自考概率论与数理统计(经管类)公式.

1、概率论与数理统计(经管类 )公式一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBAABBA结合律(AB ) CA(BC )ABC( AB)CA(BC ) ABC分配律A(BC )ABACA(BC )(AB)( AC )德摩根律ABABABAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P( A)1P( A)加法公式P (AB )P(A) P(B)P( AB)条件概率公式P(B A)P(AB)P(A)乘法公式P( AB)P( A)P(B A)P(AB)P(B)P( A B)n全概率公式P( B)P( Ai )P(B Ai )i 1贝叶斯公式P( AjB)P( Aj)P(B

2、Aj )（逆概率公式）P( Aj )P(B Ai )i1伯努力概型公式Pn (k)C nk p k (1p)n k , k0,1,nP( AB)P( A)P(B) ； P( B A)P(B) ； P(B A)P(B A) ； P(B A)P(B A) 1；两件事件相互独立相应公式P(B A)P(B A)1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P( X b) F (b) P(a X b) F (b)F (a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 1 分布 B(1, p)P ( Xk ) p k (1p ) 1k ,k0,1二项分布 B (n , p )P( X k )Cnk p k (1p) n k

3、,k0,1, , n泊松分布 P()几何分布 G ( p)超几何分布H ( N , M , n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布 U ( a, b)f ( x)kP( Xk )e,k0,1,2,k!P( Xk )(1p) k1 p,k0,1,2,knk(k)CM CNM , kl , l1,min( n, M )P XCNn密度函数分布函数1a xb0, xa,F ( x)x a , a x bb a0,b ab其他1, x指数分布 E ()f ( x)ex, x 0F (x)0,x0x, x 00,其他1 e正态分布 N (,2)1( x)21x( t)2f ( x)22e22d texF

4、 ( x)22N (0,1)1x 21x( t) 2标准正态分布( x)2xe 22d teF ( x)22三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布piP( Xxi )P( Xxi ,Yy j )pijp jP(Yy j )P( X xi ,Y y j )pijjjii2、离散型二维随机变量条件分布pi jP( Xxi Yy j )P( X xi,Yy j)pij, i1,2P (Yy j)P jp j iP(Yy j Xxi )P( X xi,Yy j)pij, j1,2P (Xxi)Pi3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数 F ( x, y )xyf (u , v )d

5、vdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： F X ( x)xf (u, v )dvdu密度函数：f X ( x)f ( x , v )dvFY ( y)yf (u, v) dudvf Y ( y)f (u , y )du5、二维随机变量的条件分布fY X ( y x)f ( x, y) ,yf X Y ( x y)f ( x, y) ,xf X (x)fY ( y)四、随机变量的数字特征1、数学期望E ( X )xk p kE ( X )xf ( x) dx离散型随机变量：k1连续型随机变量：2、数学期望的性质(1)E(C)C , C为常数EE(X)E(X)E(CX )

6、CE(X )(2)E( XY) E(X)E (Y ) E (aXb)aE( X ) bE(C1 X1Cn X n ) C1E ( X1 )Cn E ( X n )(3) 若 XY相互独立则： E( XY) E( X )E(Y )(4) E(XY) 2E2(X)E2(Y)3、方差： D(X )E( X2 )E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0DD(X ) 0D ( aX b)a 2D ( X ) D ( X ) E ( X C )2(2)D ( XY)D(X ) D(Y)2Cov( X ,Y )若 XY相互独立则： D( X Y) D( X ) D(Y )5、协方差： Cov ( X ,Y

7、)E(XY )E( X ) E(Y) 若 XY 相互独立则： Cov( X ,Y )06、相关系数：Cov (X , Y)若 XY相互独立则： XY0 即 XY不相关XY( X,Y)D(X) D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov( X , X )D(X)Cov( X ,Y )Cov(Y , X )(2) Cov( X 1X2,Y)Cov ( X 1, Y ) Cov (X 2 ,Y )Cov( aXc, bYd )abCov ( X ,Y )8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B (1, p)pp(1p)二行分布 B (n , p)npnp (1p)泊松分布

