解分式方程的特殊方法与技巧

1、实用标准文案分式方程意义及解法一、内容综述：1解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程， 复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程即分式方程整式方程2解分式方程的基本方法(1) 去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于 0 时，这种变形不符合方程的同解原理 ( 方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解 ) ，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解检验

2、根的方法：（ 1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（ 2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于 0，就是原方程的根；如果使公分母等于 0，就是原方程的增根。必须舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0精彩文档实用标准文案用去分母法解分式方程的一般步骤：(i) 去分母，将分式方程转化为整式方程；(ii) 解所得的整式方程；(iii) 验根做答(2) 换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量， 从而把问题化繁为简，化难为

3、易，使未知量向已知量转化， 这种思维方法就是换元法 换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程用换元法解分式方程的一般步骤：(i) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；(ii) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；(iii) 把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；(iv) 检验做答注意：（ 1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简， 把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（ 2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元

4、法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。精彩文档实用标准文案二、例题精析：例 1解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以 x(x+2) ，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得 x2+4x=0解这个方程，得 x=0, x=-4,12代入公分母检验：当 x1=0 时， x(x+2)=0 ×(0+2)=0, x=0 是增根；当 x2=-4 时， x(x+2)=-4 ×(-4+2) 0, x=-4 是原方程的根。故原方程的根是 x=-4 。例 2解方程：。分析：本题中各个分

5、式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。解：即，移项，整理，得，精彩文档实用标准文案即，亦即去分母，得 (x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验， x=7 是原方程的根。 原方程的根是 x=7。例 3解方程。解法 1：方程两边都乘以 (x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3) 2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)即 4x+14=0,，经检验知是原方程的

6、解。解法 2：方程两边分别通分，得，即， (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。精彩文档实用标准文案解法 3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。原方程可化为即：，两边分别通分，得，解之，得。例 4解方程。解：设， 则原方程变形为y2-5y+6=0,解得 y1=2, y 2=3,由=2，解得 x1=4;由，解得 x2=3.经检验 x1=4, x 2=3，都是原方程的根。例 5用换元法解方程.解：设 2x2+3x=y，于是原方程变为,2整理，得 y -4y-5=0当 y=5 时，即 2x2+3x=5,解得 x1=1,精彩文档实用标准文案当 y=-1 时， 2x2+3x=-1，解得 x3

7、=-1,经检验，都是原方程的根。 原方程的根为。例 6解方程。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设，所以原方程变形为：y+=7,2整理得： y -7y+10=0当 y1=2 时，即， x1=0, x 2=2;当 y2=5 时，即 x2-5x+9=0 （ <0，此方程无实根）经检验， x1=0, x 2=2 是原方程的解。例 7解方程.分析：此方程初看起来容易把，而实际上，所以. 但是, 就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。精彩文档实用标准文案解：原方程可化为即,设,则原方程可化为： 2y2-3y-5=0解得 y1=-1, y 2=,当 y=-1 时，,

8、去分母整理，得x2+x+1=0解这个方程， <0, 方程无解。当 y= 时，, 去分母整理，得 2x2-5x+2=0解得 x1=2,经检验， x1=2,都是原方程的根。 原方程的根是 x1=2,。注意：切勿把。例 8若分式方程有增根 x=2，求 a 的值。分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则 x=2 一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0精彩文档实用标准文案把 x=2 代入所得方程，

9、得4a+1+0=0, a=-,当 a=-时, x=2是原分式方程的增根。测试选择题1方程 x-=2-的根的情况是（）A、 只有一解 x=2B、任意实数都是解C、无解D、解为 x22用换元法解方程+=，下列变形正确的是（）A、设=y，原方程变形为y+=，去分母得 2y2+5y+2=0B、设=y，原方程变形为y+-1=，去分母得 2y2-7y+2=0C、设=y，原方程变形为+=，去分母得 y2-5y+3=0D、设=y，原方程变形为+=，去分母得 y2-5y+6=03如果设 y=-5 ，则对于方程 (-5) 2+-13=0，下面变形正确的是（）A、y2-2y-8=0B 、y2+2y-3=0C、y2+

10、2y-13=0D、y2-2y-23=0精彩文档实用标准文案4若 x=1 是方程的增根，则 m的值为（ c）A、1B 、 -1C、-3D、35方程会产生增根 , 则 a 的值为（ c）A、1B 、-2C、1 或-2D、以上都不对。6方程=0 的根是（）A、-1B、2C、-1 或 2D、1 或-27使分式方程产生增根的 k 的值是（）A、0B、0 或 2C、1D、28用换元法解方程,设，则方程变形为（）。A、6y2+5y-38=0B、6y2+5y-40=0C、6y2+5y-26=0D、6y2+5y-50=09方程的根为（）A、x=2B 、x=C、x=3D、x=-5, 或 x=310某项工程，甲独做

