第02讲等腰三角形(教师版)A4

1、初中数学第02讲等腰三角形目知识图谱等腰三角形翻卧口识精讲等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边, 两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角.等腰三角形的性质：1 .等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等.»> i C«初中数学2 .等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.»> 3 C«证明：AABC是等腰三角形， AB =AC ,作底边 BC的高 AD ,由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高AD是MBC的对称轴可知，对称轴左右两边的三角形完全相等，即 M

2、BD三&ACD ,得/BAD =/CAD , BD =CD . 等腰三角形三线合一及其逆定理：一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分 线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角形.等腰三角形的判定：1 .如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等补充：1 .如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（需 要证明）补充：角平分线遇平行线产生等腰三角形，分a , b两种情况:a.如图甲：一直线与角的一边平行Z3 = - 2GD / OA= ,4 =/3= DO =DC ,即 ADOC 为等腰二角形di Z2b.如图乙：一直线与角的平

3、分线平行_ 团二.34-DE / OC = （/2 =/4 3= /3 =/4= OD =OE ,即 iODE 为等腰三角形 1=2等腰三角形遇角平分线产生平行线a.如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行.1=3CO =DC =/2 =/3= CD / OA.1 =/2b.如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行c 13 = . AOBOD =OE =3=42.AOB =.3.42= . 1 =. 3= OC / DE等腰三角形遇平行线产生角平分线 a.如图甲：与一腰平行OA/ DC= . 3 Z2=1=2CO =DC = . 3 Z1 b.如图乙：与底边平行OD =OE = . 3 =

4、 . 4_1 = 3 = . 1=2 DE / OC = L_2 =. 4 |角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或者作其 二，寻找发现其三.这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点, 使一类题目变难为易成为可能.等腰三角形因为有两条边相等，两个角相等，天然具备证明三角形全等的一些条件，再结合等 腰三角形三线合一及其逆定理，使得等腰三角形与全等三角形的综合问题经常作为各种考试中的重 难点题目来考察.另外轴对称的两个图形是全等的，同时我们也可以利用轴对称主动翻折来构造全 等三角形，这也是考试中的一个难点.三点剖析重难点1 .等腰三

5、角形的三线合一及其逆定理2 .角平分线、平行线、等腰三角形知二推一3 .等腰三角形与全等三角形综合问题考点1 .等腰三角形的性质和判定2 .等腰三角形的三线合一及其逆定理3 .角平分线、平行线、等腰三角形知二推一4 .等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1 .等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三 边”这个隐含的限制条件2 .等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用初中数学3 .角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可 直接得出结论题模精讲题模一：等边对等角 例1.1.1 如

6、图，在 ABA中，/ B=20° , AB=AB,在 AiB上取一点 C,延长 AA到使得 AiA=AiC;在A2c上取一点D,延长AA2到玲，使得A2A3=AD;，按此做法进行下去，/An的度数为(_=) .(一)A 儿均 A4 An【答案】-80。- 2n-1【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出/CA2A1 ,/ DA 3A2及/ EA 4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.在 4ABA 1 中，/ B=20° , AB=A 1B,.ZBAiA=180 - B = 180 - 20 =80AiA2=AiC, / BAiA 是AiA2c

7、的外角,/BAA 80 sCA 2Ai= =4022同理可得,/DA 3A2=20 °, / EA4A3=i0°,802n故答案为:802n题模二：等角对等边 例1.2.1 已知：如图， OA平分ZBAC , /i=/2 .求证： MBC是等腰三角形.初中数学【答案】 见解析【解析】作OE_LAB于E, OF_LAC于F.YAO 平分 ZBAC , ,-.Z3=Z4 , OE =OF .7Z1 =/2, j.OB =OC .二 RtAOBE RtAOCF , ,-.Z5 =/6 , ,-.Z1 +/5 =/2 +/6 ,即 /ABC =/ACB , j. AB =AC ,A

8、BC是等腰三角形.BP、CP分别是 /ABC和NACB的角平分线，且例 1.2.2 如图，在 MBC 中，BC=5cm,cm【解析】 BP、CP分别是 /ABC和ZACB的角平分线,j./ABP =/PBD ,ZACP =/PCE .»> 11 C«P PDII AB, PE/AC,二/ABP = /BPD, /ACP =/CPE ,ZPBD =/BPD , ZPCE =/CPE ,二 BD =PD , CE =PE , 始DE 的周长=PD +DE +PE =BD +DE +EC =BC =5cm .题模三：三线合一BC边上的中线，且 BD = BE ,则例 1.3

