(完整版)三角函数的图像与性质练习题

1、.三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A 组1.下列函数图象相同的是()A. y= sin x 与 y=sin(x+ )B.y= cos x 与 y= sin( 2 -?)C.y= sin x 与 y=sin( -x)D.y=- sin(2+x )与 y= sin x解析 :由诱导公式易知y= sin( 2 -?)= cos x,故选 B .答案 :B2.y= 1+ sin x,x 0,2 的图象与直线y= 2 交点的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :作出 y= 1+ sin x 在 0,2 上的图象 ,可知只有一个交点.答案 :B3.函数 y= sin(-x),x0,

2、2 的简图是 ()解析 :y=sin( -x)=- sin x,x 0,2 的图象可看作是由y= sin x,x 0,2 的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B.答案 :B14.已知 cos x=- 2,且 x 0,2 , 则角 x 等于 ()242A.3或3B.3 或3C.或 5D.5或 116666解析 :如图 :.由图象可知 ,x=243或 3 .答案 :A15.当 x 0,2 时 ,满足 sin( 2-?) -2的 x 的取值范围是 ()24242 4A.0, 3 B. 3 ,2C.0 , 3 3 ,2D.3,311解析 :由 sin( 2 -?) -2 ,得 cos x -2 .画出

3、 y=cos x,x 0,2 ,y=- 1的图象 ,如图所示 .224 1124cos 3 = cos 3 =- 2,当 x 0,2 时 ,由 cos x-2 ,可得 x 0 , 3 3 ,2.答案 :C6.函数 y= 2sin x 与函数 y=x 图象的交点有个.解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点.答案 :37.利用余弦曲线 ,写出满足 cos x>0,x 0,2 的 x 的区间是.解析 :画出 y= cos x,x 0,2 上的图象如图所示3. cos x>0 的区间为 0 , ) (,2223答案 :0 , 2) ( 2 ,28

4、.下列函数的图象 :y= sin x-1;22?.其中与函数 y=sin xy=| sin x|;y=- cos x;y= cos ?;y= 1-cos图象形状完全相同的是.(填序号 )解析 :y=sin x-1 的图象是将 y=sin x 的图象向下平移1 个单位 ,没改变形状 ,y=- cos x 的图象是作了对称变换 ,没改变形状 ,与 y= sin x 的图象形状相同完全相同 .而y=| sin x|的图象 ,2,y= cos ?=| cosx|的图象和 y= 1-cos 2 ?=| sin x| 的图象与y=sin x 的图象形状不相同 .答案 :9.若函数 y=2cos x(0 x

5、 2)的图象和直线 y= 2 围成一个封闭的平面图形 ,求这个封闭图形的面积 . 解: 观察图可知 :图形 S1 与 S2 ,S3 与 S4 是两个对称图形 ,有 S1=S 2,S3=S 4,因此函数 y= 2cos x 的图象与直线y= 2 所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC 的面积 .因为 |OA|= 2,|OC|= 2,所以 S 矩形 OABC = 2×2= 4.故所求封闭图形的面积为4.10.作出函数y=- sin x,x -,的简图 ,并回答下列问题.(1) 观察函数图象 ,写出满足下列条件的 x 的区间 :y> 0;y< 0.(2) 直线 y=1与函数

6、y=- sin x,x -,的图象有几个交点 ?2解:列表 :?-2x -2 0sin0 -101 0x-sin0 1 0-10x描点作图 :(1)根据图象可知,当 y>0 时 ,x(-,0);当 y<0 时 ,x(0, ).1(2)在简图上作出直线y= 2,由图可知有两个交点.B 组1.函数 f( x)= ?-cos x 在 0,+ )内()A. 没有零点B. 有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点解析 :数形结合法 ,令 f(x)= ?-cos x= 0,则 ?= cos x.设函数 y= ?和 y= cos x,它们在 0,+ )上的图象如图所示,显然两函数

