高中文科数学立体几何知识点总结材料

1、实用标准文案立体几何知识点整理（文科）l若向量 l 和向量 m 共线且 l、m一直线和平面的三种位置关系：m 不重合，则 l / m 。1.线面平行l2.线面平行：符号表示：方法一：用线线平行实现。l2.线面相交l / mml /llA符号表示：方法二：用面面平行实现。3.线在面内nl/ll /l符号表示：二平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。方法一：用线面平行实现。若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll /l / 。ll / mmm方法二：用面面平行实现。l/3. 面面平行：ll / mmm方法一：用线线平行实现。方法三：用线面垂直实现。l / l m / m/若

2、 l, m，则 l / m 。l , m且相交l , m且相交方法四：用向量方法：l ml m文档实用标准文案2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。C方法二：用线面平行实现。ll /m /ll , m且相交mllAB方法二：计算所成二面角为直角。3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。lCA Blllmmm方法二：三垂线定理及其逆定理。PPOlOAl PA三垂直关系：AOl1. 线面垂直：l方法一：用线线垂直实现。lAC方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数量积为0 ，则 lm 。AClAB AAC,AB三夹角问题。(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。(1) 范

3、围： (0 ,90 (2) 求法：Plnmlmlm, l方法一：定义法。AO步骤 1 ：平移，使它们相交，找到夹角。文档实用标准文案步骤 2 ：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：aca 2b2c 2bcos2ab(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角) ：(三 )二面角及其平面角(1) 定义：在棱l 上取一点 P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线） m 、n ，则射线 m 和 n 的夹角为二面角 l的平面角。mPlncosAB AC(2) 范围： 0 ,180 ABAC(二 )线面角(1) 定义：直线 l 上任取一点 P （交点除外） ，作P

4、O于 O,连结 AO ，则 AO 为斜线PA 在面内的射影，PAO (图中)为直线 l 与面所成的角。PAO(2) 范围： 0 ,90 当0 时， l或 l /当90 时， l(3) 求法：(3) 求法：方法一：定义法。步骤1 ：作出二面角的平面角(三垂线定理 )，并证明。步骤 2 ：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1 ：如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2 ：解三角形，求出二面角。 PA O方法一：定义法。方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤 1 ：作出线面角，并证明。步骤 2 ：解三角形，求出线

5、面角。文档实用标准文案n1n2uruururuurn1n2步骤一：计算 cos n1n2uruurn1n2ur uur步骤二：判断与n1 n2的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1 点面距。方法一：几何法。PAO步骤 1：过点 P 作 PO于 O ，线段 PO 即为所求。步骤 2 ：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2 线面距、面面距均可转化为点面距。五空间向量3 异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。mn如图， m和n 为两条异面直线，n且m /，则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三

6、：公式法。BaAmcdnDmbC如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，m / m ，则异面直线m 和 n 之间的距离为：dc 2a2b22ab cosAA1CDC1BB1(一 )空间向量基本定理文档实用标准文案若向量 a, b, c 为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p ，都存在唯一的有序实数对x、 y、 z ，使得 p xa yb zc 。(二 ) 三点共线，四点共面问题1. A ，B，C 三点共线uuuruuuruuury 1OAxOByOC ，且 x当 xy1时，A是线段 BC的2A，B，C 三点共线ABAC2. A ，B，C，D 四点共面uuuruuuruuur

7、uuurOAxOByOCzOD ，且 x y z 1当 xyz13时， A 是BCD 的A ， B， C，D 四点共面ABx ACy AD(三 )空间向量的坐标运算1. 已知空间中 A 、 B 两点的坐标分别为：A( x1, y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) 则：uuuruuurAB; d A, BABr2.若空间中的向量a ( x1 , y1, z1 ) ， b (x2 , y2 , z2 )rrrr则 ababrrcosr ra ba b六常见几何体的特征及运算(一 )长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为

