第四节反常积分ppt课件

1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 完毕 反常积分 (广义积分)反常积分 第五章 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21yxA1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义1. 设设, ),)(aCxf,ab 取假设xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作xxfxx

2、fbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 假设, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 它表明该反常积分发散 .,)()(的原函数是若xfxF引入记号

3、; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 求求31dxx解：解： 31dxx31limbbdxx211lim ()2bbx211lim(1)2bb 12机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 证明第一类证明第一类 p 积分积分apxxd证证:当当 p =1 时有时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .,因而, 当 p

4、 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求求01( )2xdx解：解： 01( )2xdx01lim( )2bxbdx01()2lim1ln2bxb11lim( )1ln22bb 1ln2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xoy211 xy考虑考虑: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意: 对反常积分对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用

5、只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例例3. 求求21(ln )edxxx解：解： 21(ln )edxxx21lim(ln )bebdxxx21lim(ln )(ln )bebdxx111limlimlnlnlnbebbxbe1机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 求求0.xxe dx解：解： 0 xxe dx00limlimxxbbbbxe dxxde00lim(|)xxbbbxee dx00lim(0)| bxbbebee0lim(0)()bbbbeee机动 目录 上页 下页 返回 完毕 lim(1)11bbb e 例例5. 知知 ( ).f x

6、dx解：解： ( )f x dx1212( )( )f x dxf x dx12122211limlim(1)baabdxdxxx121211limlim(1)babaxx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 224求 2211,(1)2( );11,.2xxf xxx 例例6. 计算反常积分计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA

7、12lim0 x)1 (2lim021yx0A1xy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定义定义2. 设设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散 .类似地 , 假设, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:

8、 ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点(奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11机动 目录 上页 下页 返回 完毕 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点若瑕点,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的假设 b 为瑕点, 那么假设 a

9、 为瑕点, 那么假设 a , b 都为瑕点, 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 完毕 112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例7. 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为显然瑕点为 a , 所以所以原式0arcsinaax1arcsin2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例8. 讨论反常积分讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 .例例9. 证明反常积分证明反常积分b

10、aqaxx)(d证证: 当当 q = 1 时时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例10.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf设求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx为与 的无穷间断点, 故 I 为反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI220( )d1(

11、)fxxfx322d)(1)(xxfxf积分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan232arctan227机动 目录 上页 下页 返回 完毕 10内容小结内容小结 1. 反常积分反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx

12、）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为baxxfd)(v.p.),(bcac为瑕点xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP179 题 1 (2) , (4) , (6) , (8) 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xxfxxfbccad)(d)(lim0常积分收敛 .注意注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习P179 1 (1) , (3) , (5) , (7) ； 2 (2) ; 3第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 作业作业备用题备用题