7、图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)= ?-cos x 在 0,+ )内有且仅有一个零点.答案 :B2.已知 f( x)= sin(?+A. 与 g(x)的图象相同B.与 g(x)的图象关于C.向左平移 2个单位D.向右平移 2个单位解析 :f(x)= sin(?+2 ) ,g(x)= cos(?- 2 ) ,则 f(x)的图象 ()y 轴对称,得 g(x)的图象,得 g( x)的图象2 ) =cos x,g( x)=cos(?- 2) = sin x, f(x)的图象向右平移 个单位 ,得 g(x)的图象 .2由 y=sin x 和 y= cos x 的图象知 ,A,B,C 都错 ,D

8、正确 .答案 :D3.在 (0,2)内 ,使 sin x> cos x 成立的 x 的取值范围是 () 5A.( 4 ,2)( , 4 )B.( 4 ,) 55 3C.( 4,4)D.(4,)(4,2)解析 :如图所示 (阴影部分 )时满足 sin x> cos x.答案 :C3的解集是.4.在 0,2 内 ,不等式 sin x<- 2解析 :画出 y= sin x,x 0,2 的草图如下 :因为 sin= 3 ,32.33345所以 sin( +3) =-2 ,sin(2 - 3) =-2 .即在 0,2 内 ,满足 sin x=-2 的是 x=3 或 x=3 .可知不等式

9、 sin34 5x<- 2 的解集是 (3,3 ) .4 5答案:(3,3)15.(2016 河·南南阳一中期末) 函数 y= sin?+ 2 -cos?的定义域是.sin? 0,2? ? 2? + ,?Z,解析 :由题意 ,得 1 ? 2? + 5,? Z,2 -cos? 0, 2? +332k+ x 2k+ ,k Z.故函数 y=sin?+ 1+ 2? ,+ 2? ,k Z.32 -cos?的定义域为 3答案 : + 2? ,+ 2? ,k Z326 利用正弦曲线 ,写出函数 y=2sin x( 6 ?3 ) 的值域是.解析 :y=2sin x 的部分图象如图.当 x=时

10、,ymax2= 2,当 x= 时 ,ymin= 1,6故 y 1,2 .答案 :1,27.画出正弦函数y= sin x(x R)的简图 ,并根据图象写出 :(1) y 1时 x 的集合 ;2(2) -1 y 3时 x 的集合 .221在0,2上与正弦曲线交于 15 1解:(1) 画出 y=sin x 的图象 ,如图 ,直线 y=(,),(6, ) 两点 ,在0,2区间26221515内,y 2时 x 的集合为 ?|6 ?6 .当 x R 时 ,若 y2 ,则 x 的集合为 ?|6+ 2? ?6+2? ,? Z .137(2)过(0 ,- 2) , (0,2 ) 两点分别作 x 轴的平行线 ,从

11、图象可看出它们分别与正弦曲线交于点( 6+1( k Z),111(k Z)和点3(k Z),23(k Z), 那么曲线上夹在2? ,-(+ 2? ,-(+ 2? ,3+ 2? ,)2 )62)32 )(213对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-2 y 2 时 x 的集合为 ?| -6 + 2? ? 3 +272? ,? Z ?| 3 + 2? 6 + 2?,?Z .8.作出函数y= 2+ sin x,x 0,2的简图 ,并回答下列问题:(1) 观察函数图象 ,写出 y 的取值范围 ;1-?(2) 若函数图象与y= 2 在 x 0,上有两个交点 ,求 a 的取值范围 .解:列表 :?

12、3?x0 222sin x0 10 - 102+sin2 3212x描点、连线 ,如图 .(1)由图知 ,y 1,3 .1- ?1 -?(2)由图知 ,当 2 2 < 3 时 ,函数图象与y= 2 在 0,上有两个交点 ,即 -5<a -3.故 a 的取值范围是 (- 5,-3.正弦函数、余弦函数的性质(一 )A 组1.函数 f( x)=- 2sin( ?+ 3) 的最小正周期为()A.6B.2C.D.22解析 :T= = 2.答案 :D2.下列函数中 ,周期为 2的是 ().?A. y= sin2B. y=sin 2x?C.y= cos4D.y= cos(-4x)解析 :对 D,

