一元二次方程应用题题型汇总含答案

1、Z 一元二次方程应用题经典题型汇总、增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为 200万元，十月份的销售额下降了 20%，商厦从一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达 到了 193.6万元，求这两个月的平均增长率解 设这两个月的平均增长率是X.，则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2 =193.6，即(1+x)2= 1.21，解这个方程, 得 X1 = 0.1 ， X2 = 一 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明 这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2 = n求解，其中

2、m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 X)2 = n即可求解，其中 m >n.二、商品定价例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少?解 根据题意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得 a2 56a+775 = 0，解这个方程，得a1 = 25，a2 = 31.因为21 X (1+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以 350 10a= 350 1

3、0 X 25 = 100 (件).答 需要进货100件，每件商品应定价25元.说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点三、储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出， 并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解 设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得1000(1+ X) 500(1+0.9 X)= 530.整理，得90x2+145 x-3 =0.解这个方程，

4、得X仔0.0204 = 2.04%，X2 1.63.由于存款利率不能为负数,所以将X21.63舍去.答 第一次存款的年利率约是2.04%.说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗?解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得(X+0.1+ x+1.4+0.1)

5、X=1.8，整理，得 x2+0.8x 1.8 = 0.解这个方程，得 Xi = 一 1.8 （舍去），X2 = 1.所以 X+1.4+0.1 = 1+1.4+0.1= 2.5.答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明 求解本题幵始时好象无从下笔， 但只要能仔细地阅读和口味， 就能从中 找到等量关系，列出方程求解五、古诗问题例5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）大江东去浪淘尽，千古风流数人物;而立之年督东吴，早逝英年两位数;十位恰小个位三，个位平方与寿符;哪位学子算得快，多少年华属周瑜?解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X，则十位数字为X 3.则根据题意，得X2 = 10（x 3）

6、+x，即卩x2-11x+30 = 0，解这个方程，得X = 5当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去;当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答 周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n - 1)个选手比赛一局,共计n(n -1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次

7、，因此实际比赛总局数应为2n(n - 1)局.由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n - 1)分.显然(n - 1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由 n(n 1) = 1980，得 n2-n 1980 = 0，解得 m = 45，n2 = 44(舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,都可以仿照些方法求解.七、情景对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风

8、景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为1000 X 25 = 25000< 27000 ,所以员工人数一定超过25人.则根据题意，得1000 20(x 25) x = 27000.整理，得 X2 75X+1350 = 0,解这个方程，得 Xi = 45 , X2= 30.当 X = 45 时，1000 20(x 25) = 600 < 700，故舍去 Xi ；当 X2 = 30 时，1000 20( X 25) = 900 > 700，符合题意.答：该单位这次共有30

9、名员工去天水湾风景区旅游.说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨 论，从中找出符合题意的结论八、等积变形例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的 面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同以上两种方案是否都能符合条件 ？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由解 都能.（1 ） 设小路宽为 X，贝y 18X+16 X X2X18 X15 ,X2 34X+180 = 0,34 +

10、 7«6解这个方程，得X =2 ，即X6.6.(2) 设扇形 半径为则 3.14 r2X18 X15 ,r2 57.32，所以 r 76说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等九、动态几何问题例9 如图4所示，在 ABC 中，/ C= 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC= 8cm , 点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点 Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.(1 )如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8平方厘米?(2 )点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻

11、,使得 PCQ的面积等于 ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在,说明理由因 为/ C90?/S PANAB10 (cm ).(1)设 xs 后，可使 PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = xcm , PC= (6 x)cm ,CQ= 2xcm.则根据题意，得 (6 x) 2x= 8.整理，得x2 6X+8 = 0,解这个方程，得xi = 2, X2= 4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 PCQ的面积为8cm 2.(6 x) 2x =(2)设点P出发x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的一半.则根据题意，得6 X 8.整理，得 x2 6X+12 = 0.由于此方程

12、没有实数根，所以不存在使 PCQ的面积等于ABC面积一半的时说明 本题虽然是一道动态型应用题， 但它又要运用到行程的知识， 求解时必 须依据路程=速度X时间.十、梯子问题例10(2)一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米?若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米?如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米?解依题意，梯子的顶端距墙角(m).(1 )若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.则根据勾股定理，列方程72+(6+ X)2 = 102，整理，得x2+12 x 15 =

