难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)

1、难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做 ) 突破相似中的综合问题及含动点的解题思路 类型一相似与特殊三角形1一块直角三角板ABC 按如图放置， 顶点 A 的坐标为 (0 ，1)，直角顶点 C 的坐标为 (3， 0)， B 30°，则点 B 的坐标为 _第 1题图第2题图2 (2016 ·冈中考黄 )如图，已知 ABC、 DCE、 FEG、 HGI 是 4 个全等的等腰三角形，底边BC、 CE、EG、 GI 在同一直线上，且AB 2，BC 1，连接 AI ，交 FG 于点 Q，则 QI _3(2016 福·州中考 )如图，在 ABC 中， AB AC 1，

2、BC5 1，在 AC 边上截取 AD2 BC，连接 BD .(1)通过计算，判断 AD 2 与 AC·CD 的大小关系；(2)求 ABD 的度数 类型二相似与特殊四边形4(2016 ·营中考东 )如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点， BE AC，垂足为点 F，连接 DF ，分析下列四个结论： AEF CAB； CF 2AF； DF DC.其中正确的结论有()A3个B2个C1 个D0个第4题图第5题图第6题图5如图， ABC 和 DBC 是两个具有公共边的全等三角形，ABAC 3cm，BC 2cm.将 DBC 沿射线 BC 平移一定的距离得到D 1B1C1，连

3、接 AC 1， BD 1.如果四边形 ABD1C1 是矩形，那么平移的距离为 _cm.6 (2016 滨·州中考 )如图，矩形 ABCD 中， AB 3， BC6，点 E 在对角线 BD 上，第1页共7页且 BE 1.8，连接 AE 并延长交 DC 于点 F ，则 CDCF _7如图，在 ?ABCD 中，对角线AC、 BD 相交于点O，点 E、F 是 AD 上的点，且AE EF FD .连接 BE、 BF，使它们分别与 AO 相交于点 G、 H.(1)求 EG BG 的值；(2)求证： AGOG ；(3)设 AG a，GH b，HO c，求 a b c 的值 类型三运用相似解决几何图

4、形中的动点问题8如图，在正方形ABCD 中， M 是 BC 边上的动点，N 在 CD 上，且CN 14CD，若AB 4，设 BM x，当 x_ 时，以 A、 B、M 为顶点的三角形和以N、 C、 M 为顶点的三角形相似第 8题图第9题图9(2016 ·春模拟宜 )如图， ABC DEF (点 A、B 分别与点D、E 对应 )，AB AC 5，BC 6， ABC 固定不动，DEF 运动，并满足点E 在 BC 边从 B 向 C 移动 (点 E 不与 B、C 重合 )，DE 始终经过点A，EF 与 AC 边交于点 M，当 AEM 是等腰三角形时， BE _10(2016 梅·州中

5、考 )如图，在 Rt ABC 中， ACB 90°，AC 5cm， BAC 60°，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒 (0 t 5)，连接 MN .(1)若 BM BN，求 t 的值；(2)若 MBN 与 ABC 相似，求t 的值；(3)当 t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值第2页共7页11(2016 ·峰中考赤 ) 如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，P，Q 分别从 B，A 出发沿 BC， AD

6、 方向运动， P 点的运动速度是 1cm/秒， Q 点的运动速度是 2cm/秒，连接 AP 并过 Q 作 QE AP 垂足为 E.(1)求证： ABP QEA；(2)当运动时间t 为何值时， ABP QEA?(3)设 QEA 的面积为 y，用运动时间 t 表示 QEA 的面积 y(不要求考虑 t 的取值范围 )提示：解答 (2)(3) 时可不分先后 类型四相似中的探究型问题12(2016 ·波中考宁 )从三角形 (不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形， 如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把

7、这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图，在 ABC 中， CD 为角平分线， A40°， B 60°，求证： CD 为 ABC 的完美分割线；(2)在 ABC 中， A 48°， CD 是 ABC 的完美分割线，且 ACD 为等腰三角形，求 ACB 的度数；(3)如图， ABC 中， AC 2， BC2，CD 是 ABC 的完美分割线，且ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长第3页共7页参考答案与解析EB1( 33，33)解析：如图，过点 B 作 BE x 轴于点 E.易证 EBC OCA， OC BC ECCAOA.点 A 的坐标为

8、(0，1)，点 C 的坐标为 ( 3， 0)， OA 1， OC 3， ACOA2 OC2 10.在 RtACB 中， B 30°， AB 2AC2 10， BC AB 2 AC230， BC3. BE 3 3， EC 3， EO EC CO 3 3，点 B 的坐标为 (33，AC3 3)4解析： ABC、 DCE 、 FEG 是三个全等的等腰三角形，HI AB 2，GI2.3BC1，BI4BC4，AB21，BC1，ABBCBI42AB2BI AB .又 ABI ABC ，ACABQI ABI CBA， AI BI . AB AC， AI BI 4. ACB FGE， AC FG ，

9、 AIGI114CI ， QIAI .3333解： (1) AB AC 1，BC5 15 151 3 52， AD，DC 122. AD22 5 1 2 53 5， AC·CD 1× 3 5 3 5. AD 2 AC·CD ；4222(2)AD BC ， AD2 AC·CD ， BC2 AC·CD ，即 BC CD .又 C C ，ACBC BCD ABC. ACAB BDCB 1， DBC A. DB CB AD. A ABD ， C BDC .设 A x，则 ABD x， DBC x， C2x. A ABC C 180°， x2x

