直线地全参数方程及其的应用举例

1、实用标准文案直线的参数方程及应用问题 1：（直线由点和方向确定）求经过点 P0 ( x0 , y0) ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程 .设点 P( x , y)是直线l上任意一点 （规定向上的y，方向为直线 L 的正方向） 过点 P 作 y 轴的平行线，过P0P0 作 x 轴的平行线，两条直线相交于Q点.01)当 P0P 与直线l同方向或0P 和 P重合时，P P|P P|则 P Q P PcosQ P P Psin000002)当 P0P 与直线l反方向时， P P、P Q、Q P 同时改变符号00yP P |PP| P0QP PcosQ P P Psin仍成立0000设 P0Pt ，t

2、为参数，Px , y)又 P0Q xx0 ，xx0 tcos(Q P yy0yy0 =t sin0即 xx0t cos是所求的直线 l的参数方程lP( x , y )QxlP0Qxyy0t sinP Pt ，t 为参数， t 的几何意义是： 有向直线l上从已知点 P ( x0 , y0 ) 到点00P(x , y ) 的有向线段的数量，且 |P 0P| |t|当 t>0 时，点 P 在点 P0 的上方；当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t<0 时，点 P 在点 P0 的下方；xx0 t特别地，若直线 l 的倾斜角 0 时，直线 l 的参数方程为y y0y当 t>0

3、 时，点 P 在点 P0 的右侧；P0P( x , y )当 t 0 时，点 P 与点 P0 重合；当 t<0 时，点 P 在点 P0 的左侧；问题 2：直线 l 上的点与对应的 参数 t 是不是一对应关系？我们把直线 l 看作是实数轴，hyxl以直线 l 向上的方向为正方向，以定点l0P0P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，P这样参数 t 便和这条实数轴上的点P 建立了一一对应关系 .0t、t问题 3： P、P 为直线l上两点所对应的参数分别为2，121则 P1P2？， P1P2=？xP1P2P1P0 P0P2 t 1 t 2 t 2t 1， P1P2 = t2t 1精彩文档实用标

4、准文案问题 4：若 P 为直线l上两点 P 、P 的中点， P、P 所对应的01212参数分别为 t1 、t 2，则 t1、t2之间有何关系？根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，yP1Pt，P Pt， P 为直线l1220P上两点 P1、P2 的中点， |P 1P| |P 2P|1P P P，即 t t , t1t <02122一般地，若 P 、P、P 是直线l上的点，0123所对应的参数分别为 t 1 、t 2、t 3， P3 为 P1、 P2 的中点则 t t 2（PP PP ,根据直线l参数方程3 t11 32 3lP2P0P1t 的几何意义，x2 P1P3 = t 3t 1,

5、 P 2 P3= t 3t 2,t 3t 1=(t 3 t 2,)）总结：1、直线参数方程的标准式(1) 过点 P0( x0 , y0 ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程是xx0t cos（t 为参数）t的几何意义： t 表示有向线段P0 P 的数量， P( x , y )yy0t sinP0 P=tP0P=t为直线上任意一点 .(2) 若 P1、P2 是直线上两点，所对应的参数分别为t 1 、t 2，则 P1P2=t 2t 1P1P2 =t 2 t 1 (3) 若 P 、 P、 P 是直线上的点，所对应的参数分别为t、 t、t312312则 P1P2 中点 P3 的参数为 t 3 t1 t

6、 2, P0P3=t1t222(4) 若 P0 为 P1P2 的中点，则 t 1t 2 0， t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点 P0( x0 , y0 ) ，斜率为 kb 的直线的参数方程是axx0at（ t 为参数）yy0bt例题：1、参数方程与普通方程的互化例 1：化直线 l 1 的普通方程 x 3y 1 0 为参数方程，并说明参数的几何意义, 说明 t 的几何意义 .解：令 y=0, 得 x 1，直线 l1 过定点 (1,0). k 1= 333精彩文档实用标准文案设倾斜角为， tg= 3,= 5, cos= 3 , sin= 13622l1 的参数方程为

7、x 13 t（ t 为参数）2y1 t2t 是直线 l1 上定点 M0（1，0）到 t 对应的点 M( x , y ) 的有向线段 M 0 M 的数量. 由 x13 t(1)(1)、 (2)两式平方相加 , 得 ( x1) 2y 2t 212y(2)t2 t (x1)2y2是定点0（ 1， 0）到 t 对应的点 M( x , y ) 的有tM向线段 M0M 的长.点拨： 求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角, 注意参数的几何意义 .例 2：化直线 l 2 的参数方程x3t（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，y13 t说明 t 的几何意义 .解：原方程组变形为x 3t(1)(1)代入 (2)消

