反证法证明题简单

1、精心整理反证法证明题例1.已知A， B， C为ABC内角.求证:A， B，C中至少有一个不小于 60。.证明：假设ABC的三个内角 A， B， C都小于60o,即 A 60。,B 60。，C 60。，所以A BC 180° ,精心整理与三角形内角和等于180。矛盾, 所以假设不成立，所求证结论成立.例2.已知a 0，证明x的方程ax b有且只有一个根.证明：由于a 0，因此方程ax b至少有一个根假设方程axb至少存在两个根,不妨设两根分别为x1, x2且x1 x2 ,贝 J axjb, ax2 b，所以 ax1 ax2,所以 a(X1 X2)0.因为X1 X2，所以X1 X2 0

2、, 所以a 0，与已知a 0矛盾,所以假设不成立，所求证结论成立例3.已知a3b32,求证a b2.证明：假设a b 2，则有a所以a3 (2b)3 即 a3 8 12b6b2 b3 ,精心整理所以a38 12b 6b2 b36(b 1)2 2.因为6(b21) 2 2精心整理所以a3 b3 2，与已知a3 b3 2矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例4.设an是公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.求证：Sn不是等比数列.证明：假设是Sn等比数列，则S； Si S3 ,即 a2(1 q)2ai ai(1 q q).因为等比数列a1 0，所以(1 q)2 1 qq2即q 0,与等比数列q

3、0矛盾,所以假设不成立,所求证结论成立.例5.证明返是无理数.证明：假设 迈是有理数，则存在互为质数的整数 m，n使得72 .n所以 m 72n 即 m2 2n2，所以m2为偶数，所以m为偶数.所以设m 2k(k N*)，从而有4k2 2n2即n2 2k2.所以n2也为偶数，所以n为偶数.与m, n互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证72是无理数成立.例6.已知直线a,b和平面，如果a ,b ，且a/b，求证a/。证明：因为a/b,所以经过直线a,b确定个平面精心整理因为a所以与是两个不同的平面.因为b 所以IF面用反证法证明直线a与平面 没有公共点.假设直线a与平面 有公共点P ,则P I

4、b , 即点P是直线a与b的公共点, 这与a/b矛盾.所以all .例7.已知0va,b,cv2,求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b不可能同时大于1证明：假设(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b都大于1,即(2 a)c>1 ,(2 b)a>1 ,(2 c)b>1 , 则(2 a)c(2 b)a(2 c)b>1-又因为设 0<a,b,cv2, (2 a)a (2 a)a 1,同理(2 b)b< 1(2 c)c<l所以(2 a)c(2 b)a(2 c)b<1此与矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.例8若x,y>0，且x

5、+y>2，则1_y和1x中至少有一个小于2x y证明：假设J >2 J >2xy因为 x,y>0,所以 1 y 2x,1 x 2y,可得x+y <2与 x+y>2矛盾.所以假设不成立，所求证结论成立.精心整理例9.设Ova,b,cv1,求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a,不可能同时大于丄 4证明：假设设(1 a)b>l,(1 b)c>- ,(1 c)a>1,44则三式相乘：ab<(1 a)b?(1又: Ova,b,cv1. 0 (1 a)a4b)c?(1 c)av 丄64(1 a) a 2124同理：(1 b)b以上三式相乘:11-4,(1 c)c 444(1 a)a?(1 b)b?(1 c)c1 与矛盾64所以原式成立A px q ,求证：|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于-.证明：假设 |f(1)|,|f (2)|,|f(3)| 都小于 1 ,则 |f(1)| 2|f(2)| |f(3)|2. (1)例10.设二次函数f(x) x2另一方面，由绝对值不等式的性质，有f