等差数列前10项的和

1、【例 1】等差数列前10 项的和为140，其中， 项数为奇数的各项的和为125，求其第6 项解依题意，得10a110(101)d = 1402a1 a3 a5 a7 a9= 5a1 20d = 125解得 a1=113， d= 22其通项公式为an=113 (n 1) ( 22)= 22n 135a6= 22 6 135 3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、 d，再求其他的这种先求出基本元素， 再用它们去构成其他元素的方法， 是经常用到的一种方法 在本课中如果注意到 a6=a15d，也可以不必求出 an而直接去求 a6，所列方程组化简后可得2a1 9d = 28相减即得 a1 5d

2、= 3，a1 4d = 25即 a6 3可见，在做题的时候，要注意运算的合理性当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提【例 2】在两个等差数列2， 5， 8，, ，197 与2， 7， 12，, ，197中，求它们相同项的和解由已知，第一个数列的通项为an 3n 1；第二个数列的通项为bN=5N 3若 am bN，则有 3n 15N 3即 n N 2(N 1)3若满足 n 为正整数，必须有N 3k 1(k 为非负整数 )又 2 5N 3 197，即 1 N 40，所以N 1， 4， 7， , ， 40n=1， 6， 11， , ，两数列相同项的和为662 1732 , 197=1393【

3、例 3】选择题：实数a， b，5a， 7， 3b，, ，c 组成等差数列，且ab 5a 7 3b , c 2500，则 a，b， c 的值分别为A 1，3，5B1，3，7C 1， 3， 99D1， 3，9解 C 由题设 2b = a5ab = 3a又14 5a 3b，a 1， b 3首项为 1，公差为2又 Sn= na1n(n1)d2n(n1)2 2500=nn 502a50=c=1 (50 1) 2=99a 1，b 3， c99【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数， 组成首项为1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9 13，求插入的数的个数解依题意

4、 2 1(2n 2 1)d前半部分的和 Sn+1 (n 1) (n 1)nd2后半部分的和 Sn+1 (n 1) 2( n1) n ( d)2(nnd)Sn 11)(192由已知，有nd13Sn 1( n1)( 2)2nd19化简，得2nd1322解之，得5nd =11由，有 (2n 1)d=11由，解得d =， n = 5 共插入 10 个数【例 5】在等差数列an 中，设前 m 项和为Sm，前 n 项和为 Sn，且 SmSn， m n，求 Sm+n1解 Sm+n (m n)a1 (m n)(m n 1)d 2(m n)a11(m n 1)d2且 Sm Sn， m nma11m(m 1)d

5、na11n(n 1)d22d整理得 (m n)a1(m n)(m n 1) = 0即 (m n)a11(mn1)d =0 2由 mn，知 a11(m n 1)d 0 2Sm+n 0【例6】已知等差数列 a中，S=21， S =64 ，求数列 |a |的前 nn36n项和 Tn分析等差数列前 n 项和 S= nan(n1)d，含有两个未a，知数121d，已知 S和 S的值，解方程组可得a与d，再对数列的前若干项的正361负性进行判断，则可求出Tn来解设公差为 d，由公式 S na n( n1)d123a1 3d = 21得ba1 15d = 24解方程组得：d 2， a19an 9(n 1)(n

6、 2) 2n11由 an 2n 11 0 得 n11= 5.5，故数列 an 的前 5 项为正，2其余各项为负数列an 的前 n 项和为：n(n 1)2Sn 9n( 2) = n 10n当 n 5 时， Tn n2 10n当 n 6 时， Tn S5 |Sn S5| S5 (Sn S5)2S5 SnTn 2( 25 50) (n2 10n) n2 10n 50即Tn=n210nn 5N *n2nn10n 506说明根据数列 an 中项的符号，运用分类讨论思想可求|a |的前 n项和【例 7】在等差数列 a 中，已知 aa aa 34，求前n691215之和解法一由 a6 a9 a12 a15

7、34得 4a138d 34又 S20 20a12019d 220a1190d5(4a1 38d)=5 34=170解法二S20=(a1+ a20)20= 10(a1 a20)2由等差数列的性质可得：a6 a15=a9 a12 a1a20 a1 a20=17S20170【例 8】已知等差数列an 的公差是正数，且a3a7= 12，a4a6=4，求它的前20 项的和 S20的值解法一设等差数列 an 的公差为 d，则 d0，由已知可得(a1 2d)(a1 bd) 12a1 3d a1 5d = 4由，有 a1 24d，代入，有d2=4再由 d 0，得 d2 a1= 10最后由等差数列的前n 项和公

8、式，可求得S20 180解法二由等差数列的性质可得：a a a a即 a a 4463737又 a3 a7= 12，由韦达定理可知：a3， a7是方程 x2 4x 12 0 的二根解方程可得x1= 6， x22d0 an 是递增数列a3 6， a7=2d =a7a3= 2， a1 10，S20 1807 3【例 9】等差数列 a 、 b 的前 n 项和分别为S和 T，若nnnnSn2n，则a100等于Tn3n1b100A 1B23C199299分析D200301该题是将a100与Sn2n发生联系，可用等差数列的前n项b100Tn3n 1和公式 Snn(a1+ an)把前 n 项和的值与项的值进