8、去参数 t ，y13 t(2)得 y13( x3)(点斜式 )可见 k=3 , tg=3,倾斜角=3普通方程为3xy3310(1) 、(2)两式平方相加 , 得 (x3)2( y1) 24t 2 t =(x3) 2( y 1) 2 t 是定点 M（3，1）到 t对应的点 M( x , y2的有向线段 M 0 M 的长的一半 .0)点拨： 注意在例 1、例 2中，参数 t的几何意义是不同的，直线l 1 的参数方程为 x 13 t 即 x1t cos 5是直线方程的标准形式， (- 3 ) 2+(1 ) 2 =1, t的几何2622y1yt sin5t62意义是有向线段 M 0 M 的数量 . 直

9、线 l 2 的参数方程为x3t是非标准的形y13 t式， 12 ( 3 ) 2=41，此时 t的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量的一半 .你会区分直线参数方程的标准形式吗？例 3：已知直线l03），倾斜角为x11 t（ t 为参数）过点 M（1，判断方程23y33t2和方程x1t（ t为参数） 是否为直线 l 的参数方程？如果是直线 l的参数y33 t精彩文档实用标准文案方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数 t 的几何意义 .解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 的的普通方程3xy 3 30 ，所以，以上两个方程都是直线l 的参数方程，其中1cos= 1 ,

10、sin = 3 ，是标准形式， 参数 t 是有向线段 M 0 M 的x12 ty33t222x1t数量 . ，而方程3是非标准形式 ，参数 t 不具有上述的几何意义 .y3 t点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数 t 的几何意义解决有关问题 .x1t能否化为标准形式？问题 5：直线的参数方程33 ty是可以的，只需作参数 t的代换 .( 构造勾股数，实现标准化 )x 1 tx 11(12( 3) 2 t)12( 3)2令 t = 12( 3) 2 ty33 ty 33( 12( 3) 2 t)12( 3)2得到直线 l 参数方程的标准形式x11 t2 t

11、的几何意义是有向线段y33 t2M0M 的数量.2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为、过点 M0( x0 , y0) 直线 l 参数方程的一般式为， .xx0at（ t 为参数）， 斜率为 ktgbyy0bta(1)当 a 2b 2 1 时，则 t的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量 .(2)当 a 2b 2 1 时，则 t不具有上述的几何意义 .xx0at 可化为x x0a 2a( a 2b2 t)b2 tb 2令 t = a2y y0 bty y0a 2b( a 2b2 t)b2xx0att的几何意义是有向线段 M 0 M 的数量 .则可得到 标准式a2b 2yy0bta

12、 2b 2精彩文档实用标准文案03的直线l的标准参数方程，并且例 4：写出经过点 M（ 2， 3），倾斜角为4求出直线l上与点 M 相距为 2 的点的坐标 .0解：直线 lx2t cos32的标准参数方程为4即 x22t （ t 为参数）（ 1）y33y32 tt sin设直线42l上与已知点 M 相距为 2 的点为 M点，且 M点对应的参数为 t,0则| M 0M|t| =2,t= ± 2将 t的值代入 (1)式当 t=2 时， M点在 M0 点的上方，其坐标为（ 2 2 ，3 2 ）；当 t=-2 时， M点在 M0 点的下方，其坐标为（ 2 2 ，3 2 ）.点拨： 若使用直线

13、的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求 M点的坐标较容易 .例 5：直线x3t sin 20 （t 为参数）的倾斜角.y4t cos20y 4解法 1：消参数 t, 的 x 3 ctg20 °=tg110 °解法 2：化为标准形式：x3( t)t cos110（ t 为参数）y4( t ) sin110此直线的倾斜角为110°基础知识测试1：1、 求过点 (6,7), 倾斜角的余弦值是3 的直线 l 的标准参数方程 .22、 直线 l 的方程：x1t sin 25（ t 为参数），那么直线 l 的倾斜角

14、 ()y2t cos25A 65°B25°C155°D 115°x11 t3、 直线5（ t为参数）的斜率和倾斜角分别是()y12t5A) 2 和 arctg( 2)B) 1 和 arctg( 1)22C) 2和 arctg2D) 1 和 arctg 1224、 已知直线xx0t cos为参数）上的点A、 B 所对应的参数分别为1,t2yy0t sin（ tt，点P 分线段 BA所成的比为（ 1），则 P 所对应的参数是.精彩文档实用标准文案5、直线 l 的方程：xx0at（ t为参数） A、B 是直线 l上的两个点，分别对应参yy0bt数值 t 1、

15、t2，那么 |AB| 等于 ()A t 1 t 2 Ba2b2t1t 2D t 1 +t 2 t 1 t 2 Cb2a26、 已知直线 l ：x1t(t为参数 ) 与直线 m： xy2 30 交于 P 点，求点5y3 tM(1, 5) 到点 P 的距离 .例 6：已知直线 l 过点 P（2，0），斜率为 4 ，直线 ly和抛物线 y 23B2x 相交于、两点，AB设线段 AB的中点为 M,求：M(1)P、M两点间的距离 |PM|；0P (2,0)x(2)M点的坐标；A(3) 线段 AB的长 |AB|解： (1)直线 l 过点 P（2， 0），斜率为 4 , 设直线的倾斜角为，tg= 4333c

