建立空间直角坐标系解立体几何题

1、建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、 证明平行关系和垂直关系等.常用公式：|PMn|求直线丨与平面a所成的角：Isin日卜一,（PM U I, ,M, , n n 为a的法向量）|PMHn|a n = 0则由方程组 r，可求得法向量n.lb n = 0高中新教材 9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、垂直、 角、距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行 定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角 坐标

2、系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例 1.（2002 年全国高考题）如图，正方形 ABCD ABEF 勺边长都是 1,而且平面 ABCDABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=aV2 ）。（1）求 MN 勺长；（2）当 a 为何值时，MN 的长最小；（3）当 MN 最小时，求面 MNA 与面 MNB成二面角 a 的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为 X、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐丄丿 27272V2求二面角、1 1、求线段的长度:2丄2y +Z= =J(J(X2

3、X2 x xj+(j+(y2y2y1y1 ) )2 2+(+(Z2Z2乙2 22 2、 求 P P 点到平面 a a 的距离:PN卜呼|n|（N N 为垂足，M M 为斜足，n n 为平面 a a 的法向量）3 3、4 4、5 5、| AB CD|求两异面直线AB与 CDCD 的夹角：cos =_AB| .|CD|,” |n1-n21一 一|co少卜 _，（n1，n2为二面角的两个面的法向量）| ni M n2|求二面角的平面角 9 9 :6 6、 求二面角的平面角 9 9 :S射I寸影射影面积法）7 7、 求法向量：找；求:设a,b为平面a内的任意两个向量，n = （x,y,1）为a的法向量

4、,标系 B-xyz，由 CM=BN=a M（a， 0， 1 - a）,N （ a， a， 0）2 2 2 2.丽= =（。（。，争，疥一争，疥一1）MN屮(f a1)2+(节)2J（a 爭1 + ( 0 c a “2 )2(2)由(1)MN_ I-J2 21=(ap)+2所以,当 a=M 时,2MNmin2即 M、N 分别移动到 AC、BF 的中点时，MN 勺长最小，最小值为（3）取 MN 勺中点所以 API MNMN 的长最小时P,连结 AP、BP,因为 AM=AN BM=BN BP 丄MN / APB 即为二面角 a 的平面角。1111MG, 0 ,1),N(11, 0)2222由中点坐标

5、公式 P(1,124 111-PA=(1, -1, -1),244 cos / APB=PAPBPA -PB11),又 A (1 , 0 ,4PB=(-1-1-(2，4，_1 +丄+丄4 _1616=耳0), B (0,0, 0)寸）寸）面 MNAf 面 MNB 所成二面角 a 的大小为 n -arccos解：建立如图所示的空间直角坐标系 由题意 C（0, 0, 0）, G（0, 0, 2）,2 GE= (2, 4, -2 ), GF = (4, 2,-2), BE= (2, 0, 0)GC即n=(3, 5,1)，GC 在 n 方向上的射影的长度为（1）求 BN 的长； （2） 求COSCBA

6、CBJA; （3）求证：AB 丄 GM解:建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz ,则 C（0 , 0 , 0） , B（0 , 1 , 0）,1, 2）X -+1X - +(-2) X 0=02 2A1B 丄 CiM一二、利用图形中的对称关系建系。有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系 来解题。例 4.（2001 年二省一市高考题）如图,以底面边长为 2a 的正四棱锥 V-ABCD 底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系d = BEBEnBE nBE=271111J9+

7、9+1例 3. （2000 年二省一市高考题）在直三棱柱 ABC- A1B1G中 CA=CB=,1 /BCA=90,棱 A A1=2 , M、N 分别是 A1B1、A A 的中点。(1, 0, 1),A(1,0, 2), Bi(0, 1, 2), CAB?GM = -1(0 ,0，2)，M(70-xyz，其中 Ox/ BC, Oy/ AB E 为 VC 的中点，高 OV 为 h。(1)求 coscBE,DE A;P 的平面角,求/ BED。解：(1)由题意 B (a , a ,aD (-a, -a, 0), E (-,22 2-6a + h22-10 a + h(2) V V (0, 0, h

8、), C (-a, a, 0)-VC = (-a , a, - h )又/ BED 是二面角 a -VC- P 的平面角 BE 丄 VC , DE 丄 VC2.2.2a h2h c -=a=0, BE= (-3a2,a 3aDE =( 7，Vcos =BE3a2百h23a2-VJ5ah2+4242h2a=2代入 cos =- =1即/ BEDn -arccos -3三、利用面面垂直的性质建系。但是有两个互相垂直的平面，我们可 -点的三条直线， 建立空间直角坐标系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线， 以利用面面垂直的性质定理作出互相垂直且相交于(2000 年全国高考题)如图，正三棱柱

9、ABC-A1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为 72 a。例 5.建立适当的坐标系，并写出 A、B、A、C 的坐标; 求ACi与侧面 AB BiAi所成的角。(1)如图，以点 A 为坐标原点，经过原点且与 ABBA1垂直的直线为 x 轴，(1)(2)解:以 AB 所在直线为 y 轴，以 AA 所在直线为 z 轴，以 建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得：A (0, 0, 0), B (0, a,0),A (0, o 忌)，C (-a，I 屁)(2)取 A1B1的中点 M 于是有 M( 0, - , 72 a),连 AM、MC 有2MCi=(-于 a , 0, 0),且 AB= (0, a,

10、0), AR = (0, 0, 72 a)由于 MCi AB =0, MCiAA=0,故 MC 丄平面 AB BA。 A Ci与 AM 所成的角就是 AC 与侧面 AB BiAi所成的角。 AC1与 AM 所成的角，即 AC 与侧面 AB BA 所成的角为 30。例 6. （2002 年上海高考题）如图，三棱柱 OAB-OAiBi,平面 OBB1丄平面 OAB / OOB=60, / AOB=90且 OB= OO2，OA=/3。求：（1） 二面角 O- AB- O 的大小；（2）异面直线 AiB 与 A Oi所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）解：（i）如图，取 OB 的中点 D,连接 O

11、D,则 OD 丄 OBV 平面 OBEO 丄平面 OAB OiD 丄面 OAB过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E,连结 OE,/ DEO 为二面角 O- AB-O 的平面角。由题设得OD=73V ACi=(-当a , I ,逅a), AM =(0,二 ACi_ 2c 2AM =0+2a2= -a-44ACi=2冷冷= =辰辰, ,AMcos c AC1, AM =3a29a2_4_二品.a3a22Sin / OBA=YOA2+OB27 DE=DBsin/ OBA=7则 OE 丄 OEZI，屁）,V 在 Rt A ODE 中，tan / DE 0=77 / DE O=arctan打，即二面角 0- AB- O 的大小为 arctan(7。(2)以 0 为原点，分别以 0A、0B 所在直线为 X、y 轴，过点 0 且与平面 AOB 垂直的直线 为 z轴，建立空间直角坐标系。则 0( 0 , 0 , 0), 0( 0 , 1 , J3 ),A(罷,0, 0), Ai(73 , 1, J3), B (0, 2, 0),则 AB =(-罷,1,-昭),OX =( 73 , -1, - J3)E-mail :(注：本文发表于数学通讯2004 年第 6 期)13例 2. （1991 年全国高考题） 如图,已知 ABCD 是边长为 4 的正方形,E、 F 分别是 AB、