9、.1 如图， ABC 中，AB=AC, ZBAC =100°, AD 是/ADE的度数为（）C. 40D. 70°A.10°B,20°【答案】B【解析】该题考查的是三角形的性质. AB =AC ,BB =/C , ZBAC =100 2ZB =/C =40。.AD是BC边上的中线，AD _L BC ,ZADB =90）. BD =BE ,ZBDE =/BED =70 s,/ADE =20%故该题答案为B .D, / BAC的平分线 AF交CD于E,交BC于F,例 1.3.2 在 RtABC中，/ACB =90，CDLAB于CML AF于 M,求证：EM

10、=FM .C【答案】见解析【解析】 ZACB =90 ; CD ±AB ,ZADC =90°,ZAED +/DAE =90*, ZCFE +/CAE =90 °,又,一/ BAC的平分线 AF交CD于E,/DAE =/CAE ,ZAED =/CFE ,又 ZAED =/CEF ,又 ; CM ±AF ,EM =FM .题模四：角平分线，平行线，等腰三角形知二推一 例 1.4.1 如图，D 为 ABC 内一点， CD平分 ZACB , BD _LCD , NA =/ABD ,若 AC =5 ,BC =3 ,则BD的长为（）BD（第6题）5c 3A. 2B.

11、1C 2D-2【答案】B【解析】该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理.延长BD与AC交于点E,ZA =/ABD ,BE =AE，b BDXCD ,BEX CD , CD 平分 ZACB ,/BCD =/ECD ,ZEBC =/BEC ,ABEC为等腰三角形，BC =CE , BEX CD ,2BD =BE ,AC =5 , BC =3,CE =3 ,AE =AC -EC =53 =2 ,BE =2,BD=1 .所以答案选A例1.4.2 如图，在梯形 ABCD中，AB/ DC /ADC的平分线与/ BCD的平分线的交点E恰在 AB上.若 AD=7cm BC=8cm则 AB的长度是 cm.【答案】

12、15【解析】一/ADC的平分线与/ BCD的平分线的交点 E恰在AB上,1 = /2, / 3=7 4, AB / DC , / 2=/5, / 3=/6,1 = /5, / 4=/6,AE=AD , BE=BC ,AD=7cm , BC=8cm , . AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15(cm).故答案为：15.AM是 ABC外角/ CAE的平分线.例1.4.3 如图，在 ABC中，AB=AC AD是高,（1）用尺规作图方法，作/ ADC勺平分线DN;（2）设DN与AM交于点F,判断 ADF的形状.【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形.（保留作图痕迹，不写作法和证明） （只写结

13、果）【解析】(1)如图所示:E(2) AADF的形状是等腰直角三角形，理由是： AB=AC , AD ± BC,/ BAD= / CAD , AF 平分/ EAC ,/ EAF= / FAC , / FAD= / FAC+ / DAC= 1 / EAC+ 1 / BAC= 1 X180 =90 °222'即AADF是直角三角形， AB=AC ,/ B= / ACB , / EAC=2 / EAF= / B+ / ACB , ./ EAF= ZB,AF / BC, ./ AFD= / FDC, DF 平分/ ADC , ./ ADF= / FDC= Z AFD ,AD

14、=AF ,即直角三角形ADF是等腰直角三角形.题模五：等腰三角形与全等三角形综合 例1.5.1如图1,在 AABC中，/ACB = 2/B, /BAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一 动点，过点 H作直线l _LAO于H,分别交直线 AB AC BCT点N> E、M图1图2图3初中数学(1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN =CD ;(2)当M是BC中点时，写出 CE和CD之间的等量关系，并加以证明；(3)请直接写出BN CE CD之间的等量关系.【答案】(1)见解析(2) CD =2CE (3)当点M在线段BC上时，CD=BN+CE;当点M在BC的延长线上时， CD =