16、os= 3 , sin= 4 直线 l 的标准参数方程为x2t （t 为参数） *5554ty5直线 l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 22x 中，整理得8t2 15t 500=152+4×8×50>0, 设这个二次方程的两个根为 t 1、t2, 由韦达定理得t1t 2 15 ,t 1t 225，由为线段AB的中84M点，根据 t 的几何意义，得 | PM| t1t2 15216中点 M所对应的参数为 t M=15 , 将此值代入直线的标准参数方程* ，16M点的坐标为 x31541即 M （41，3）2 516164153164y1645(3)|A

17、B| t 2 t1 (t1 t2 )24t1 t 2 5738点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数 t 的几何意义， 在解决诸如直线 l 上两点间的距离、 直线 l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时， 比用直线 l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷 .例 7：已知直线 l 经过点 P（1, 33 ）, 倾斜角为，3精彩文档实用标准文案(1)求直线 l与直线l： yx2 3 的交点 Q与 P点的距离 | PQ| ；(2)求直线l和圆x2y216的两个交点，B与P点的距离之积.A解： (1) 直线 l经过点 P（1, 33） , 倾斜角为3, 直线 l 的标准参数方程为x1t cos3

18、，即x11 t（t为参数）代入直线 l ：2y33t siny333t32yx23得 (11 t )(333 t)230整理，解得 t=4+2322t=4+23 即为直线 l与直线 l的交点 Q所对应的参数值，根据参数 t的几何意义可知： |t|=| PQ|,| PQ|=4+23 .(2)把直线 l的标准参数方程为x11 t（t为参数）代入圆的方程23y33t2x2y2 ，得(11t)2(333216 , 整理得： t28t+12=0 ，162t )22t 、t则 tt =12=8 -4 ×12>0, 设此二次方程的两个根为2112根据参数 t的几何意义， t 1、t 2分别为

19、直线和圆 x2y2 16 的两个交点A, B 所对应的参数值，则 |t1|=| PA|,|t|=| PB|,2所以 | PA| ·| PB|=|t1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数 t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便 .例 8：设抛物线过两点 A(1,6)和 B( 1, 2) ，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段长是410 ，求抛物线方程 .解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2. 设抛物线顶点坐标为（ a ，2）方程为 (y

20、 2) 2=2P(x a ) (P>0)点 B(1, 2) 在抛物线上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16将直线方程 y=2 x +7 化为标准的参数方程 tg=2,为锐角，= 1 , sin= 2x11tcos得5（t 为参数）55y52t5直线与抛物线相交于 A，B, 将代入并化简得：4212 2Pt70 ，由4( P6) 235 >0, 可设方程的两根为12，t5=t 、t55精彩文档实用标准文案又 |AB|= t 2 t 1 (t1t2 ) 24t 1 t2 4 105(12 2P) 2435 =(410 )2化简

21、，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的抛物线方程为 (y 2) 2=32 x 48点拨： (1) （对称性） 由两点 A( 1,6) 和 B(1, 2) 的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长 AB的值求得 P） .(2) 利用直线标准参数方程解决弦长问题 . 此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些 .例 9：已知椭圆(x 1) 2y 2112为右焦点，AB是通过左焦点 F的弦， F4 3求| F 2A| ·| F 2B| 的最大值 .解：由椭圆方程知a ，1

22、(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的2 b= 3 ,c=1, F参数方程为xt cos（t为参数）代入椭圆方程整理得yt sin（3sin2）t26 t cos9=0，=36cos2（ 2）>0363 sin此方程的解为 t 1、t 2，分别为 A、 B 两点对应的参数，由韦达定理 t1 t 2=6 cost1 t 2 393sin 2sin 2根据参数 t 的几何意义， t 1、t 2分别为过点 F1 的直线和椭圆的两个交点A, B所对应的参数值， | F1A| |t| |F1B| |t|12|AB|= t 2 t 1 (t1t2 ) 24t 1 t2312| F1A| &#

23、183;|F 1B| |t 1| ·|t 2|=|t1t 2|sin 2由椭圆的第一定义 | F 1A| | F2A| 2a 4， | F1B|+| F 2B|=2 a 4| F2A| ·| F 2B|=(4-| F1A|)(4-| F1 B|)=16-4|AB|+| F1A| ·|F 1B|=16-4 t 2 t 1 +|t1t 2|=16-412+93sin2sin2393=16-3sin 2当 sin21时，| F A|·| F2B| 有最大值2524点拨： 求过定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点 F1(0,0),F 2(2,0), 显然 F1 坐标简单，因此选择过 F1 的直线的参数方程， 利用椭圆的定义将 | F2A| ·| F2B| 转化为 | F1A| ·|F 1B|.方法总结： 利用直线 l 的参数方程xx0t cos（ t 为参数），给研究