8、、，则 cos2+ cos2+ cos2文档实用标准文案 若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、 ，则 cos2+ cos2+cos23. 若长方体的长宽高分别为a、 b 、 c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二 )正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三 )正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四 )正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体 )(五 )棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六 )体积：

9、 V棱柱V棱锥(七 )球1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为 R，小圆的半径为 r ，小圆圆心为 O 1，球心 O 到小圆的距离为 d ，则它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4. 球的表面积公式：体积公式：文档实用标准文案高考题典例考点 1点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱ABC A1B1C1 的所有棱长都为2， D为 CC1 中点（）求证：AB1 平面 A1BD ；（）求二面角 AA1DB 的大小；（）求点 C 到平面 A1BD 的距离解答过程 （）取 BC 中点 O ，连结 AO Q ABC 为正三角形

10、，AO BC Q 正三棱柱 ABC1 1中，平面ABC平面 BCC B ，AA1A1BC11AO 平面 BCC1B1连结 B1O，在正方形 BB1C1C 中， O， D 分F别 为 BC，CC1的中点，B1O BD ，AB1 BD CDC1O在正方形 ABB1 A1 中， AB1 A1B ，AB1 平面 A1BD BB1（）设 AB1 与 A1B 交于点 G ，在平面 A1 BD 中，作 GF A1 D于F，连结AF ，由（）得AB1平面 A1BD AF A1D， AFG 为二面角 A A1 DB 的平面角在 AA1 D 中，由等面积法可求得 AF4 5 ，5又Q AG1AB2 ，sinAFG

11、AG210 21AF4 545所以二面角 AA DB 的大小为arcsin1014（）ABD中， A1 BD6， SBCD11BD A1D5A1B 22 S在正三棱柱中，A1 到平面 BCC1B1 的距离为3 设点 C 到平面 A1 BD 的距离为 d 由 VA1BCDV，得 11S A1BD gd，3S BCD2 C A1BDS BCD g 3d233S A1BD点 C 到平面 A1 BD 的距离为2 2文档实用标准文案考点 2异面直线的距离例 2已知三棱锥 S ABC ，底面是边长为4 2 的正三角形，棱SC 的长为 2，且垂直于底面 . E、D 分别为 BC、AB 的中点，求 CD 与

12、SE 间的距离 .解答过程 ： 如图所示，取BD 的中点 F，连结 EF， SF，CF，EF 为BCD 的中位线，EF CD ,CD 面 SEF , CD到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线 CD 上一点 C 到平面 SEF的距离，设其为h ，由题意知， BC42 ,D、 E、F 分别是 AB、 BC、 BD 的中点，CD2 6,EF1 CD6, DF2, SC22VS CEF11EFDFSC116222332323在 RtSCE 中， SESC2CE 22 3在 RtSCF 中， SFSC2CF 2424230EF6,S SEF3由于 VC SEFVS1

13、SSEF12323又CEFh ，即3 h3，解得 h333故 CD 与 SE 间的距离为23.3考点 3直线到平面的距离例 3 如图，在棱长为2 的正方体 AC1 中， G 是 AA1 的中点，求 BD 到平面 GB1D1 的距离 .思路启迪 ：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.D1O1C1BD 平面 GB1 D1 ，解答过程 ：解析一A1B1BD 上任意一点到平面GB1 D1 的距离皆为所求，以下求HG点 O 平面 GB1 D1的距离 ,DCAOBB1 D1A1C1 ， B1 D1A1 A，B1D1平面 A1 ACC1 ,文档实用标准文案又 B1D1平面 GB1 D1平面

14、 A1 ACC1GB1 D1 ，两个平面的交线是 O1G ,作 OHO1G 于 H ，则有 OH平面 GB1D1 ，即 OH 是 O 点到平面 GB1 D1 的距离 .在O1OG 中， S O1OG1 O1O AO1 2 22 .22又 S O1OG1 OH O1G13 OH2, OH2 6 .223即 BD 到平面 GB1 D1 的距离等于26.3解析二BD 平面 GB1 D1 ，BD 上任意一点到平面GB1 D1 的距离皆为所求，以下求点B 平面 GB1 D1 的距离 .设点 B 到平面 GB1 D1 的距离为 h，将它视为三棱锥B GB1 D1 的高，则VB GB1D1VD1 GBB1

