(完整版)三角不等式

1、第 23 讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。解题示范例 1：已知 nN ， n2 ，求证： cos 1 cos 1cos12 .23n3思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用sin xx 放缩，转化为代数不等式。证明：因为 01n1111.n132所以sin 11 .0kk又11 sin2 11(k1

2、)(k1) .cos21kkk 2k 2所以11cos121324n 1 n 1(coscos)(?)(? )(n?)23n2233n(1 ?2 ?3n 1)( 3 ? 4 ? 5 n 1)234n234nn11(2)2.2n23即1112coscoscos.23n3点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若x(0,)，则 sin xxtan x. 此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。2例 2：当1,2,30, n时，求证：sin1sin2sin3 3 sin123.3思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。证明：因为sin1sin2sin3sin12332s

3、in12 cos1222sin1243 cos 12232662 sin122 sin1243264 sin12312233cos64 sin1233所以1 sin 2sin3 sin3 .sin3123引申：此证明中利用cos1进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当时成立。123因为 sin x 在 (0,内上凸，所以我们很容易推广此不等式为nsin insin (1i 1nni ), i0, , i 1,2,3, , n.i 1特殊地，在ABC 中，有sin B sin C3成立。sin A23例 3：已知x, y ,z R,0 x y，证明：2 sin xcos y 2 sin y

4、cos zsin 2x sin 2 y sin 2z.z2 2思路分析：原不等式等价为sin xsin y sin y cos zsin x cosx sin y cos y sin z cosz ，再考虑利用几4何意义构造证明。证明：因为原不等式等价为sin xcos y sin y cos zsin xcos x sin y cos y，sin z cos z4即sin y(cos y cos z)sin zcosz.sin x(cos x cos y)4如图 OM1 cosx,OM2 cosy, OM3 cosz,M 1 Asin x,M 2B sin x2 , M 3C sin z ，

5、sin x(cos xcos y)M1A?M2M ，sin y(cos ycos z)M2B?M3M 2，sin z· cos zOM 3·M3C，、分别表示图中阴影矩形的面积，而表示单位圆在第一象限的面积。4所以sin x(cos xcos y)sin y(cos ycos z)sin z cos z成立。4即2 sin ycos z sin 2 xsin 2ysin 2 z.2 sin x cos y2点评：此题巧妙地利用三角线几何意义，构造矩形的面积证明，有较强的技巧性。例 4：已知, ,(,) ，求证： (tantan) 2 (tan2 tan )( 2 tanta

6、n ).22思路分析：所证不等式中涉及三个变量,，结合结构特征，考虑一元二次方程构造证明。证明：当 tan2 tan0 时，原不等式显然成立。当 tan2 tan0 时，构造一元二次方程(tan2 tan )x 22 (tantan) x(2 tantan )0.因为 (tan2tan) 2(tantan)(2 tantan)0，所以所作方程必有一根x1，从而4(tantan) 24(tan2 tan) (2 tantan) 0.即 (tantan)2(tan2tan )( 2 tantan ).点评：三角不等式的证明常通过代数方法去解决。例 5：在ABC 中，求SAB13tanBC1CA的整

7、数部分。3 tantantan23tantan122222思路分析：利用三角形内角和的特点考虑。证明：在ABC 中，ABCtan Btan C，tan22cot2BC21 tantan22所以tanA ·BtanB ·tanCtanC ·A2tan222tan1.22由幂平均不等式，则S3(3 tan A tan B1)(3 tan B tan C 1)(3 tan C tan A1)22222236325 .又当 0x1时， x2x.所以BC1tanBC1，3tantantan22223 tan C tan A 1tan C tan A，122223 tan A

8、 tan B1tan A tan B 1.2222故 S3tan B tan Ctan C tan Atan A tan B4.222222即 S 的整数部分为 4。点评：证明过程中利用了幂平均不等式和0x1时， x2x3x1x22 x13 x1 x1 ，既考虑了三角特点，又结合了代数不等式知识。例 6：求实数 a 的取值范围，使不等式2232a ，在0, 恒成立。sin 2(2 22a) sin()24cos()4思路分析：对题中 sin()cos()2 (cossin) 与 sin 2关系换元解决。442解：设 sincosx ，由0, 可得 x1,2, sin 2x 21.2原不等式可化

9、为 x 21(2a)x432a0 ，x即2)( x2a )0.(xx因为 x1,2 ，所以 x2a0.x即 ax2.x记x2 ，易知f ( x) 在 1,2 上单调递减。f ( x)x所以f ( x) maxf (1)23.11故 a 3.点评：换元之后，将三角不等化为代数不等式解决，既转化了形式，又简化了不等式。例7： 已 知 a,b, A,BR，若对于一切 实 数 x， 都 有 f ( x)1a cos xb sin xAcos2xBsin 2x0，求证：a 2 b 22, A2B 21.思路分析：分析题中结构，考虑引入辅助角方法证明。证明：若 a 2b 20, A2B 20 ，则结论显然

10、成立。若a 2b 20, A2B 20, sina, cosb，a 2b 2a2b 2令sinA,cosB，A2A2B 2B 2于是 f (x)1a 2b 2 sin( x)A2B 2 sin(2 x)0 ，f (x)1a2b 2cos(x)A2B 2 sin(2x)0.2由 +得 2a2b 2 sin( x)cos( x)0 ，即 22(a 2b 2 ) sin( x)0.4所以a 2b 2sin( x4)2 对一切 xR 都成立。取 x42x4，即有a2b 22a2 b 22.又 f ( x)1a 2 b2 sin( x)A 2B 2 sin( 2x) 0.由 +得 22A2B 2 sin

11、( 2x)0 .即A2B2sin( 2x)1.取 2x2, x4时，A2B 21，即 A2B21.2点评：此题在恒成立的不等式中，通过赋值得、是关键的技巧。n1, 2, n ， 都 有例8： 已 知i(0,), tan1· tan 2·· tann22 , nN，若对任意一组满足上述条件的2cos 1cos2cos n，求的最小值。思路分析：先退到特殊形式考虑，再进一步处理一般形式。解：当 n1 时，cos 133 ；3, min3当 n2 时，由 ab2(a 2b2 ) 得22时等号成立， tan 1 tan22,cos 1 cos 21可证 cos1cos 2

12、2(cos 1cos 2)，且12带入所以2 ；3min3当 n3时，得证 cos 1cos 2cosnn2.事实上，不妨123n ，则 cos 1cos2cosn ，只需证 cos 1cos2cos32.因为 tan1· tan2 · tan322 ，所以22tan 21tan22 ? tan 38 cos2 cos3 .3sin22 sin 23即1sin2 sincos 13.1 tan 28cos22 cos2sin2 2 sin2133又1sin 211，cos 22sin 222cos 31sin2311 sin23，2所以1(sin 2sin 2cos2cos3223 )2sin 2sin3.2（1）若 8 cos 22 cos 23sin 22 sin 231 ，则 cos1sin 2 sin3 .所以 cos1cos2cos32.（2）