二项式定理中展开式系数的六种常见类型

1、二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一，本文以高考题为例，对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、(a b)n(n N )型例1. (x2y)10的展开式中x6y4项的系数是()(A) 840( B) 840(C) 210(D) 210解析：在通项公式Ti二C；0(r2y)rX10中令r=4，即得(x-dy)10的展 开式中x6y4项的系数为G4)(-'、2)4=840,故选A。O解析：通项公式Tr 13，由题意得I?，5 ,例2. (x- 1 )8展开式中x5的系数为Vx则r = 2，故所求x5的系数为(-1)2C； =2

2、8评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。二、(a b)n(c d)m(n,m N )型例3. (x-)4 (x )8的展开式中整理后的常数项等于 .xx解析；(X3-Z)4的通项公式为T" =C2)r(*丁 1C4-(2r)x24令xx12 -4r =0 ,则r = 3,这时得(x-)4的展开式中的常数项为-C；23 = 32,x(x )8的通项公式为Tk厂ck(l)kx8» =c8x8'k ,令8-2k=0，则k = 4,这时得xx(x )8的展开式中的常数项为c；=70,故(X3 -2)4 (x 丄)8的展开式中常数

3、项xxx等于- 32 70 =38。例4.在(1 - x)5 - (1 - x)6的展开式中，含x3的项的系数是()(A) -5(B) 5(C) -10(D) 10解析：(1 - X)5中X3的系数-d = -10 ,-(1 -X)6中X3的系数为 -Ce (1)3 =20,故(1 _x)5 (1 X)6的展开式中X3的系数为10,故选D 。评注：求型如(a b)" _(c d)m(n,m N )的展开式中某一项的系数，可分 别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三、(a b)n(c d)m(n,m N )型例5. (x2,1)(x-2)7的展开式中X3项的系数是。解析：

4、(x-2)7的展开式中x、X3的系数分别为 C；(-2)6和C；(-2)4，故(X2 +1)(x-2)7 的展开式中 X3项的系数为 c7(-2)6+C；(-2)4=1008。例6.x-18X+1 )的展开式中X5的系数是()(A )-14(B ) 14(C ) - 28| 28略解：(X 1)8的展开式中X4、x5的系数分别为C；和C：,故f(x_1)( x+1)展开式中x5的系数为de； =14,故选B评注：求型如(a b)n(c d)m(n,mN “)的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四、(a b c)n (n N )型例7. (X,2)5的展开

5、式中整理后的常数项为2 x解法一：2)5 = (丄)，2 ，通项公式Tk厂丄严2 x2x 2 xG)5'的通项公式为 T1 =C5lxx5 2"i)二c5/32k2 ,令2 x 5-2r-k = 0，贝U k 2r =5，可得 k =1,r = 2 或 k=3,r =1 或 k=5, r = 0 。-15当k =1,r =2时，得展开式中项为C5C：222絃二叱 ;2当k=3,r=1时,，得展开式中项为C 2 2 =20 2 ;当k = 5,r =0时，得展开式中项为C54.2 =4辽。综上，(12)5的展开式中整理后的常数项为 伫 20.2 4、2二6?。2 x22解法二：

6、 y 2)5 = (X2 22X 2)5=(x、25)2L(x ,)10，对于二 2 x2x(2x)5(2x)5项式(x 、2)10中，T, =G0x10*2)r，要得到常数项需10-r =5，即r =5。所 以，常数项为C；0 Y2)5 =2。25 2解法三： 1 2)5是5个三项式(-,2)相乘。常数项的产生有三2 x2 x种情况：在5个相乘的三项式(X x2)中，从其中一个取X，从另外4个三2 x2项式中选一个取1，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得xc； 1 c4 c3(J2)3 =20血；从其中两个取-，从另外3个三项式中选两个取-，5 2432x从剩余的1个三项式中取常数项相乘

7、，可得 C；(；)2二2 ;从5个相乘的三项式(-.2)中取常数项相乘，可得C| C05=4、2。2 x综上， 12)5的展开式中整理后的常数项为2 x20、2 空 42 =3。2 2评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项 式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、(a b)m (a b)m1 IH (a b)n(m, n N ,1 乞 m ： n)型例8在(1 x) (1 x) -(1 x)6的展开式中，x2项的系数是。(用数字作答)解析：由题意得x2项的系数为C；=35。例9.

8、在(1 -x)5 + (1 -x)6 + (1 -x)7 + (1 - x)8的展开式中，含X3的项的系数是()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析：(1 x)5 + (1 x)6 +(1 x)7 + (18=(1_x)51(1x)4(1_X)5 (1X)91(1X) 一X(1 -X)5 中 X4 的系数为 c5 =5 , - (1 -X)9 中 X4 的系数为c9 二-126,126+5= 121,故选Do评注：例8的解法是先求出各展开式中X2项的系数，然后再相加；例 9则 从整体出发，把原式看作首相为(1 X)5，公比为(1 X)的等比数列的前4项和， 用等比数列求和公

9、式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求(a +b)m +(a +b)mH1 +川+(a +b)n(m, n壬N：1 Mme n)的展开式中某特定项系数的 两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例 10.若(1 - 2x) 2004 =ao - a1X a2X2. a2oo4X2004 (x R)，则(a。aj jao - a2)( a° +a3)+(a° + a 2004) = o (用数字作答)解析：在(1 -2x)2004 二 ao - a1X a?x2 - . - a2oo4X2004 中，令 x = 0，则 a。=1， 令 x =1，则 ao a1

10、 a2 a 亠 a2°°4 =(-1)2004 =1 故(a。a1)(a° - a?)(a。a3)-(a°-a2oo4)=2003a0+ a0 a1a2 a3 亠亠 a2oo4 = 2。4。例 11.(23)a0a1xa2x2a3<3a4<4，则(a0a2a4) (a1a3)2的值为()(A) 1(B) 1(C) 0(D) 2解析：在(2x 3)4 二 a0 qx a2x2 asX3 a4x4 中，令 x =1，可得 a0 a1 ' a2 a3 a ( 3)4，令 x - T，可得 ao - a1 a2 - a3 a4 = (2 - 、3)4所以，(a° - a2 - a4)2 -a3)2 = (a0 a2 - a4 - a1 - a3)(a0 a2 a4 7 _a3)=(a0 a1 a2 a3 a4)(aa1 - a2 -a3 - a4) = (23)4 (2 - 3)4 =1,故选A