专升本高数公式大全

1、一些初等函数:两个重要极限:导数公式:高等数学公式(tgx) =seC x(ctgx)' = -CSC x(secx) '=secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (axr axl na(logaxr xl na(arcsin x)，= . 1 2JI-X21(arccos x)'= 一、f1x21(arctgx)'= _21 +x(arcctgx)，= -1 + x基本积分表:Jtgxdx = In cosJctgxdx =1 n si n X + CJsecxdx =1 n|secx+tgX +CJcscxdx= In |cscx-ctgX

2、 +C dxJ 2 丄2a +xdx22X -a dx22a -Xdx1x=arctg aa In 2a In 2a口+cX +a匕+C a -xX/ 2 2Va -x= arcsi n- +CaJ 巴 =fsec xdx =tgx +C' cos x 、dx2J =fcsc xdx = -ctgx + C'sin X fsecx tgxdx = secx + CJcscx ctgxdx =-cscx+CXfaxd- +C ln af shxdx = chx + CJchxdx = shx + C2=Jsinn xdx = Jcosn xdx0 0-1 hrn, 2,Jx2 +

3、a2dx = Jx2 a2 + "1 n(x + Vx2 + a2) +C 2 22La .InfJx2 -a2dx =xVx2 -a2， 2-一ln X + Vx2 -a2 +CjVa2-x2dx222 -x2 + "arcsin- + C2a三角函数的有理式积分:2usin X =7,dx严1+u21+usinxlim=1T xlim (1 + !) X = e = 2.718281828459045xx_x双曲正弦:shx = e e2eX . e -x双曲余弦：chx=皂旦2.x_x双曲正切：echx earshx =1 n(x + Jx2 +1)archx =&#

4、177;l n(x+7xjl)1 1 +xarthx =ln2 1 -x三角函数公式:-和差角公式:诱导公式：''函数 角 A'sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a360

5、° a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a-和差化积公式:ctgP ±ctgasin (a ± P) =si n cos P ±cosa sin P cos(a ± P) =cosa cos P 巧sin sin P tge±P)= tggg广tgu tgp丄,丄口、 ctgo CtgP 可ctg (a ± P)=na + pa psin a +sin P =2sincos2 2口a + P a - Psin a -sin P =2 cossin2 2na + pa

6、 - PCOS a + cos P = 2 coscos2 2P，a + P a - PcosG -COS P = 2 sinsin2 2倍角公式:sin 2a =2sina cosa2 2 2cos2a =2cos a 1 =1 2sin a =cos a2Sin otsin念=3sina -4sin3actg2a =ctg% -13cos =4cos a -3cosa2ctga2tga3tga -tg3atg2-1-tg2tg& =2-1-3tg2a-半角公式:.a /1 cosa sin 2 =a cos2P + cosatgJ/2 V1+ cos a1 -cosasi not1

7、 +cosa-正弦定理：sin A-反三角函数性质:sin a1 +cosaotctg3r 1-cosa1 +cosa=2Rsin B sinC余弦定理：c2=a2si notsi na1 - cosa2+ b -2abcosC兀arcs in x = 一arccosx2兀arctgx = 一 arcctgx2高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz )公式:(uv)(nZ C：u(nQv(k)k=0= u(n)v + n u(n4V + n(1r-(1)u()v(k- + uv(n)2!k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:f(b)-f(a) = f 徉)(b-a)柯西中值定理：f (b

8、) f (a)=丄0F(b)-F(a) F 徉)当F(x) =x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式:ds =寸1 +ySx,其中 y，=tga平均曲率：KM点的曲率:直线：K =0;半径为a的圆:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；is： MM弧长。kJaAay!AsdsJT2)3K 二fc定积分的近似计算:b矩形法：J f(x)ab梯形法：f(x)ab抛物线法：Jf (x)止(yo + yin+b -aa.肓(y0+yn)+2(y2+y4 心+4(y1+y3 心定积分应用相关公式：功：W =F s 水压力：F = P ”A引力：F-k'k为引力系数r- 1 b