13、 y=cos(-4x)=cos 4x,T=2=42,故选 D.答案 :D3.(2016 四·川遂宁射洪中学月考)设函数 f(x)= sin(2?- 2 ) ,x R,则 f(x)是 ()A. 最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为 2的奇函数D.最小正周期为 2的偶函数解析 :因为 f(x)= sin(2?-2) =- cos 2x,所以 f(-x)=- cos 2(-x) =- cos 2x=f (x), 所以 f(x)是最小正周期为的偶函数 .答案 :B4.已知函数 f(x)= sin(4?+3 ) ,g(x)= sin(3?+6) 的最小正周期分别为T1,

14、T2,则 sin(T1+T 2)= ()3113A.- 2B.-2C.2D. 2解析 :由已知 T122 2 1=4=2212)= sin( 2+3) = sin( +6) =- sin6=-2.,T=3,sin(T +T答案 :B5.(2016 浙·江金华一中月考) 设 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为2的函数 ,且有sin?,0 ? ,13f(x)= cos?,-< ?< 0,则 f( -4) = ()22A. 2B.- 2C.0D.1解析 :因为 f(x)是定义域为 R 且最小正周期为2的函数 ,所以 f( -1333) =f ( -4+) =f () .44

15、4313332又因为 0 4 ,所以 f( -4 ) =f (4 ) = sin4=2 .答案 :A6.函数 y= 4sin(2x+ )的图象关于对称 .解析 :y=4sin(2 x+ )=- 4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称 .答案 :原点27.函数 y= sin(?+4) (> 0)的最小正周期为3,则 =.2解析 :y= sin(?+ 4 ) 的最小正周期为T= ?,22? =3 ,=3.答案 :38.若 f(x)(x R)为奇函数 ,且 f(x+ 2)=f (x),则 f(4)=.解析 :f(x+ 2)=f (x),f(x)的周期为 T= 2.f(0)=

16、0.f(4)= 0.f(4)=f (0) .又 f(x)( x R)为奇函数 ,答案 :0319.判断函数f(x)= cos(2-x) -x sin2 x 的奇偶性 .解: 因为 f(x) = cos(2-x)-x3sin 1x= cos x-x3sin1x 的定义域为22所以 f( x)为偶函数 .11R,f(-x)= cos(-x)- (-x)3 sin (-x)= cos x-x3sin x=f (x),221710.若函数 f(x)是以 2为周期的偶函数,且 f( 3) =1,求 f( - 6 ) 的值 .解: f(x)的周期为2 ,且为偶函数 ,f( -17 176 ) =f ( -

17、3+ 6 ) =f ( -6×2 + 6 ) =f ( 6 ) .而 f( 6 ) =f ( 2 - 3) =f ( - 3 ) =f ( 3) = 1,f( - 6 ) = 1.B 组1.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是()解析 :显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而 A,C 中每经过一个单位长度,图象重复出现 .B 中图象每经过2 个单位 ,图象重复出现 .所以 A,B,C 中函数是周期函数,D 中函数不是周期函数.答案 :D? 2.函数 y= cos( 4?+3) (k> 0)的最小正周期不大于2,则正整数 k 的最小值应

18、是 ()A.10B.11C.12D.13解析 :T= 2? =8 2,k 4.又 k Z,正整数 k 的最小值为 13.4?答案 :D3.将函数 y=sin x 的图象向左平移2个单位 ,得到函数 y=f( x)的图象 ,则下列说法正确的是 ()A. y=f (x)是奇函数B.y=f (x)的周期为 C.y=f (x)的图象关于直线 x=对称2.D.y=f (x)的图象关于点( - 2 ,0) 对称解析 :y=sin x 的图象向左平移2个单位 ,得 y=f (x)= sin(?+ 2 ) = cos x 的图象 ,所以 f(x)是偶函数 ,A 不正确;f(x)的周期为2,B 不正确 ;f(x

19、)的图象关于直线x=k (k Z)对称 ,C 不正确 ;f(x)的图象关于点(? + 2 ,0) (k Z)对称 ,当 k=- 1 时 ,点为 ( - 2 ,0) ,故 D 正确 .综上可知选D.答案 :D54.若函数 f(x)是以 为周期的奇函数 ,且当 x - 2 ,0)时 ,f(x)= cos x,则 f( - 3 ) = ()1313A. 2B. 2C.-2D.- 2521解析 :f(x)的最小正周期是,f( -3 ) =f ( -3 ) =f ( 3 ) .又 f(x)是奇函数 ,f( 3) =-f ( - 3) =- cos( - 3) =- 2.答案 :C5.定义在 R 上的偶函

