第十六章分式题型总结

1、精品第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1 .转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等.2 .建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型， 通过数学模型去解决实际问题， 经历“实际问题 分式方程模型 求解 解释解的合理性”的数学化过程

2、，体会分式方程的 模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3 .类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了 分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则， 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的 一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性， 分式方程解法及应用也可以类比一元一次 方程.第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质；2 .与分式运算有关的运算法则3 .分式的化简求值（通分与约分）4 .哥的运算法则-可编辑-【主要公式】b c b c1 .同分母加减法则：一 一 aaaabdbcda2 .丹分母力口减法贝U:acaca

3、cb d bd b3 .分式的乘法与除法：一？ ，一a c ac abc da aacc bed-?-d a c0,cbdac4.同底数哥的加减运算法则：实际是合并同类项5.同底数哥的乘法与除法；a m . a n a m+n a m a n a m n6 .积的乘方与哥的乘方：（ab）m= am bn , （am）n= amn17 .负指数帚：a-p= a0=1ap8 .乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a ±b)2= a 2 ±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1【例1】下列代数式中： -,-x

4、y,斗土上,一匕,上 ,是分式的有:2. a b X y X y题型二：考查分式有意义的条件【例2】当X有何值时，下列分式有意义2(3) -2-(4)x 16|x|11x -X(2)3 x(x 1)1(3)题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.（2）人(3)2x5x 62.当x为何值时,卜列分式的值为零:25 x26x 5题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式8"x为正;（2）当x为何值时，分式5 x 4之2为负；(x 1)2（3）当x为何值时，分式2一，2为非负数.3.解下列不等式(1)弋 0x 1x 5_20x 2x 3

5、（二）分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:AA MA MBB MBM2.分式的变号法则：aaa abbb b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数12x y(1) -311-x y34/c、 0.2a 0.03b(2)0.04a b不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数0.03x 0.2y(1)0.08x 0.5y30.4a -b(2)T,5-11ab410题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1) 7 x yaa(2)a bb题型三：化简求值题1【例3】已知：- x-5

6、,求 2x 3xy 2y 的值.yx 2xy y提示：整体代入，11x y 3xy ,转化出一 一.x y 1,21 ,一【例4】已知：x 2 ,求x2 丁的值.XX222.已知：x 13,求4 x 2一的值.3.已知：113,求2a 3ab 2b的值.xx4 x2 1abbaba【例5】若| x y 1 | (2x 3)2 0 ,求一1一的值.4x 2y2_22a b ,4.若 a2 2a b2 6b 10 0,求的值.3a 5b5.如果1 x试化简式x 1| x | x 1| x（三）分式的运算1 .确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各

7、分母所有字母的最高次哥.2 .确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;取分子、分母相同的字母因式的最低次哥.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.“、 c b a/c、 a b（1）F：，一二；（2）I"八 0 ；2ab 3a2c 5b2ca b 2b 2a(3)x2 ,2x x(3)(5)2a2(a 1)a 12(a 1)a 2bb c(a4ab(x 2)(x 3)题型二：约分【例2】约分:“、16x2y(1)3 ；20xy题型三：分式的混合运算【例3】计算:2a3c31)4ab )a b(x 1)(x(3)(4)(2)3)a 2,六bjb2ab一；

8、a2cb2 b2(x11)(x 2)(6)(3)(3)(5)(6)2.(a b)3cm 2n2金)2(2)3/3a .3 . 2() (xx y2 y x、2y )(-);y x2m2x1 x24x31 x48x71(x 1)(x 1)(x 1)(x 3)(x13)(x 5)2 x (-2 x4x 42 x (一2x丁)题型四：化简求值题【例4】先化简后求值82 411(1)已知：x 1,求分子1 -28(-一4 1)(- 工)的值;x 4 4x2 x已知：x之z，求2xHHz的值;(3)已知：a2 3a 1 0 ,试求(a2 2)(a1)的值. a2 a2.先化简后求值a2 4a2 2a 1

9、1a2 1,其中a满足22(2)已知 x:y 2:3,求(x)(x xyy）»直.题型五：求待定字母的值【例5】若1x电，试求m,n的值. X2 1 x 1 x 15x 4 AB3 .已知： 一5x B，试求A、B的值.(x 1)(2x 1) x 1 2x 14 .当a为何整数时，代数式399a 805的值是整数，并求出这个整数值（四）、整数指数哥与科学记数法题型一：运用整数指数哥计算计算：(1) (a 2) 3 (bc 1)33 21、22 3 2(2) (3x y z ) (5xy z )32 2(4) (x y) (x y) (x y)产b)：(ab)42(ab) (ab)2(

10、2ab )2 / 22(a b)题型二：化简求值题【例2】已知x x 32、2,2 、3 5,求(1) x(2) (3 m n ) (m n) x2的值；(2)求x4 x4的值.2 .已知 x2 5x 1 0 ,求(1 ) x x 1 , (2) x2 x 2 的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：(1 ) (3 10 3) (8.2 10 2)2; (2) (4 10 3)2 (2 10 2)3.11、，1、2 ,102007 , 20081 .计算：(1)(一一)| 一| (1 J3)( 0.25)43. 2. . 3. 2(3a b ) (ab )(4)24(x y) (x2 2

11、 y)122(x y) (x y)355第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法；2 .分式方程产生增根的原因3 .分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2 .解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母3 .解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程(3)4/ 、 5 x x 5钎1;F提示易出错的几个问题:分子不添括号;漏乘整数项；约去相同因式至使漏根;忘记验根.2x1 2x(3)2xx 2(4)x x7 x2 x2 1题型二：特殊方法解分

12、式方程【例2】解下列方程x 7 x 9 x 10x 6 x 8x 9提示：（1）换元法，设y ; (2)裂项法,x 711x 6 x 6【例3】解下列方程组111 y z 3111z x 4(3)(5)5x42x51- 11112x43x2x 1x 5x 2x 4题型三：求待定字母的值【例4】若关于x的分式方程岛1患有增根，求m的值.【例5】若分式方程2x ax 21的解是正数，求a的取值范围题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x的方程x ac ,-(cd 0)b xd2.解关于x的方程:(1)(2)b).题型五：增根问题k3如果解关于x的万程x2 会广生增根，求k的值.x 2 (x 1)(x 2)4 .当k为何值时，关于x的方程 k 1的解为非负数5.已知关于x的分式方程里a无解，试求a的值.x 1（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验, 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：、交叉相乘法13例1.解方程：X -、化归法例2.解方程:12x 1 x2 1三、左边通分法.、一 x 81例3:解方程：x-88x 77 x四、分子对等法例4.解方程：1 a 1 - （a b）a x b x五、观察