10、 2x 180 °，解得 x 36°， ABD 36°.4A 解析：过 D 作 DM BE 交 AC 于 N.四边形 ABCD 是矩形， AD BC，ABC 90°， AD BC.BE AC 于 点 F ， EAC ACB ， ABC AFE 90°，AE AF11 AEF CAB，故正确； AD BC， AEF CBF， BCCF.AE 2AD 2BC， 1 AF ， CF 2AF，故正确； DE BM，BE DM ，四边形 BMDE 是平行四边形，2 CF1 BM DE 2BC，BM CM， CN NF . BE AC 于点 F，DM BE

11、，DN CF， DF DC ，故正确第4页共7页57解析：作 AE BC 于 E， AEB AEC1 90°， BAE ABC 90°. AB1 AC， BC 2， BECE BC 1.四边形 ABD1C1 是矩形， BAC1 90°， ABC2 AC1B 90°， BAE AC1B， ABE C1BA， BE AB.AB 3cm，BE 1cm，AB BC1 13 ， BC 9cm， CC BC BC 9 2 7(cm)，即平移的距离为7cm.3111BC11解析：四边形ABCD是矩形， BAD 90°. AB 3， BC 6 ， BD 6.3

12、AB2AD 2 3. BE 1.8， DE 3 1.81.2. AB CD， DF DE ，即 DF 1.2，解得ABBE31.832 3，则 CF CD DF 3，CF31DF 33CD .337 (1) 解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC， AD BC， AEG CBG，EGAGAE GB GC BC. AEEF FD ， BCAD 3AE， GC 3AG， GB 3EG， EG BG 1 3；1(2)证明： GC 3AG(已证 )， AC 4AG， AO 2AC 2AG， GO AOAG AG；(3)解： AEEF FD ， BC AD 3AE， AF 2AE.AD BC， A

13、FH CBH，AHAF2AE2，AH221HCBC3AEAC ，即AH AC. AC 4AG ， a AGAC， b AH AG3554213121131 53 2.5AC AC20AC， cAO AH AC AC 10AC， a b c4254201016解析：在正方形 ABCD 中， AB 4， AB BC CD 4. BM x，CM82或5 4 x.CN1ABBM，即4x，解得 x2；CD ， CN1.当 ABM MCN 时，CMCN144 xABBM4x1616当 ABM NCM 时，CN CM ，即14 x，解得 x5 .综上所述， 当 x 2 或5 时，以 A、B、 M 为顶点的三

14、角形和以N、 C、 M 为顶点的三角形相似91 或11解析： AEF B C，且 AME C， AME AEF ， AE AM ；6当 AE EM 时，则 ABE ECM ， CE AB 5， BEBC EC 6 5 1.当 AM EM时，则 MAE MEA ， MAE BAE MEA CEM ，即 CAB CEA.又 CCEACAC225251111 C， CAE CBA， AC CB， CE CB 6 ，BE 666，BE 1或6 .10解： (1)在 Rt ABC 中， ACB 90°， AC 5， BAC 60°， B 30°， AB 2AC 10， BC

15、 53.由题意知： BM 2t， CN3t， BN 533t .BM BN， 2t 5 3 3t，解得 t 5 3 10 315；2 3第5页共7页MBBN2t53 3t5(2)分两种情况：当 MBN ABC 时，则 AB BC，即 1053 ，解得 t2；当 NBM ABC 时，则 NB BM，即 53 3t 2t ，解得 t155或AB BC105 37 .综上所述，当t 215时， MBN 与 ABC 相似；t 7MDBMMD2t(3)过 M 作 MD BC 于点 D ，则 MD AC， BMD BAC， AC AB，即510，解得1×5× 51(53 3t)

16、83;t3253MD t.设四边形 ACNM 的面积为 y， y32t 2t2225335 2753.根据二次函数的性质可知，当522t 2 8t2时， y 的值最小此时， y最小 75 3.811 (1) 证明：四边形 ABCD 为正方形， BAP QAE B 90°. QE AP， QAE EQA AEQ 90°， BAP EQA ， B AEQ， ABP QEA；(2)解： ABP QEA， AP AQ.在 RtABP 与 Rt QEA 中，根据勾股定理得 AP2 32 t2，AQ 2(2t)2，即 32t 2 (2t)2，解得 t1 3， t2 3( 不符合题意，合

17、去 )即当 t 3时 ABP QEA；AQ22t23(3)解：由(1) 知 ABP QEA，y，y ，整理得 y 6t2.22S ABPAP1× 3t3 t9 t212解： (1)如图中，A 40°， B 60°， ACB 80°， ABC 不是等腰三角形 CD 平分 ACB， ACD BCD 12 ACB 40°， ACD A 40°， ACD为等腰三角形 DCB A 40°， CBD ABC， BCD BAC， CD 是 ABC 的完美分割线；(2)当 ADCD 时，如图， ACD A 48°， BDC BCA， BCD A 48°， ACB ACD BCD 96°；当 AD AC 时，如图，ACD ADC 180 ° 48° 66°. B