9、函数的平均值：y =J f (x)dx b -a aIb均方根:Hf2dt空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：M1M2向量在轴上的投影：PrjuAB =J(X2 -X1)2 +(y2 -y1)2 +(Z2 -Z1)2 AB cos®,护是AB与u轴的夹角。Prju(ai +a2)= PJai 中Pr ja2a b =|a b cos =axbx +ayby + azbz,是一个数量， axbx +ayb y + azb两向量之间的夹角:a-X-X -y-y -z-Zcost* =一f)222 If 222Wx +ay +az 胡bx +by +bzaxbxaybyazbz=a l

10、b sin日.例：线速度：v=wXr.向量的混合积:abc =(axb) c =axbxCxaybyCyazbzCz=abCco尹严为锐角时,代表平行六面体的体积平面的方程：点法式：A(x X0)+B(y y。)+C(z Z0)= 0,其中 n = A, B,C, M0(X0, y0,Z0) 一般方程： Ax+By+Cz + D=0截距世方程：-+1+=1c1、2、3、平面外任意一点到该平面的距离:Axo + Byo + Czo + Dd =.Ja2 + b2 +c2空间直线的方程:X-X0m-=t,其中 s =m,n,PX = x0 + mtp;参数方程：y = y0 + ntZ = Z0

11、+ pt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2x2a2x3、双曲面:单叶双曲面:2 2+占+ ,22 Ib c2 + =z,( p,q 同号)2p 2q双叶双曲面:2 2 222 2 Ia b c2 2 2务-告+=1(马鞍面) a b c多元函数微分法及应用. cu,CU. , cu .du =dx + dy + dzexcycz全微分：dz=dx +仝 dy exdy全微分的近似计算：Az止dz = fx(x, y)Ax+ fy(x,y)Ay多元复合函数的求导法：dz cz, DZ cv牛dt 乱 d cv ct1reerczcz cu cz cv T 十 J- excu ex cv exZ

12、 = fu(t),v(t)Z = fu(x,y),v(x,y)u=u(x,y), v =v(x,y)时，du =dx +dy织cy隐函数的求导公式：dv= excv dx + dy隐函数F(x,y) =0,隐函数 F(x,y,z) =0,dy 一F dx Fy 乏 Fx= exFz呈=_匕点厂Fz隐函数方程组：' su,v) =0J =1lG(x,y,du1次f,g)dv1次f,g)dx -Jc(x,v)Jc(u,x)1£(F,G)dv一1£(F,G)-J次y,v)J次u,y)点(u,v)微分法在几何上的应用:7ugGducvgGcvFuGuFvGvX =(t)X

13、-XoZ-Z0空间曲线t y =屮(t)在点M (x0, y0, z0 )处的切线方程：jz "(t)在点 M 处的法平面方程：W(t0)(x-x0) + 屮(t0)(y -y0)'(t0)( z-z0) = 0若空间曲线方程为：y,z20则切向量T=G(x, y,z) =0曲面 F(x, y,z)=0上一点 M(X0,y0,Z0),贝U：过此点的法向量：n =Fx(X0, y0,Z0), Fy(x0, y。, z0), Fz(x0, y0,Z0) 过此点的切平面方程：Fx(X0,y0,Z0)(x-X0) + Fy(X0,y0,Z0)(y-y。)+ Fz(X0,y0,Z0)(

14、z-Z0)= 0FyFzFGy G zzFxGz G XFxFyGxGy1、2、3、X -XoZ-Zo过此点的法线方程： 一一=匚也一=Fx(xo,yo,zo) Fy(xo, yo,zo) Fz(xo, yo,Zo)方向导数与梯度:f cos® + 竺 sin® excy函数z=f(x, y)在一点p(X, y)沿任一方向I的方向导数为：色=cl其中为X轴到方向I的转角。Ef 石 f 函数z=f(x,y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y)= i +j dxcyZf-它与方向导数的关系是：一 =grad f(X, y) e，其中e = cos®i +s

15、in® ”j，为I方向上的 d单位向量。/. f 是gradf (x,y)在l上的投影。 cl多元函数的极值及其求法：设fx(X0,y0)= fy(X0, y0)=0,令：fxx(X0, y0)= A, fxy(xq, y0)= B, fyy(X0,y0)=C|ac-b2：>0时W)为极大值 lA >0,(x0, y0)为极小值则：AC-B2<O时，无极值AC-B2 =0时,不确定重积分及其应用:JJf (X, y)dxdy = ff f (rco,rsin8)rdrd 0DD '曲面z = f（X, y）的面积+JJxP(x,y)dcr平面薄片的重心：X=