11、需a 天，乙独做需 b 天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。A、B 、C、a+bD、答案与解析精彩文档实用标准文案答案： 1、C2、D3、B4、C5、C6、B7、A8、D9、D10、D解析：1、答案：选 C。移项，整理得x=2，但当 x=2 时，分母 x-2=0 ，则 x=2 为增根，原方程无解。2、答案： 2选 D。3、答案：选 B。原方程整理得：，设原方程变为： y2+2y-3=0 。4答案：选 C。原方程两边乘以 (x-1)(x-2)得：x2-4+x 2+2x-3=m即： 2x 2+2x-7-m=0则 x=1 是方程 2x2+2x-7-m=0 的根，代入 x=1 得： 2+2-7-m

12、=0, m=-3.5. 答案：选 C。两边乘以 x(x-1)得 x2+2x-2-a=0,若原方程有增根，则有增根x=1 或 x=0，而 x=1 或 x=0 是整式方程 x2+2x-2-a=0的两根，将 x=1 或 x=0 代入整式方程得 a=1 或 a=-2，选 C。6答案：选 B。由，去分母得 (x+1)(x-2)=0得 x=-1 或 x=2，经检验， x=-1 是增根，则原方程的根为x=2。7答案：选 A。精彩文档实用标准文案分式方程的增根为 x=2 或 x=-2 ，而 x=2 或 x=-2 ，一定是去分母得到的整式方程的解。原方程两边乘以 (x-2)(x+2) 得 x2-2x-x 2+4

13、=k2x+2k2整理得： (k 2+2)x=4-2k 2 ,则：，解得： k=0.8答案：选 D。分析：原方程变形为，则原方程变形为6(y 2-2)+5y-38=0 ，整理得： 6y2+5y-50=0.9 答案：选 D。方程两边乘以 x2-4得 15=2x+4+x2-4即： x2+2x-15=0,解得： x1=-5 或 x2=3， 经检验， x=-5 或 x=3 都是原方程的根。10答案：选 D。整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。中考解析分式方程考点讲解精彩文档实用标准文案1解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方

14、程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。2去分母法解分式方程的步骤：（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。3用换元法解分式方程的步骤： （1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；（ 2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程； （3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（ 4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；（ 5）验根。4分式方程验根的方法： （1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增

15、根；（ 2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于 0，就是原方程的根，反之则为增根。考题评析1（甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用120 元，后来又有 2 人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3 元，原来这组学生的人数是（）（A）8（B）10（C）12（D）30考点：分式方程的应用评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2 人后，每人少分摊 3 元。根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题, 设原来这组学生的人数 x 人，所以列方程为：，解得 x=8, 经检验 x=8

16、是原方程的根。精彩文档实用标准文案答案： A说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。2( 杭州市 ) （本题 8 分）解方程：考点：分式方程的解法评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。答案： x=23（重庆市）方程的解是 _。考点：分式方程的解法评析：思路：本题运用等式的性质两边乘以x(x 1) 化分式方程为整式方程，然后求解。说明：右边的 1 必须乘以 x(x 1) 同时要进行验根。答案： x24( 吉林省 ) 解方程：。考点：分式方程。评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于y的整式方程，然后求解。说明：分式方程一定要

17、检验。答案： x=2 或 x=精彩文档实用标准文案5（辽宁省）用换元法解方程.考点：分式方程的解法换元法评析思路：设，原方程可变为关于y 的一元二次方程是y2-5 y-6=0.该题用换元法变为整式方程将用 y 代替即可。答案： x=或 x=6（安徽省）解方程+=时，设 y=,则原方程可化为：（）A、5y2+5y-26=0B、5y2+y-26=0C、5y2-y-26=0D、5y2-26y+5=0考点：换元法解分式方程评析 : 原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设y=时，原方程变为 y+=化简得 5y226y+5=0，所以正确选项是D分式方程（组）的特殊解法吴行民王爱灵同学们已经知道，

18、 把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程， 是解分式方程的基本思路。而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特征，采取灵活多变的方法求解。下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。一、观察法精彩文档实用标准文案例 1、解关于 x 的方程：精讲与解：由限制条件和方程两边a，b 及 x 的“对称”关系不难看出，当x=ab 时等式成立。而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是 x=ab。二、拆项法例 2、解方程：。精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去分母”而另辟新路。原方程可化为，即 1=8，这是不可能的，故原方程无解。试一试：解方程：。提示：将拆成。三、添项法例 3、解方程：。精讲与解：原方程可化为精彩文档实用标准文案。即。解之，得 x=7。经检验， x=7 是原方程的解。试一试：用拆项法来解此题。四、消去常数法例 4、解方程组：精讲与解：两个方程左边的分母都是 x+y 和 ，右边的常数都是 3，因此，消去常数就能得到 x、y 之间更为明显的数量关系。，得。去分母、整