15、BN CE ；当点M在CB的延长线上时，CD =CE - BN【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质.(1)证明：连接ND. AO 平分 / BAC,Z1 =/2 ,.直线UAO于H,Z4 =/5 =90%Z6 =/7 ,AN =AC ,NH =CH ,二AH是线段NC的中垂线，DN =DC ,/8 =/9 .ZAND =ZACB , ZAND =/B +/3 , ZACB =2/B ,ZB =N3 ,BN =DN .BN =DC ;(2)如图，当 M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为 CD =2CE证明：过点C作CNAO交AB于N'.由(1)可得 BN

16、'=CD , AN '=AC , AN' = AC .，/4=/3, NN，=CE .过点C作CG / AB交直线l于G.N4 =/2 , ZB =Z1.Z2 =/3.CG =CE .M是BC中点，BM =CM在4BNM和CGM中，Fb = . 11. BM =CMINMB =. GMC , -、. lABNMACGM . (ASA)BN =CE .CD =BN ' = NN '+BN =2CE .(3) BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD =BN +CE ;当点M在BC的延长线上时， CD =BN -CE ；当点M在CB的延长线

17、上时， CD =CE BN .随堂练习ABC中，AB=AC BD平分/ ABC / A=36° ,则/ 1 的度数为（随练1.1如图，等腰三角形60°C.72°D.108【解析】 / A=36 ° , AB=AC ,/ ABC= / C=72 ° , BD 平分/ ABC ,/ ABD=36 °随练1.2 如图， ABC中，AD是/ BAC的平分线, AC =()DE/ AB交 AC于点 E,若 DE =7 , CE=5,则A.11B.12C.13【答案】B【解析】该题考查的是等腰三角形的判定. DE/AB, /BAD =/ADE ,

18、又: /BAD=/DAE . DAE =/ADEAE =DE =7AC =AE EC =7 5 =12，该题的答案是B.随练1.3 如图，在 ABC中，/ B与/C的平分线交于点 O,过点 O作DE/ BC,分另交 AR AC于 点D E.若 AB=5, AC=4则 ADE的周长是. ./ 1 = Z A+Z ABD=72°【答案】9【解析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中，注意证得 DOB与4EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想 的应用.O,过点。作DE/ BC,易证得 ADOB与EOC是等 ADE的周长等于

19、AB+AC ,即可求得答案.O,由在4ABC中，/ B与/ C的平分线交于点 腰三角形，即 DO=DB , EO=EC,继而可得 在4ABC中，/ B与/ C的平分线交于点/ DBO= / CBO , / ECO= / BCO , DE / BC ,/ DOB= / CBO , / EOC= / BCO ,/ DBO= / DOB , / ECO= / EOC ,OD=BD , OE=CE , AB=5 , AC=4 , ADE 的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9 故答案为：9.随练 1.4 如图，在 ABC中，ZB =54

20、76;, NACB =72。AD平分/BAC, ME _L AD 于 G,交 AR AC及BC的延长线于 E、M F,则NBFE=.AB DCF【答案】9【解析】该题考查的是等腰三角形三线合一.ZB =54 t /ACB =72。，AD 平分 ZBAC 180 -54 -22. BAD =. CAD54 =222又. AD LEF 即/AGM =90。 . CMF =. AMG =90 -22 =63X / ACFM 的外角 /ACB=22 . CFM =. ACB - CMF =22 -63 =9 随练1.5 如图，在 ADC中，AD, BE分别为边 BC, AC上的高，D, E为垂足，M为

21、AB的中点，N 为DE的中点，求证：(1) AMD既等腰三角形；(2) MNL DE.CA 3/ B【答案】见解析【解析】(1)如图，在AABD中，AD XBD ,则 "BD是直角三角形，AB是斜边.M是AB的中点，1 1-MD = AB ,向理 ME = AB 22ME =MD. MDE是等腰三角形；(2)由(1)知，AMDE是等腰三角形.N是ED的中点，MN平分DE, MN XDE .随练1.6 已知：如图，AF平分/ BAC BC±AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称，PB分别与 线段CF, AF相交于P, M(1)求证：AB=CD(2)若/ BAC=2/ MPC请

