高等数学一元微积分导数在经济学中的应用

1、高等数学一元微积分导数在经济学中的应用 一、经济学中的常见函数 作业 P143, 2, 4, 8, 10. 例5. 某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后 得出总利润 （元）与每月产量 （吨）的关系 为 ，试确定每月生产20吨， 25吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。 解： 边际利润函数为 上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高. 边际利润 （5）边际需求 定义 若 是需求函数，则需求量 对价格的导数 称为边际需求函数。

2、的反函数 是价格函数，价格 对需求的导数 称为边际价格函数。 由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格 函数互为倒数，即 解： 它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位. 当 时的边际需求为 定义 3. 弹性概念 设函数 在点 处可导，函数 的相对改变量 与自变量 的相对改变量 之比 ，称为函数 从 到 两点间的平均相对变化率， 或称两点间的弹性。 注意：两点间的弹性是有方向性的。 记作 ，或 即 弹性函数的定义 对一般的 ，若 可导且 ，则有 是 的函数，称为 的弹性函数（简称弹性） 函数 在点 处的弹性 反映了 的变化幅度 对 变化幅度 的大

3、小的影响， 也就是 对 变化反应的强烈程度或灵敏度。 表示在点 处，当 产生1%的改变时， 近似地改变 。 由弹性的定义 边际函数 平均函数 弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。 常见函数的弹性（a , b , c , ?为常数） （1）常数函数 的弹性 （2）线性函数 的弹性 （3）幂函数 的弹性 常见函数的弹性（a , b , c , ?为常数） （4）指数函数 的弹性 （5）对数函数 的弹性 （6）三角函数的弹性 ， 弹性的四则运算 函数弹性的图解方案 对于给定的函数 的几何意义知 （如图所示），由边际函数 又平均函数为 则 注：常用符号 表示需求的价格弹性的绝对值 1. 需求

4、的价格弹性 需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.用公式表示为 三、 经济学中常见的弹性函数 解： 例1 某需求曲线为 ，求 P 20时 的弹性。 ，当 P 20时，Q 1000，所以 几种特殊的价格弹性 从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性： （1）需求的价格弹性等于0。也就是说，这种商品 完全没有弹性，不管价格如何变，其需求量都不会 发生变化。这种商品的 需求曲线的图形是一条 垂直的直线。 （2）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提高一点点， 就可能一个也卖不掉。 这种商品的需求曲线为 一条水平的直线。

5、在这 市场里，不同企业的产 品是同质的，价格由市 场供需关系所决定； （3）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为1，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化。这种商品的需求曲线是一条双曲线，其方程为P ×Q K。 例如， 当一个人从每月的工资中拿出一定数量的钱，如100元，购买书时，其个人对书的需求曲线就是一条双曲线； * 二、边际与弹性 三、经济学中常见的弹性函数 一、 经济学中的常用函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数在经济学中的应用 第二章 某一商品的需求量是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量

6、。 1. 需求函数 消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，例如，人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价格 P 的函数，记 称 f 为需求函数，同时 f（P）的反函数 也称为需求函数。 一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求函数是单调减少的。 人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数 线性函数： ，其中 幂函数： ，其中 指数函数： ，其中 例 1 设某商品需求函数为 讨论 P 0 时的需求量和 Q 0 时的价格。 解： 当P

7、 0 时， Q b，它表示当价格为零时， 消费者对商品的需求量为 b ，b 也就是市场对该商品的饱和需求量，也称为最大需求量。 当Q 0 时， P b/a ，它表示当价格上涨到 b/a 时，没有人愿意购买该产品。 2. 供给函数 某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的商品量。 供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量 Q 便是价格 P 的函数，设 称 为供给函数。 一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函数都是单调增加的。 人们根据统计数据，常使用下面

8、简单的供给函数 线性函数： ，其中 幂函数： ，其中 指数函数： ，其中 使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为均衡价格。 例2. 已知某商品的需求函数和供给函数分别为 求该商品均衡价格。 解：由供需均衡条件，有 由此，得均衡价格 3. 生产函数 生产函数表示了一定的时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。 生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。 例3. 在电力输送过程中，如果用 x 表示能量输入，则能量输出为 y f x ，其中 这里 c 0 为容量参数。 规模报酬问题： 当投入增加一倍时，产

9、出是否也增加一倍？ 例：设投入 x 与产出g x 的关系为 由于 ，可见， 当 时，规模报酬不变；当 时，如果投入 增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减； 当 时，如果投入 增加一倍，产量增加超过 一倍，即规模报酬递增。 4. 成本函数 成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额。 成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；可变成本是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。 5. 收益函数 总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用 Q 表示出售

10、的产品数量，R 表示总收益， 表示平均收益，则 如果产品的价格 P 保持不变，则 6. 利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即 例6. 已知某产品价格为 P ，需求函数为 成本函数为 ，求产量 Q 为多少时利润 L 最大？最大利润是多少？ 解： 由需求函数 ，可得 于是，收益函数为 因此， 时，最大利润为30。 这样，利润函数为 8. 戈珀兹（Gompertz）曲线 戈珀兹 曲线是指数函数 在经济预测中，经常使用该曲线. 当 初始期 发展期 饱和期 时，其图形如图所示 初始期 发展期 饱和期 由图可见戈珀兹曲线当 t 0 且无限增大时，其无限与直线 y k 接近，且始终位于该

11、直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。 二、边际与弹性 1. 边际概念 如果函数 在 处可导，则在 内的平均变化率为 ；在 处的瞬时变化率 经济学中称它为 在 处的边际函数值。 设在点 处， 从 改变一个单位时， 的增量 的准确值为 ， 当 改变量很小时，则由微分的应用知道， 的近似值为 当 时，标志着 x 由 x0 减少一个单位。 定义1 设函数 在 处可导，则称导数 的边际函数。 为 在 x0 处的值 为边际函数值。即： 当x x0时，x 改变一个单位，y 改变 个单位。 例1 解： （1） 边际成本 2. 经济学中常见的边际

12、函数 （2） 边际平均成本 总成本函数 的导数，称为边际成本。 平均成本 的导数，称为平均边际成本。 一般说来，总成本 等于固定成本 与可变 成本 之和，即 于是，边际成本为 显然，边际成本与固定成本无关。 例2. 设某产品生产 Q 单位的总成本为 求： （1）生产900个单位时的总成本和平均成本； （2）生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率； （3）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。 总成本函数： 解： （1）生产900个单位时的总成本为 平均成本为 （2）生产900个单位到1000时总成本的平均变化率为 总成本函数： 解： 总成本函数： 解： （3）边际成本函数

13、当Q 900 时的边际成本为 它表示当产量为 900 个单位时，再增加 一个单位，需增加 成本 1.5 个单位。 （或减少） （或减少） （3）边际收益 定义： 总收益函数 的导数 称为边际收益函数。 设 P 为价格， ，因此 解： 总收益为 销售15个单位时，总收益 平均收益 边际收益 当销售量从15个单位到20个单位时的平均变化率为 例4. 当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知 该商品的需求函数为 ，其中 为需求量， 为价格，且最大需求量为6，求 该商品的收益函数和边际函数。 解： （4）边际利润 定义： 边际利润表示：若已经生产了Q 单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润 收益函数 边际收益函数 总利润函数 的导数 称为边际利润。 一般情况下，总利润函数 等于总收益函数 与总成本函数 之差。即 则边际利润为 显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定， 时， * * * * * 这表明在点处，当产生一个单位的改变时，近似改变个单位在应用问题中解释边际函数值的具体意义时往往略去“近