16、MJJP(X, y)db MJJP(X, y)dbDD平面薄片的转动惯量：对于X轴IX = JJy2 P(x, y)db,对于y轴I y = JJx2P(x, y)dbDD平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a), (a A0)的引力：F =Fx,Fy,Fz，其中:L £ rr P(X, y)ydbP(X, y)xdcrFy = f n，Fz =fan3(x +y +a )2(x + y +a )2_ MyyFJJyP(x,y)dcr DL £ rr P(X,y)xdbFx = WpD /2 ,2 ,2 2(x +y +a )2柱面坐标和球面坐标：x =r

17、cos0柱面坐标：y=rsin0,II z = z其中： F (r ,8,z) = f (r COS0, r sin日,z) x = r sin W cos日 球面坐标：y=rsinsin,I z = r cos®川 f(X, y,z)dxdydz =川 F(r 0,z)rdrd 日dz, QQdv = rdW rsin® 灯日 dr =r2sinWdrddQ2兀 兀r(申0川 f (x, y,z)dxdydz =川 F(r,日)r2sin drd 却日=Jd Jd® JF (r,®,日)r2 sindr1重心：x=丄川xPdv,M Q转动惯量：lx =

18、川（y20 0 01 1沪一川 yPdv,"-川zPdv,M CM Q+ z2) Pdv,I y =川(X2 + Z2) Pdv,QIz其中 M = X = fJJ PdvQ=川(X2 + y2)PdvQ曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：X =t'lyN(t)设f （x,y）在L上连续，L的参数方程为：J xt（t）,（aMt<P）,则:ly =屮（t）PJf(x,y)ds= Jf®(t),屮(t)JWt)+屮2(t)dt(a cP)特殊情况:LOt第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为jx=®(t)，则：PJP(x,y)d

19、x +Q(x,y)dy = J PW(t),W (t)p +Q护(t),屮屮'(t)dtLa两类曲线积分之间的关 系：Pdx+Qdy= J(Pco吳+QcosP)ds其中a和P分别为LLI积分起止点处切向量 的方向角。EPFP格林公式：JJ(-丁)dxdyPdx +Qdy格林公式：JJ(丁-T)dxdy=qPdx +QdyD Cx 点yLD CX CyL=2时，得至U D 的面积：A= JJdxdy = qxdy-ydx D2 L当P =y,Q=x,即：色一兰ex cy平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且

20、坐=兰。注意奇点，女口 (0,0)，应&cy减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积：'Q 时，Pdx + Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:(x,y)u(x,y) = JP(x, y)dx 中Q(x, y)dy,通常设 Xo *0=0°(xo,yo)曲面积分:对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:n f (x, y,z)ds= JJ fx, y, z(x, y)扣 z； (x,y) + z： (x, y) dxdy送Dxy仃P(x, y, z)dydz+Q(x, y,z)dzdx + R(x, y, z) dxdy,其中： ZJJR(x,

21、y, z)dxdy = ± JJ Rx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正ZDxyJJP(x,y,z)dydz = ±JjPx(y,z),y,zdyd乙 取曲面的前侧时取正ZDyzJJQ(x, y, z)dzdx = ± JJQx, y(z,x), zdzdx 取曲面的右侧时取正ZDzx号;号;号。两类曲面积分之间的关 系：仃Pdydz+Qdzdx +Rdxdy= ff(Pco弊 +QcosP + RcosY)ds ZZ高斯公式:CQ 石 IRf f + + )d = <pf Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =FJ (Pcosa +

22、QcosP +RcosY)ds Q &刃氐S±高斯公式的物理意义通量与散度：散度:div空+纶+迅,即：单位体积内所产生的流体质量，若 divJ<0,则为消失dxcyczffA nds = JJAnds = JJ(Pcosa +QcosP +RcosY)ds, ZZ Z高斯公式又可写成：jjjdivAdv = qjAndsQZ斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：EQ ,丄/田职、，如(-)dydz+(2 ®&& 芒x通量:因此,)dzdx+(二 ex°P)dxdy = F Pdx+ Qdy + Rdz rdydzdzdxdxdy