22、你判断/ F与/ MCM数量关系，并说明理由.【答案】(1)见解析(2) / F=/MCD;理由见解析【解析】(1)证明：AF 平分/ BAC ,/ CAD= / DAB= - / BAC ,2.D与A关于E对称，. E为AD中点， BCXAD ,BC为AD的中垂线，AC=CD .在RtAACE和RtAABE中，（注：证全等也可得到AC=CD ）/ CAD+ / ACE= / DAB+ / ABE=90 , / CAD= / DAB ,/ ACE= / ABE ,AC=AB （注：证全等也可得至ij AC=AB ）,AB=CD .（2）解：/ F=/MCD,理由如下： / BAC=2 / MP

23、C ,又. / BAC=2 / CAD ,/ MPC= / CAD , AC=CD ,/ CAD= / CDA ,/ MPC= / CDA , ./ MPF=/ CDM , AC=AB , AE ± BC ,CE=BE （注：证全等也可得至ij CE=BE）, AM为BC的中垂线，CM=BM .（注：证全等也可得到 CM=BM ）EM ± BC , EM平分/ CMB （等腰三角形三线合一）.丁./ CME= / BME （注：证全等也可得到/ CME= / BME .）,. / BME= / PMF , ./ PMF= / CME , 丁./ MCD= / F.（注：证三

24、角形相似也可得到/MCD= / F）随练1.7 如图，已知 BAD和 BCE均为等腰直角三角形，/ BAD4BCE=90，点 M为DE的中点, 过点E与AD平行的直线交射线 AM于点N.（1）当A, B, C三点在同一直线上时（如图 1）,求证：M为AN的中点；（2）将图1中的 BCE绕点B旋转，当 A, B, E三点在同一直线上时（如图 2）,求证： ACN为 等腰直角三角形；（3）将图1中4BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之， 若不成立，请说明理由.N图IE12图3【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】本题考查了全等三角形的判

25、定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题.（1）证明：如图1,A BC图1 EN / AD ,/ MAD= / MNE , / ADM= / NEM . 点M为DE的中点，DM=EM .在4ADM和4NEM中，4?MAD =. MNE NADM =nnem .DM =EM .ADM NEM .AM=MN .M为AN的中点.(2)证明：如图2,图2,BAD和4BCE均为等腰直角三角形，AB=AD , CB=CE , / CBE= / CEB=45 . AD / NE, ./ DAE+ ZNEA=180 . / DAE=9

26、0 ,/ NEA=90 .，/NEC=135 . A, B, E三点在同一直线上， ，/ABC=180 -Z CBE=135 ./ ABC= / NEC . ADM NEM (已证),AD=NE . AD=AB , AB=NE .在ABC和NEC中，AB = NE:_ABC =. NECBC =ECABC ANEC.AC=NC , / ACB= / NCE./ ACN= / BCE=90 .ACN为等腰直角三角形.(3) AACN仍为等腰直角三角形.证明：如图3,延长AB交NE于点F,DC图3 AD / NE, M 为中点， 易得 AADM NEM ,AD=NE .AD=AB , AB=NE

27、. AD / NE, AFXNE, 在四边形 BCEF 中，ACN=/BFE=90 ./ FBC+/FEC=360 -180 =180° . / FBC+Z ABC=180/ ABC= / FEC在ABC和NEC中，AB =NE'ZABC =/NECBC 二 ECABC ANEC.AC=NC , / ACB= / NCE./ ACN= / BCE=90 . .ACN为等腰直角三角形.等边三角形EHk 口识精讲一.等边三角形的概念等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是一种特殊的等腰三角形.二.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于6

28、0°.三.等边三角形的判定判定1:三个角都相等的三角形是等边三角形.判定2:有一个角是6041的等腰三角形是等边三角形.四.直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30口，那么它所对的直角边等于斜边的一半.证明：/ACB=90 /A=30- 延长BC至B'使CB'=CB ,则有 AC垂直平分 BB',所以1AB=AB',因为/B =60 °,所以ABB'是等边三角形，所以 AB=BB' = 2BC,即BC=1AB.2五.等边三角形与全等三角形综合等边三角形与全等三角形综合问题主要分两种类型：一是以等边三角形为载体来考

29、察全等三角形的综合问题；二是利用全等三角形的性质和判定证明三角形是等边三角形.不管是哪种类型都要注意 60。角和边的等量关系的应用，尤其是后面学习旋转之后，会出现 一些比较难的等边三角形和全等三角形结合的问题.点剖析.考点：1 .等边三角形的性质与判定；2 .直角三角形性质定理；3 .等边三角形与全等三角形综合.2 .重难点：1 .等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.做题时常作为隐藏条件考 察.2 .等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60口的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60。.3 .等边三

