(完整版)三角形解的个数问题专题

1、解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角A 为钝角或直角图形关系bsinA<a<bababA<bsinAA=bsinA解的无解一解两解一解无解个数1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) a 7,b 8, A 105o(2) a 10,b 20, A 80o(3) b 10 ,c 5 6 , C 60o(4)a23,b6,A30o答案 :(1)A90o 而 ab ，故无解(2) A 90o,a bsin A b ，故有无解(3) c b ，故有一组解(4)A90o,b sin Aab ，故有两组解2 在ABC中， A=45

2、6;， AB= 3 ，则“ BC= 2 ”是“ ABC只有一解且 C=60°”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既为充分也不必要条件另解法法 1：大角对大边在已知ABC 中的边长 a ，b 和角 A ，且已知 a ，b 的大小关系， 常利用正弦定理结合 “大边对大角”第1页共3页来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角 A的大小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解【例 1】在 ABC 中，已知 a3 ， b2，B 45，求 A 、 C 及 c 解：由正弦定理，得 sin Aa sin B3sin 453，B 4590 ，ba

3、， A 60 或 120 b22当 A60时， C75， cb sin C2 sin 7562 ；sin Bsin 452当 A120 时， C15， cbsin C2sin1562 sin Bsin 452点评：在三角形中， abAB sin Asin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘法 2：二次方程的正根个数一般地，在 ABC 中的边长 a ，b 和角 A ，常常可对角 A 应用余弦定理，并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c22bc cos Ab2a 20 ，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有

4、两解【例 2】如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD10， ABDC14 ，BDA60 ，BCD 135 ，求 BC 的长解：在ABD 中，设 BDx ，由余弦定理得 142x2102AB2 10 xcos60 ，整理得 x210x 960，解得 x 16 由正弦定理，得 BCBD sinCDB16sin308 2sinBCDsin135点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷法 3：画圆法已知ABC 中， A 为已知角（90 ），先画出 A ，确定顶点 A ，再在 A 的一边上确定顶点C，使 AC边长为已知长度， 最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆， 看该圆与 A 的另一边是否有第2页共3页交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2【例 3】在 ABC 中，A 60，a6， b 3 ，则 ABC 解的情况（） C（ A）无解（ B）有一解（C）有两解（ D）不能确定 ab解：在 A 的一边上确定顶点 C ，使 ACb