9、行联系2解法一 Snn(a1an)，Tnn(b1bn)22Sna1ana1an2nTnb1bnb1bn3n 12a100a1 a199，2b100 b1 b199a100a1a1992 199199=b1=选 Cb100b1993199 + 1299解法二利用数列 an 为等差数列的充要条件：Sn an2bnSn2nTn3n1可设 Sn 2n2k，Tn n(3n 1)kanSnSn 12n2k2( n 1)2kTnTn 1n(3n1)k( n 1) 3(n1) 1kbn4n22n16n23n1a1002 10011993 1001299b100说明该解法涉及数列 a 为等差数列的充要条件S =

10、an2 bn，由nn已知Sn2n，将 Sn和 Tn写成什么？若写成 Sn= 2nk， Tn= (3n 1)k，Tn3n1是常数，就不对了【例 10】解答下列各题：已知：等差数列 an 中 a23， a6 17，求 a9；在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；已知：等差数列 an 中， a4 a6 a15a17 50，求 S20；已知：等差数列 an 中， an=33 3n，求 Sn的最大值分析与解答(1)a6= a2 (6 2)d173d= 54a9=a6 (9 6)d= 17 3( 5)= 32(2)a1=19， an+

11、2=89， Sn+2 1350Sn+2(a1+ an+2)(n + 2)=2 2 =21350= 25 n = 23n19+8935an+2= a25= a1 24d d=12故这几个数为首项是2111，末项是861，公差为35的 23 个数121212(3) a4 a6 a15 a17=50又因它们的下标有4 176 15=21a4 a17=a6 a15=25S20(a1+ a20) 2010(a4a17)250=2(4) a =33 3n a 30n1Sn(a1+ an) n(633n)n3263=22nn223( n21)23212228n N，当 n=10 或 n=11 时， Sn取最

12、大值 165【例 11】求证：前n 项和为4n2 3n 的数列是等差数列证设这个数列的第n 项为an，前 n 项和为Sn当 n 2 时， an Sn Sn-1an (4n23n) 4(n 1)2 3(n 1)=8n 1当 n=1 时， a1=S1=4 3=7由以上两种情况可知，对所有的自然数n，都有 a =8n 1n又 an+1an 8(n 1) 1 (8n1) 8这个数列是首项为7，公差为8 的等差数列说明这里使用了“ an=Sn Sn-1”这一关系使用这一关系时，要注意，它只在 n 2 时成立因为当n1 时， Sn-1=S0，而 S0是没有定义的所以，解题时，要像上边解答一样，补上n 1

13、时的情况【例 12】证明：数列an 的前 n 项之和 S an2 bn(a、 b 为常数 )是这n个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2 bn，得当 n 2 时， an Sn Sn-1an2 bn a(n 1)2 b(n 1)=2na b aa1 S1a b对于任何n N， an2na ba且 an an-1=2na (b a) 2(n 1)ab a2a(常数 ) an 是等差数列若 an 是等差数列，则Sn na1n( n 1)d2(1n)n= d n(a1 d)=dn2n(a1d)22若令d= a，则 a1d= b，即22Sn=an2bn综上所述， Sn=an2 bn 是an 成

14、等差数列的充要条件说明由本题的结果，进而可以得到下面的结论：前n 项和为 S =an2bn c 的数列是等差数列的充分必要条件是c0事实上， 设数列为 un ，则：充分性 c = 0Sn an2 bnun 是等差数列必要性 un 是等差数列Sn an2 bnc 0【例 13】等差数列 a 的前 n 项和 S m，前 m 项和 S n(m n)，nn求前mn项和Sm+n解法一设an 的公差 d按题意，则有Sn na1n(n1)d m2Sm ma1m(m 1)d n2，得 (m n) a1(mn)( mn 1) d = n m2即 a1m n2Sm n(m(m= (m n)1=a1n)( a11(

15、mn)( mn1)d2n 1 d) 2解法二设 Sx Ax2Bx(x N)Am2 Bm nAn2 Bn m，得A(m2 n2) B(m n) n mm n A(m n) B= 1故 A(m n)2 B(m n) (m n)即 Sm+n (mn)说明a1， d 是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解决其它问题，但本题关键在于求出了a1m n1d 1，这种设而不2解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设 Sx=Ax2Bx (xN)【例 14】在项数为2n 的等差数列中， 各奇数项之和为 75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为27，则

16、n 之值是多少？解 S 偶项 S 奇项 =ndnd=90 75=15又由 a2n a1 27，即 (2n 1)d=27nd 15 n = 5(2n 1)d 27【例 15】在等差数列 a 中，已知 a25，SS，问数列前多少项n1917和最大，并求出最大值解法一建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值根据题意： S17d，S99a198d= 17a117 1622a =25，S17 S解得d219Sn 25nn(n 1)( 2) = n2 26n = (n 13)2 1692当 n=13 时， Sn最大，最大值S13 169解法二因为 a1=25 0， d 2 0，所以数列 an 是递减等差数列，若使前an 0n 项和最大，只需解，可解出 nan+1 0a1 25， S9 S179 2598d = 17 251716d，解得 d = 222an=25 (n 1)( 2)= 2n 27 2n 27 0n 13.5 n = 13n 12.5 2(n 1) 27 0即前 13 项和最大，由等差数