13、 0,解这个方程，得 X11.14，X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动 xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+1) 2= 100.整理，得X2 16X+13 = 0.解这个方程，得 X10.86，X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动 xm时，底端向外也滑动xm.则根据勾股定理，列方程(8 x)2+(6+ x)2= 102，整理，得2X2 4x= 0，解这个方程，得 X1 = 0 (舍去)，X2 = 2.所以梯子顶端向下滑

14、动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.卜一、航海问题例11 如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标 B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛 F位于BC上且恰好处于小岛 D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰(1 )小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.

15、1海里)AB丄BC，D为AC的中点,解(1) F位于D的正南方向，则 DF丄BC.因为所以DF=2 AB = 100海里，所以，小岛 D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了 x海里，那么DE= x海里，AB+BE= 2x海里,EF= AB+BC- (AB+BE) CF= (300 2x)海里.在Rt DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 100 2+(300 2x)2，整理，得3x21200 x+100000 = 0.X2 =200+（不合题意，舍去）118.4，解这个方程，得 Xi = 200 -所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明 求解本题时，一定要认真地分

16、析题意，及时发现题目中的等量关系，并 能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X 12个小正方形格,将边长为n （n为整数，且2<n< 11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑 白相间地摆放，第一张n X n的纸片正好盖住正方形 ABCD左上角的n x n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n 1) X (n 1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题:(1) 由于正方形纸片边长 n的取值不同，？完成摆放时所

17、使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表:纸片的边长n23456使用的纸片张数(2) 设正方形ABCD被纸片盖住的面积(重合部分只计一次)为S1，未被盖住的面积为S2.当n = 2时，求Si : S2的值;是否存在使得Si = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由解(1 )依题意可依次填表为:11 、 10、9、8、7.(2) S1 = n2+(12 n)n2- (n 1)2 = n2+25 n 12.当 n = 2 时，S1 = 22+25 X 2 12 = 34，S2 = 12 X 12 34 = 110.所以 S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.若 Si

18、 = S2，则有一 n2+25 n -12 = 2 x 122，即 n2 25 n +84 = 0，解这个方程，得ni = 4，n2 = 21 （舍去）.所以当n = 4时，Si = S2.所以这样的n值是存在的.说明 求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条 件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看 得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成 一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两

19、个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度;若不能，请说明理由.解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20 x） cm.丿a、17 ,解得 xi = 16 , X2 = 4 ,当 x = 16 时，20 x = 4，当 x = 4时，20 x= 16 ,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm，则另一段为(20 y)cm.12，整理，得y2 20y+104 = 0，移项并配方，得(y 10)2 = 4< 0 ,所以此方说明 本题的第(2)小问也可以运用求根公式中的b2 4ac来判定.

20、若b2 4ac > 0，方程有两个实数根，若 b2 4ac< 0，方程没有实数根，本题中的b2 4ac = 16 < 0 即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图乙在等腰梯形 ABCD中，AB = DC = 5, AD = 4, BC= 10.点E?在下底边BC上，点F在腰AB 上.(1 )若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为X,试用含x的代数式表 示 BEF的面积;(2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在,求出此时BE的长；若不存在，请说明理由;(3) 是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分

21、？若存在，求此时 BE的长；若不存在，请说明理由解(1)由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.则可得，FG=X 4,Sa BEFBE - FGx (7 < x< 10).x = 14，解这个方程，得xi =乙X2 = 5 (不合题意，舍去)，所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时 BE= 7.(3 )不存在.假设存在，显然有 BEF : S多边形AFECD = 1 : 2，(BE+BF) ： (AF+AD + DC)1 : 2.正方形边长2468n （偶数）整理，得3x2 24X+70 = 0，此时的求根公式中的b2 4ac = 576 840 < 0,所以不存在这样的实数 X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定X的取值范围；二是在求得 X2=5时，并不属于7<x< 10,应及时地舍去;三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元