30、角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30。角的直角三角形中边的关系.4 .在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角.3 .易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐 角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30所对的直角边等于斜边的一半.»> 23 «<初中数学题模精讲题模一：等边三角形的性质例2.1.1 三个等边三角形的位置如图所示，若/ 3=50° ,则/ 1 + /2=【答案】130【解析】图中是三个等边三角形，/3=5

31、0°,，/ABC=180 -60 -50 =70°, / ACB=180 -60 -/2=120 -/ 2,Z BAC=180 -60 -/ 1=120 -/ 1, / ABC+ ZACB+ / BAC=180 ,70 + (120 -/ 2) + (120 -/ 1) =180°, .1 + /2=130° .故答案为：130.例2.1.2 如图，等边 ABC的周长是9, D是AC边上的中点，E在BC的延长线上.若 DE=DB则 CE的长为2【解析】该题考查的是祥BC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为/ABC的平分线,ZABC =60°

32、, ZDBE =30口，又 DE =DB ,. . . E = . DBE =30 ,ZCDE =/ACB -ZE =30*,即 ZCDE =/E ,CD =CE ; 等边4ABC的周长为9,AC =3 ,13CD =CE =AC = , 22即 CE =3 .2BD,将 BCD绕点B逆时针旋转 60例2.1.3 在等边/ ABC中，D是边AC上一点，连接BAE,连接ED,若BC=5, BD=4.则下列结论错误的是（）A. AE/ BCC. BD比等边三角形【答案】BB. /ADE4 BDCD.4ADE的周长是 9【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋

33、转前、 后的图形全等是解答此题的关键.首先由旋转的性质可知/ AED=/ABC=60 ,所以看得 AE / BC ,先由4ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5 ,根据图形旋转的性质得出 AE=CD , BD=BE ,故可得出 AE+AD=AD+CD=AC=5 , 由/ EBD=60 , BE=BD 即可判断出 4BDE 是等边三角形，故 DE=BD=4 ,故 4AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9 ,问题得解.ABC是等边三角形，/ ABC= / C=60 , 将4BCD绕点B逆时针旋转 60°,得到4BAE , ./EAB= / C=/ABC=60 ,AE / B

34、C ,故选项A正确；.ABC是等边三角形，AC=AB=BC=5 , BAE BCD逆时针旋旋转 60°得出，AE=CD , BD=BE , / EBD=60 ,AE+AD=AD+CD=AC=5 , / EBD=60 , BE=BD , .BDE是等边三角形，故选项 C正确；DE=BD=4 ,AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9 ,故选项 D 正确; 而选项B没有条件证明/ ADE= / BDC ,，结论错误的是B,故选：B.题模二：等边的判定例2.2.1 如图所示，AD是4ABC的中线，/ADC =60° , BC=8,把4ADC沿直线 AD折叠后, 点C落在C

35、'位置，则BC的长为.【解析】本题考察的是等边三角形.»> 25 «<由题意，/ADC'=/ADC =60", DC' = DC=DB. /BDC'=180 60*-60* = 601 有1 1一个角为60的等腰三角形为等边三角形，BC ' = BD =- BC =一 8=4.2 2故本题的答案是4.例2.2.2 已知：如图，点 C为线段AB上一点， MCM , ACBN都是等边三角形，AN交MC于点E , BM交CN于点F .(2)求证：ZiCEF为等边三角形. N(1)求证：AN =BM ;A CB【答案】见

36、解析【解析】(1) ；iACM , iCBN是等边三角形，AC =MC , BC =NC , /ACM =/NCB =60°, ./ACM +/MCN =/NCB +/MCN ,即 /ACN =/MCB .在 MCN 和 AMCB 中，7 AC =MC , /ACN =/MCB , NC =BC , .,.AACN 三加CB , J. AN =BM .(2) 7 MCN 与iMCB ,NCAN =/CMB ,又二'/MCF =180°/ACM -ZNCB =60s,二/MCF =/ACE , 初中数学在 MAE 和 ACMF 中，*：/CAE=/CMF , CA =