8、P()几何分布 G ( p)11ppp2超几何分布 H ( N , M , n)n Mn M (1M ) NmNNNN1均匀分布 U (a,b)a b(ba)2212正态分布 N( ,2)2指数分布 E()112五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X),D(X)2 , 对于任意0有PXE(X)D(X )或P XE(X)D(X)2 122、大数定律： 若 X1X n 相互独立且n(1) 若 X 1X n 相互独立，E( X i )i , D ( X i )(2) 若 X 1X n 相互独立同分布，且E ( X i )3、中心极限定理nn时， 1XiD1E( Xi )n i1n i

9、11nn22M 则：P1i 且in iXiE(X i ), (n)1n i 1i 则当 n时：1 nPX in i 1(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20 的独立同分布时，当n 充分大时有：nX k nk1N (0,1)Ynn(2) 拉普拉斯定理： 随机变量n (n1,2) B(n, p) 则对任意 x 有：npx1t 2lim Pnxe2 dt( x)np(1p)2xnnanX knb nbnan(3) 近似计算： P(aX kb)k 1(P(nn)n)()k 1nn六、数理统计1、总体和样本总体 X 的分布函数 F (x) 样本 ( X1 , X 2X n ) 的联合分布为

10、 F (x1, x2nxn )kF ( xk )12、统计量1n1n2S2X )2( X i21n( X innX )(1) 样本平均值： XX i(2)样本方差：n 1 i 11 i1n i 11nX ) 21nkS(X iAkX, k 1,2n1 i(4) 样本 k 阶原点距：ni(3) 样本标准差：1i1BkM k1n( X iX )k , k2,3(5) 样本 k 阶中心距：n i1(6) 次序统计量： 设样本 ( X 1 , X 2X n ) 的观察值 ( x1 , x2xn ) ，将 x1 , x2xn 按照由小到大的次序重新排列，得到 x(1) x( 2)x(n ) ，记取值为

11、x( i ) 的样本分量为X ( i)，则称 X(1)X(2)X (n)为样本 (X1, X2X n ) 的次序统计量。X (1)min( X 1, X 2X n ) 为最小次序统计量；X (n)max( X 1, X 2X n ) 为最大次序统计量。3、三大抽样分布2(1)分布：设随机变量 X1,X2X n 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 N (0,1) ， 则 随 机 变 量2X 12X 22X n2 所服从的分布称为自由度为n 的2分布，记为2 2 (n)性质： E2 (n) n, D2 ( n)2n 设 X 2 ( m), Y 2 (n) 且相互独立，则 X

12、Y 2 (m n)(2)t 分布：设随机变量 X N( 0,1),Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则随机变量： TX所服从的分布称为自Y n由度的 n 的 t 分布，记为 T t( n)n1( x)2性质： E t(n)0, D t(n), (n2) lim t (n)N (0,1)e22n22n(3)F 分布： 设随机变量 U2 ( n1 ),V 2 (n2 ) ，且 U 与 V 独立，则随机变量F (n1 ,n2 )U n1 所服从的分布V n2称为自由度 (n1 ,n2 ) 的 F 分布，记为 F F (n1 ,n2 )性质：设X F (m, n)，则1( ,)XF n m七、参数估计1、参数估计(1)定义：用(X1,X2,X n ) 估计总体参数，称 (X1,X 2,X n ) 为的估计量，相应的( X 1 , X 2 , X n ) 为总体 的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法： （总体矩 =样本矩）1n离散型样本均值 ： XE(X)X i连续型样本均值：XE( X)xf (x,)dxn i 1离散型参数： E( X 2 )1 nX i2n i13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X1,X2,X n 取自 X 的样本，设Xf (x, ) 或 P( XX i )