15、,由于 S GB 1D112236，VD1 GBB1114232 2 2,23h 4 26,63即 BD 到平面 GB1D1 的距离等于26.3小结 ：当直线与平面平行时， 直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点， 转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 .考点 4 异面直线所成的角例 4 如图，在 RtAOB 中，OAB，斜边 AB 4 Rt AOC 可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转6得到，且二面角B AOC 的直二面角D 是 AB 的中点A（ I）求证：平面COD平面 AOB ；D（ II

16、 ）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小zEB解答过程 ：（ I）由题意， COAO， BOAO ，AOC文档D实用标准文案BOC 是二面角 BAO C 是直二面角，COBO ，又 Q AOI BO O，CO平面 AOB ，又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOB （II）作 DEOB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），则 DE AO ，CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角在 RtCOE 中， CO BO 2 ， OE1BO 1，CECO 2OE 25 2又 DE13 在 Rt CDE 中， tanCDECE515 AO2DE33异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为ar

17、ctan15 3小结 ： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点” ，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说， 平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0, .2考点 5直线和平面所成的角例5. 四棱锥SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， 侧面 SBC底面 ABCD 已知 ABCo，AB2 ，45BC2 2，SASB3S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD 与

18、平面 SAB所成角的大小CBDA解答过程：（） 作 SO BC ，垂足为 O ，连结 AO ，由侧面 SBC 底面ABCD ，得 SO 底面 ABCD 因为 SASB，所以 AO BO ，S又 ABC45o ， 故 AOB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，AO BO ，由三垂线定理，得 SA BC COBDA文档实用标准文案（）由（）知SA BC ，依题设 AD BC ，故 SA AD ，由 ADBC22， SA3， AO2 ，得 SO 1，SD11 SAB的面积1 ABg SA21 AB2S12 22连结DB，得DAB的面积S2AB AD sin13521go2设 D 到平面 SAB的距离

19、为 h ，由于 VDSABVSABD ，得 1 hgS11 SOgS2 ，解得 h233设 SD 与平面 SAB所成角为，则 sinh222 SD1111所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 arcsin22 11小结 ：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1 ）先判断直线和平面的位置关系；（2 ）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点 6二面角例 6 如图， 已知直二面角PQ， APQ ，B， C，CA CB ，CBAP45o ，直线 CA 和平面所成的角为30o

20、（ I）证明 BC PQPAQ（ II ）求二面角 BACP 的大小B过程指引 ：（ I）在平面内过点 C作CO PQ 于点 O，连结 OBIPQ ，所以 CO ，CH因为，PA又因为 CACB ，所以 OAOB OQB而BAO45o ，所以ABO 45o ， AOB90o ，从而 BOPQ，又COPQ，所以 PQ 平面 OBC 因为 BC平面 OBC，故 PQ BC （ II ）由（ I）知， BO PQ ，又，IPQ ，BO，所以 BO 过点 O 作 OH AC 于点 H ，连结 BH ，由三垂线定理知，BH AC故文档实用标准文案BHO 是二面角 BACP 的平面角由（ I）知， CO，

21、所以CAO 是 CA 和平面所成的角，则CAO 30o ，不妨设 AC 2 ，则 AO3，OHAO sin 30o32在 RtOAB 中 ，ABOBAO45o，所以BO AO3 ， 于 是 在 Rt BOH中 ，BO32故二面角 BACP 的大小为 arctan2 tan BHO3OH2小结 ：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点 7利用空间向量求空间距离和角D1A1例 7 如图，已知 ABCDA1B1C1 D1