20、数 f(x)满足 f(x)=f (x+ 2),当 x 3,4 时 ,f(x)=x- 2,则有下面三个式子 :11f(sin 2) <f (cos2) ;f(sin3) <f (cos3 ) ;f(sin 1) <f (cos 1).其中一定成立的是.(填序号 )解析 :当 0 x 1 时 ,3 -x+ 4 4,f(-x+ 4)=-x+ 4-2=-x+ 2, f- (x-4)=f (x-4)=f (x)=-x+ 2, f(x)在0,1 上是减函数 .1> sin113 > cos3 > 0,1> sin 1> cos 1> 0,1> c

21、os2> sin2) <f (cos) ,f(sin 1) <f (cos> 0, f(sin33111),f(sin) >f (cos) .22答案 :116.已知函数y= 2sin x+ 2|sin x|.(1) 画出这个函数的简图 ;(2) 这个函数是周期函数吗 ?如果是 ,求出它的最小正周期 .1 1解:(1) y= 2sin x+ 2|sin x|sin?,? 2? ,2? + (? Z),= 0,? 2? -,2? )(? Z).函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2重复一次 ,故函数的最小正周期是2.7.定义在 R 上的函数f

22、( x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是,且当 x 0 , 2 时 ,f(x)= sinx.(1) 求当 x - ,0 时 ,f(x)的解析式 ;(2) 画出函数 f(x)在 -,上的简图 ;1(3) 求当 f(x) 2时 x 的取值范围 .解:(1) f(x) 是偶函数 ,f(-x) =f (x).当 x0 , 2 时,f(x)= sin x, 当 x -2 ,0时 ,f(x)=f (-x)= sin(-x)=- sin x.又当 x -,-2 时 ,x+ 0 ,2 ,f(x) 的周期为 ,f(x)=f (+x )= sin(+x )=- sin x.当 x -,0时 ,f

23、(x)=- sinx.(2)如图 .1,x=或5(3)在 0,内 ,当 f(x)= 时66,2在 0,内 ,f(x)1时 ,x 526 ,6 .又 f(x) 的周期为 , 当 f( x)1时 ,x? + 526 ,?+6 ,k Z.正弦函数、余弦函数的性质(二 )A 组1.函数 y=| sin x|的一个单调增区间是() 3A.(-4,4)B.(4,4)33C.( ,2)D.(2,2)解析 :画出 y=| sin x| 的图象即可求解.故选 C.答案 :C? 2.(2016 ·建三明一中月考福) y=cos( 2 - 6 ) (- x )的值域为 ().1,1B. -1,1C. -1

24、,1D. -1,3A.-222222? 1? ? 1解析 :因为 - x ,所以 - 3 2 -6 3.所以 -2cos( 2 - 6) 1,y=cos( 2 - 6 ) (- x )的值域为 - 2 ,1 .答案 :C3.函数 f( x)= 3sin(?+ 6 ) 在下列区间内递减的是() A.-2 ,2B. -,02 2 2C.- 3, 3 D.2,3 解析 :令2k+34 x+ 2k+,k Z 可得 2k+ x 2k+3,k Z,函数 f(x)的递减区间为26234 2 4 22?+3 ,2?+3 ,k Z .从而可判断 2 ,3 ? 3 ,3 ,在 x 2 , 3 时 ,f(x)单调递

25、减 .答案 :D4.函数 f( x)= 2sin(?-6) (> 0)的最小正周期为4,当 f(x)取得最小值时 ,x 的取值集合为 ()2A. ?|?= 4? -3 ,?Z2B.?|?= 4? +3 ,? ZC.?|?= 4? -3 ,? ZD.?|?= 4? + 3 ,? Z解析 :T=2111 2=f(x)= 2sin( 2?- ) .由2x-6 =2k-2 (k Z),得 x= 4k- 3 (k Z ).?=4,2.6答案 :A5.已知函数 f(x)= sin(?-2) ,x R,下列结论错误的是()A. 函数 f(x)的最小正周期为2B.函数 f(x)在区间 0 , 2 上是增