37、CM , /ACE =/MCF , .CAE =ACMF，二 CE =CF , ?.ACEF 为等腰三角形，又7ZECF =60°, j.ACEF为等边三角形.例2.2.3 如图，六边形 ABCDEF勺六个内角者B相等，若 AB=1, BC=CD=3 DE=2则这个六边形的周 长等于.如图，分别作直线 AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P. 六边形ABCDEF的六个角都是 120°, 六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°. .AHF、BGC、ADPE> AGHP 都是等边三角形.GC=BC=3 , DP=DE=2 . . GH

38、=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8 , FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4 , EF=PH-HF-EP=8-4-2=2 .，六边形的周长为 1+3+3+2+4+2=15 .故答案为：15.题模三：30°的角直角三角形等于斜边的一边 例2.3.1 如图，已知 MBC中，AB = AC , NC =30°, AB_LAD ,则下列关系式正确的为（A. BD =CDB.BD =2CD【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形.NC =/CAD =30 °,RAC为等腰三角形， CD =AD ,在 Rt型AD 中，/B=30©,BD =2AD

39、 =2CD故选B.C.BD =3CDD.BD =4CD例 2.3.2 如图，/AOB =30：。叶分 ZAOB ,PD _LOB 于 D, PC/OB 交 OA 于 C.若 PC =10 ,【答案】【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含 OP 平分 /AOB ,ZAOP =/BOP , PC/ OB ,ZCPO =/BOP ,. ZCPO =/AOP ,PC =OC , PC =10 ,OC =PC =10 ,过P作PE _LOA于点E,30。直角三角形的性质. PD _LOB , OP 平分 ZAOB , PD=PE ,. PC/OB, /AOB=30*. ECP =/AOB =30在

40、Rt任CP 中，PE =1 PC =5 2PE =PD =5例 2.3.3 如图，在 ABC中，AB=AC D E 是 ABC内两点，AD 平分/ BAC / EBCh E=60° ,若 BE=6cm DE=2cm 贝U BC=;延长ED交BC于M ,延长 AD交BC于N,作 DF / BC, AB=AC , AD 平分/ BAC , AN ±BC, BN=CN , / EBC= / E=60° , . .BEM为等边三角形， .EFD为等边三角形， BE=6cm , DE=2cm ,DM=4cm ,.BEM为等边三角形，/EMB=6 0 , . AN ±

41、;BC, / DNM=90 , / NDM=30 , NM=2cm , BN=4cm , BC=2BN=8cm .故答案为：8cm.题模四：等边三角形与全等三角形综合 例2.4.1已知：如图，等边三角形 ABDW等边三角形 ACEM有公共顶点 A,连接CD BE交于点P.(1)观察度量，/BPC的度数为 .(直接写出结果)(2)若绕点A将4AC或转，使得NBAC=180工 请你画出变化后的图形.(示意图)(3)在(2)的条件下，求出 /BPC的度数.【答案】(1) 120° (2)见解析(3) 120°【解析】本题考查等边三角形及全等三角形的性质与判定.(1) /BPC的度

42、数为120°,理由为：证明：ABD与9CE都是等边三角形，/DAB =/ABD=NCAE=60> AD=AB, AC=AE, /DAB +/BAC =NCAE +/BAC ,即 NDAC =NBAE ,在ADAC与ABAE中，AD =AB'ZDAC ZBAEAC = AEDACA BAE (SAS),ZADC =/ABE ,ZADC +/CDB =60、ZABE +/CDB=60-ZBPC =/DBP +NPDB=/ABE +NCDB +NABC =120°(2)作出相应的图形，如图所示；(3) ABD与 3CE都是等边三角形，ZADB =/DAB =/ABD

43、 =/CAE =60*, AD = AB , AC = AE , /DAB +ZDAE =NCAE +/DAE ,即 ZDAC =/BAE ,在ADAC与ABAE中，AD =ABDAC = BAEAC =AEDACA BAE (SAS),ZADC =/ABE ,ZABE +/DBP =60°, ZADC +/DBP=60。.BPC =/BDP . PBD=/ADC . DBP . ADB=120例2.4.2如图， MBC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且 /BDC =120叫 以D为顶点作一个60©角，使其两边分别交 AB于点M ,交AC于点N ,连接MN ,

