为 15 13 4 32.sbcd ，即1b221ab 21c2212a(b a)，整理得当 abc 为锐角三角形时， abc 的周长为 42；当 abc 为钝角三角形时， abc 的周长为 32.方法总结： 解题时要考虑全面，对于存在的可能情况， 可作出相应的图形，判断是否符合题意【类型三】 勾股定理的证明探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形abc 绕其顶点 a 旋转 90°得直角三角形 aed ，所以

14、 bae 90°，且四边形acfd 是一个正方形，它的面积和四边形abfe 的面积相等， 而四边形abfe的面积等于rt bae 和rt bfe 的面积之和 根据图示写出证明勾股定理的过程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 rt bea 和 rt acd 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析： 方法 1：根据四边形 abfe 面积b2 ab c2 a(b a)， b2 ab c2 ab a2， a2 b2 c2.方法总结： 证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理探究点二：勾股定理与图形的面积 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，若正方形 a、b、c、d 的面积分别为 2， 5， 1， 2.则最大的正方形 e 的面 积 是 解析： 根据勾股定理的几何意义，可得正方形 a、b 的面积和为s1，正方形 c、d 的面积和为 s2，s1 s2s3，即 s3 25 1 2 10.故答案为 10.方法总结： 能够发现正方形a、b、c、d的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形a、b、c、d 的面积和即是最大正方形的面积 三、板书设计1. 勾股定理如果直