26、函数C.函数 f(x)的图象关于y 轴对称D.函数 f(x)是奇函数-?)=- sin(-?)=- cos x,解析 :f(x)= sin - (22周期 T= 2,选项 A正确 ;.f(x)在 0 , 2 上是增函数 ,选项 B 正确 ;定义域是 R ,f(-x)=- cos(-x)=- cos x=f (x), f(x)是偶函数 ,其图象关于 y 轴对称 ,选项 C 正确,选项 D 错误.答案 :D6.函数 y= sin |x|+ sin x 的值域是.2sin?,? 0,解析 :y= sin |x|+ sin x=-2 y 2.答案 : -2,27.函数 y= cos x 在区间 -,a

27、 上为增函数 ,则 a 的取值范围是.解析 :y= cos x 在 -,0 上为增函数 ,又在 -,a上递增 , -,a? -,0.a 0.又 a>- ,- <a 0.答案 :(-,0 8.若函数 f(x)= sin x(0< < 2)在区间 0 , 3 上单调递增 ,在区间 3 , 2 上单调递减 ,则 =.解析 :由题意知函数f( x)在 x= 处取得最大值 ,?33 3 = 2k+ 2 ,= 6k+ 2 ,k Z .又 0<< 2,= 3.答案 :3229.已知函数 f(x)= sin(2?+ 4) (x R ,> 0)的最小正周期为 .(1)

28、求 f(x)在 0 , 2 上的值域 ,并求出取最小值时的x 值 ;(2) 求 f(x)的单调递增区间 .解: 由已知得22?=,= 1,f(x)= sin(2? + 4) .5 时 , 2x+44 .(1)当 x 0 , 24-2 sin(2?+ 1.224)f( x)值域为 - ,1 .2当 2x+=524时,f(x)取最小值-,42 x= 时 ,f(x)取最小值 .2(2)令 2k-2x+ 2k+2(k Z),324得 k- x k+(k Z).88f(x)的递增区间为3? -,?+ (k Z) .88.10.已知函数 f(x)= 2asin(2?+ 6 ) +a+b的定义域是 0 ,

29、2 ,值域是 -5,1, 求 a,b 的值 . 7解: 0 x 2 , 6 2x+ 6 6 .1-2 sin(2?+6 ) 1.a> 0 时 , ?=-5,解得 ?=2,3?+?=1,?=-5 .?=1,-5,解得 ?=-2,a< 0 时 , 3?+?=?=1.因此 a= 2,b=- 5 或 a=- 2,b= 1.B 组2sin(?+()1.若 0< << 4,a= 2sin(?+ 4) ,b=4) ,则A. a<bB. a>bC.ab< 1D.ab> 2+<解析 :0< < <,<4< +42.44而正

30、弦函数 y=sin x 在 x 0 ,2 上是增函数 ,sin(?+ 4) < sin(?+ 4) .2sin(?+2sin(?+) <) ,即 a<b.44答案 :A2.若 a 为常数 ,且 a> 1,0 x 2,则函数 y= sin2x+ 2asin x 的最大值为 ()A.2 a+ 1B.2a- 1C.-2a-1D.a2解析 :令 sin x=t ,则 -1 t 1,原函数变形为y=t 2+2at= (t+a )2-a2. a> 1,当 t= 1 时 ,ymax = 12+2a×1= 2a+ 1,故选 A .答案 :A3.函数 y= cos( 4 -2?)的单调递增区间是()5A. ? + 8 ,?+ 8 ,k Z3B.? -8 ,?+8 ,k Z5C.2? + 8,2? +8 ,k Z3D.2? -8,2?+8,k Z.解析 :函数 y= cos( 4 -2?)= cos(2?- 4) ,令 2k- 2x- 2k,k Z,34得 k- x k+8,k Z,83故单调递增区间为? -8 ,?+8 ,k Z .答案 :B+ ?)( x R)的最小值为.4.函数 y= 2sin( 3 -?)-cos( 6解析 :(3 -?)+ ( 6 + ?)=2,y= 2