23、cosacosPcosY-rr点点dxdz-J JZexPQRPQR上式左端又可写成：口Z空间曲线积分与路径无关的条件:cR如= ,dycz5RczexgQex旋度：rotA =向量场A沿有向闭曲线r的环流量：qpdx +Qdy + Rdz= 4 A tds rrA _ n等比数列：1+q+q2十"+qn4= 1-q(n +1)n常数项级数:等差数列：+2+3卡+n =21 11调和级数+丄是发散的2 3n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)：rp <1时，级数收敛 设：P =lim*U7,贝HP >1时，级数发散不确定P=1时，不确定2、比值审敛

24、法：Pel时,贝Al时,级数收敛 级数发散 P=1时，不确定 3、定义法： sn =u1 +U2十"+ UnJimSfi存在，则收敛；否则发 散。n_jpc交错级数6 -U2 +u3 -U4十(或-6 + U2-u3 +，un >0)的审敛法莱布尼兹定理：Un >UnH1如果交错级数满足himu =0,那么级数收敛且其和s<U1,其余项rn的绝对值|rn|<u卄。绝对收敛与条件收敛：(1) Ui +U2中+Un十，其中Un为任意实数；(2) |uJ +U2I +|u3| 十"+|u如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果(2)发散

25、，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 调和级数：送1发散，而送U匸收敛；nn级数：S亠收敛；nP级数：丄仟1时发散P : nP p>1时收敛幕级数:21 +x+xX <1时，收敛于1 -X眾时，发散对于级数（3）a0 + a1x + a2X2十"+ anXn +，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全X<R时收敛X > R时发散，其中R称为收敛半径。X ：= R时不定数轴上都收敛，则必存在R,使求收敛半径的方法：设lim9 anR = +=c=p，其中an，an十是（3）的系数，贝y （ P = 0时，卩=邑时，R=0n，函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级

26、数:f(X)= f(X0)(XX0)+ f 2X0)(X-X0)2(n)(xo)n!(畀+(n卅)（n 1）E余项：Rn= （x-x0）n+f（x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR"（n +1）!yx0 =0时即为麦克劳林公式:f（x）= f（0）+（0）x+T2+njpC+ fn虫 xnn!一些函数展开成幕级数:(1+x)m 十mx + x? 2!35XXsinX =x + 3!5!+ m(m-1)(m-n+1)xn n!2n4x_ +(_1)2(2n-1)!+(-1 V X < 1)欧拉公式:"ix .ixe +e cosx =ix1e =cosx +is

27、inx或i 2 iiXjx. e -esi n X =I2三角级数:处a处f(t)=A0+S AnSin(n Bt+®n)=0 中艺(an cos nx+gsi n nx)n#2n±1其中，a。= aA。，an = An sin 咒，bn = An cos® n， t = x。正交性：1,sin X, cosx, sin 2x,cos2xsin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在-兀月上的积分=0。傅立叶级数：af(x) =- +£ (an cosnx+ bnsinnx), 周期 =27i21兀 -ji兀其中|bnan = f f (x)cosn

28、xdx (n = 0,1,2)=-ff (x)sinnxdx(n = 1,2,3-)1W3252+1宀2232424+2+丄+ 2242正弦级数:余弦级数:6224=（相加）62=（相减）122an =0, bn =Jf(x)sinnxdx兀0JIn = 1,2,3"f(x) =2 bnsin nx是奇函数2bn = 0, an = J f (x) cos nxdxn = 0,1,2"f(x)=+2 an cosnx是偶函数2周期为21的周期函数的傅立叶级数:ao处f(X)=丄 +5； (an cos +bn sin2 n4l1 ；£ /、 nTix an =- J f (x) cosdx其中1I1n双|bn = - f (x)sindxI1 A1空)，周期=2llnTix(n =0,1,2 )niix(n =1,2,3)微分方程的相关概念:或 P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0一阶微分方程：yf (x, y)可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化 为g(y)d