电磁场与电磁波习题答案4杨儒贵

1、第四 章4-1 已 知一 根长 直导 线的 长度 为 1km ，半 径为 0.5mm ，当两端外加电压 6V 时，线中产生的电流为1A，试求：6 导线的电导率； 导线中的电场强度； 导线中的损耗功率。解 （1）由VIR，求得R6361/ 6由R，求得导线的电导率为SRS10310323.54 107S m360.5（2）导线中的电场强度为EV66 103V m103（3） 单位体积中的损耗功率PlE2，那 么 ，导 线的损耗功率为PE2r2L1 W4-2 设 同轴 线内 导体 半径 为 a，外 导体 的内 半径 为 b，填充媒质的电导率为 。根据恒定电流场方程，计算单位长度内同轴线的漏电导。解

2、设 ra 时,V ; rb 时，0 。建 立 圆柱坐 标系 ，则 电位应满足的拉普拉斯方程为21 drd0r d rd r求得同轴线中的电位及电场强度E分别为V lnrlnaE1Verbbrlnab1则JE1Verrlnab单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流为I2VJ d saslnb那么，单位长度内同轴线的漏电导为1I2GVS mRalnb4-3 设 双导 线的 半径 a， 轴线 间距 为 D ，导 线之 间的 媒质电导率为 ，根据电流场方程，计算单位长度内双导线之间的漏电导。解 设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ 和 ，利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任一点的

3、电场强度大小为E112rDr那么，两导线之间的电位差为VE d rlnDad aaa单位长度内两导线之间的电流大小为IJ d sDsE d ssDa则单位长度内两导线之间的漏电导为1IDGVS mRDDaa lna若Da则 单位 长度 内双 导线 之间 的漏 电 导为2GS mlnDa4-4 已知圆柱电容器的长度为 L，内外电极半径分别为 a 及 b ，填充 的介 质分 为两 层，界 面 半径 为 c 。在 a r c 区 域中 ， 填充 媒质 的 参 数为1 1；在c r b区域 中 ， 媒质 参数 为2 2。若接 上 电动 势为e的电 源， 试求 ： 各区域中的电流密度； 内外导体表面上以

4、及介质表面上的驻立电荷密度。解 (1) 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为21 drd0r d rd r忽略边缘效应，设媒质和媒质内的电位分别为1和2，那么dd10C1ln rC2rd r1d rdd20C3ln rC4rd r2d r根据边界条件，得知1ae C1ln a C2；2b0 C3ln b C4C1ln c C2C3ln c C4d1d21d rr c2d rr c联立上式，求得C1e；C2eln aelnc1lnblnc1lnba2ca2c3C3e；C4eln belncln b2lnb2lncc1ac1a代入上式，得12ln reeln aelnc1lnblnc1ln

5、ba2ca2cln reln belnblnb2lnc2lncc1ac1aJ1J21E112ecerb2ln1lnrLacr = a 表 面上 面 电荷 密度 为sa1E1 n12ecb2ln1lnaLacr = b 表 面上 面电 荷密 度为sb2E2n21elnc1lnbbL2ac= c 表 面上 面电 荷密 度为sc121E1n1221e2cb2ln1lncLac4-5已知环形导体块尺寸如习题图 4-5 所示。试求 ra 与rb两个 表 面之 间的 电阻 。Yd( r,r)0aXb习题图 4-54解建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为21 drd0r d rd r该方程的解为rC

6、1ln rC2令aV0,b0,求得常数V0C1b。 那 么， 电场 强度 为adV0Erd rberr lna电流密度为J EV0erbr lna电流强度为2dV0d V0IJ dSadd zb00ba ln2 lnaaV02lnb由此求得两个表面之间的电阻为aRdI4-6 若 两个 同心 的 球形 金属 壳的 半径 为r1及r2( r1r2)， 球壳之间填充媒质的电导率01k， 试求 两球 壳之 间r的电阻。解 对于恒定电流场，因J0，可令。将 其代入J0，得50建立球坐标系，上式展开为1dr201kd0r2d rrd r该方程的解为C1lnrC2kr那么，求得电流密度为JC1kk0C1ke

