分式方程竞赛题

1、X 1第一讲分式方程（组）的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形.变形时可能会扩大（或缩小） 未知数的取值范围， 故必须验根.例 1 解方程解 令 y = x2+ 2x 8，那么原方程为去分母得y(y 15X)+ (y + 9x)(y 15x) + y(y + 9x)= 0,2 2y 4xy 45x = 0,(y+ 5x)(y 9x)= 0,所以 y= 9x 或 y= 5x.由 y= 9x 得 X2+ 2x 8= 9x,即卩 x2 7x 8= 0，所以 x1= 1, x2= 8

2、;由 y= 5x,得 X2+ 2x 8= 5x,即 x2+ 7x 8= 0,所以 X3= 8, X4= 1.经检验，它们都是原方程的根.例 2 解方程4 + 72 18 = 0 + 严18 = 0X +4xX1X2+4xx2+4x解设 y= 一4X，则原方程可化为X -1y+72 18= 0 yy2 18y + 72= 0,所以 yi= 6 或 y2= 12.x2+4x当 y= 6 时，j=6 ,x2+ 4x= 6x 6,故 x2 2x + 6= 0,此方程无实数根.当 y= 12 时，X +4X=12 , X2+ 4x= 12x 12,故 x2 8x+ 12= 0,故 x2 8x+ 12=

3、0, x -1所以 x1= 2 或 X2= 6.经检验，X1= 2, X2= 6 是原方程的实数根.例 3 解方程各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式.原方程可变为整理得去分母、整理得x+ 9= 0, x= 9.经检验知，x= 9 是原方程的根.例 4 解方程x+1 X+6 x+2 x + 5- +-=-1-x+3x+6分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1,根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和,这样原方程即可化简.原方程化为(x+6)(x+7) (x+2)(x+3 厂分析与解我们注意到:1+2 _(3 +2x2x+1、2 2)+2-丄=0 x +3x

4、+2 x+2x+2 x+71-丄仔丄x+2x+7=1 -L+1_x+3 x+64x24x21 11X 1 X X X +1_x+10_T2，整理得 去分母得X2+ 9x 22 = 0,解得 X1= 2, X2= 11 .例 6 解方程分析与解分式方程如比利式a=寸，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简.原方程变形为(2x2+3x +2) +(2x2-3X-2) 幽25x+ 3)+(2x2+5x 3)22x +5x32x23x2 2X2+5X3所以(x+ 6)(x + 7) = (x+ 2)(x + 3).9解得 x=929经检验 X =-是原方程的根.2例 5 解方

5、程1 1+山+11x(x1) x(x+1)(x+ 9)(x +10)12分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式, 用拆项相消进行化简.原方程变形为经检验知，X1= 2 , X2= 11 是原方程的根.2x23x2x= 0 或 2x23x2=2/ + 5x 3.2解得yi石,所以1解得 x= 0 或 x=-81经检验，x= 0 或 x=丄都是原方程的根.8例 7 解方程分析与解 形式与上例相似.本题中分子与分母只是一次项的符号相反,故可考虑用合分比定理化简.原方程变形为2 26x -2 2x +28x8x当 XM0寸，解得 x=

6、 1 .经检验，x= 1 是原方程的根，且 x= 0 也是原方程的根.说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验.像x+丄=a+丄这类特殊类型的方程可以化成一元二次方程，因而至多有两个根.显然x a1 1 1xi= a 与 X2=就是所求的根.例如，方程x + -=3-,x 3所以x1=3，x2=1.例 8 解方程解将原方程变形为2 2x+x+1 x +1x2+1厶-,设 y21x2+1，则原方程变为2y=23221所以 y1= 2 或 y2= - .2a+x由-=2，得X1= a2b;b+x =1，得 X2= b 2a.b +x 2将 X1= a 2b 或 X2= b

7、2a 代入分母 b + x,得 a b 或 2(b a)，所以，当 a 和时，X1= a 2b 及 X2=b 2a 都是原方程的根当 a = b 时，原方程无解.例 10 如果方程只有一个实数根，求 a 的值及对应的原方程的根.分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得2x2 2x+ (a + 4) = 0. 原方程只有一个实数根，因此，方程的根的情况只能是:= 4 4 2(a + 4)= 0.2当占=2 时，x=22X +x +13 时=一时,2+1x= 1;经检验 x= 1 及 x=竺5均是原方程的根.例 9 解关于x 的方程匕+出=2丄.b+x a+x 2a解设 y=bS，则原方程变为宀+

8、丄.y 2(1)方程有两个相等的实数根，即71解得 a =-.此时方程的两个相等的根是X1= X2= - .(2)方程有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程有一个根为22(i)当 x= 0 时，代入式得 a + 4= 0，即 a= 4.这时方程的另一个根是=0, x(x 1)= 0, X1= 0 或 X2= 1.而 X1= 0 是增根).它不使分母为零,(ii )当 x= 2 时，代入式，得2 4 2 X2 + (a + 4) = 0,即 a= &这时方程的另一个根是x= 1(因为 2x2 2x 4= 0.根),X2= 1).它不使分母为零，确是原方程的唯一根.因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a 的值分别是7, 4, 8，其对应的原方程的根一次为2练习一1.填空:(1)11方程x+丄=10的一个跟是 10,则另一个跟是X-82(2)如果方程 匚bx= U有等值异号的根，那么ax c m +1m=2.解方程3.解方程4.解方程如果关于 X 的方程 巧+与空=早1有增根X -X x+x X -1方程口 + 口的根是X1 x+13空+5XX3+2X2+X X3+2X2-5X2邛工+弓丄 2x .xx+1 X +x+1