7、rr rr2两球壳之间的电流为IJ d s 40C1ks两球壳之间的恒定电场为EJC1kerr rk两球壳之间的电位差为d rC1lnr2r1UE d lr2C1kkr1rrkr1r2k求得两球壳之间的电阻为RU1r2r1kI40klnr2kr14-7 已 知截 断的 球形 圆 锥尺 寸范 围为 r1rr2，00，电导率 为，试 求 rr1及 rr2两个 球形 端面 之间 的电 阻 。解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由上例获知20那么dr2d0C1C2；d rdrr求得电流密度C1C1Jr2er；电场 强度Er2er那么，电流6IJ d s20C1r12sindd2 1cos0

8、C1s00r12电位差UE dlr2C1d rC111r1r2r1r2因此电阻RU111I21 cos0r1r24-8 若上题中电导率0r1，再求 两球 面之 间 的电 阻 。r解 由于媒质是非均匀的，那么由0dr20r1d0 ，d rrdr求得C1ln rC2电流密度Jer0C1rerC1r2r电场强度EJC1err电流200C1r12IJdsr1sind d21 cos00C1r1002sr1电位差UE d l C1lnr2r1因此电阻RU1lnr2I21cos0r10r14-9若 两 个 半 径 为 a1及 a2的 理 想 导 体 球埋 入 无 限 大 的导电媒 质中 ，媒 质的 电参

9、数为及，两个 球心 间距 为d，且 da1， da2，试求两 导体球 之间 的电 阻 。解设两球携带的电荷分别为Q 和-Q，考虑到两球相距7很 远， da1, da2， 两球 表 面 电 荷 分布 可 视 为 均 匀 。因此，两球的电位分别为1QQ，1QQ1a1d a12a2d a244则两球之间的电位差为UQ111112a1a2da1da24那么，两球之间的电容Q112C4a2dUa1根据静电比拟，两球之间的电阻应为R1112C4a1a2d4-10知半 径为25mm的半 球 形导 体球 埋入 地中 ，如 习题 图 4-10 所 示 。 若土 壤的 电导 率106(S/m)，试 求导 体球的接

10、地电阻（即导体球与无限远处之间的电阻）。02a习 题图 4-10=10-6S/m解 已知 半径 为 a 的孤 立 导 体球 与 无限 远处 之间 的 电 容为C 4 a， 那么 根据 静 电比 拟， 埋地 导体 球的 电阻 R为RCR1C4a对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻加倍，即R16.36 1062a4-11恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任8意一点的电荷密度可以表示为E解已知恒定电流场是无散的，即J0，那么EEE0又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即DEEE由上两式求得E4-12若 一张 矩 形 导电 纸 的 电 导率 为， 面积 为ab， 四

11、周电位如习题图 4-12 所示。试求：导电纸中电位分布；导电纸中电流密度。Y?0nn= V0= 0b习题图 4-12a0Xn解(1)建立直角坐标，根据给定的边界条件，得yy 00,00 xayy b0, y0,a, yV00 yb导电纸区域中电位的通解为x, yA0 x B0C0y D0Ansh knxBnch knx Cnsin knyDncos knyn 19由边界条件0及0得yy 0yy bA0 xB0C0Ansh knxBnch knx Cnkn0n 1A0 xB0C0knAnsh knxBnch knx Cncos knbDnsin knb0n 1由此求得常数：Cn0，其 中n0,1

12、,2,knn，其 中n1,2,b代入上式，得x, yAxB0A shnxBch nxcosny0n 1bnbb由边界条件0,y0, a, yV0， 得A aBA shnaBchnacosnyV00nnbb01B0Bncosn0yn 1b由此求得常数：Bn0,其中 n 0,1,2,3,A0V0,An0,其中 n1,2,3,a那么，导电纸中的电位分布为x, yx(2) 由EV0ex，求 得导 电纸中电 流密 度为aJx ,yEV0exa4-13 已知电导率为的无限大Y的导电媒质中均匀电流密度ZaX10JexJ0。 若沿 Z 轴方 向挖 出半径 为 a 的无 限长 圆 柱孔 ，如 习题图 4-13 所示。试求导电媒质中的电位分布。（提示 ：当 r时， 电位J0rcos）解由于所讨论的空间是无源的，故电位应满足拉普拉斯方程20。取圆柱坐标系，则其通解可表示为r , zC0ln rD0rnAnsin nBncosnrnAnsin nBncosnn 1(1) 在 r区域中，圆柱孔的影响可以忽略，则 J0E0，又E0ex，得xJ0 xJ0 xJ0r cos可 见，当 r时 ，电位函数为cos的函数，因此r , , z表 达式 中 系数 C0, D0, An, An均 应为 零， 且n 1。 那么r , , zrB1cos1B1cosrB11B1cos