44、则AAMN的周长为D【答案】6【解析】延长NC到E ,连接DE ,使CE =BM ,连接DE . ；' AABC为等边三角形，ABCD为等腰三 角形， 且 /BDC=120。，/./MBD=NMBC+/DBC=60n + 30:>=90<i ,ZDCE =180°-ZACD =180S-ZABD =90 s , 又;B M = C E BD =CD , .CDEABDM , .-.ZCDE =ZBDM,DE=DM,ZNDE =ZNDC +/CDE =/NDC +/BDM =/BDC -ZMDN =120 s-60°=60° , ; 在 ADMN

45、 和 iDEN 中， DM D ,/MDN =/EDN =60° , DN = DN ,.-.A DMNiDEN ,MN =NE =CE +CN =BM +CN .二 Lmn =AM +MN =AN =AM +BM +CN +AN = AB +AC =6例2.4.3如图 ABC为等边三角形，直线 all AB, D为直线BC上任一动点，将一 60°角的顶点置 于点D处，它的一边始终经过点A,另一边与直线a交于点E.（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证： AD弱等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图 2）,其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立， 请给予

46、证明；若不成立，请说明理由.图1图2【答案】见解析【解析】（1）证明：a/AB,且 "BC为等边三角形,ZACE =/BAC =NABD =60*, AB =AC , BD =CD , AD ±BC ZADE =60*,ZEDC =30 °,/DOC =180L/EDC _/ACB =90°,. DEC =/DOC -/ACE =30 ,/EDC =/DEC ,EC =CD =DB ,ABD ACE .AD =AE ,且 /ADE =60°,.ADE是等边三角形；(2)在AC上取点F,使CF =CD ,连结DF,ZACB =60©,.

47、 DCF 是等边三角形，ZADF +/FDE =/EDC +/FDE =60°,ZADF =ZEDC ,ZDAF +/ADE =/DEC +/ACE ,/DAF =/DEC ,ADF EDC (AAS) ,. AD=ED, 又 /ADE =60。. ADE是等边三角形.圜随堂练习随练 2.1 如图，在五边形 ABCD即,AB=AC=AD=AE且 AB/ ED / EAB=120 ,贝U/ DCB=()DABA.150°B,160°C.130°D,60°【答案】A 【解析】AB /ED,/ E=180° - / EAB=180 - 12

48、0 =60°, AD=AE , .ADE是等边三角形，/ EAD=60 ,/ BAD= / EAB - / DAE=120 - 60 =60° , AB=AC=AD ,/ B= / ACB , / ACD= / ADC ,11在四边形 ABCD 中，Z BCD= _ (360 /BAD) = _ (360 60 ) =150 . 22随练2.2如图，点P是/AOB内任意一点，OP=5cm点M和点N分别是射线 OA和射线OB上的动 点， PMN长的最小值是 5cm,则/ AOB的度数是（）B0V AA. 25°B,30°C.35°D. 40【答案

49、】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交 OA、OB于点M、N,连接 OC、OD、PM、PN、MN ,如图所示： 点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,PM=DM , OP=OD , / DOA=/POA; 点P关于OB的对称点为C,PN=CN , OP=OC , /COB=/POB,OC=OP=OD , / AOB= - / COD, 2 PMN周长的最小值是 5cm, . PM+PN+MN=5 , . DM+CN+MN=5 ,即 CD=5=OP ,OC=OD=CD ,即AOCD是等边三角形，/ COD=60 ,/ AOB=30 ;D随练2.3 如图，

50、ABC是等边三角形， BD平分/ ABC点E在BC的延长线上，且 CE=1, / E=30° , 贝U BC=,»>33 «<初中数学【答案】2.【解析】. ABC是等边三角形,，/ABC= /ACB=60 , BA=BC , BD 平分/ ABC ,/ DBC= / E=30° , BD ±AC ,/ BDC=90 , BC=2DC ,. /ACB= /E+/CDE, / CDE= / E=30° , CD=CE=1 , BC=2CD=2 .随练2.4 已知：如图， AOB勺顶点O在直线l上，且AO=AB .(1)画出

51、AO联于直线l成轴对称的图形 COD且使点A的对称点为点 C；(2)在(1)的条件下，AC与BD的位置关系是 ;(3)在(1)、(2)的条件下，联结 AD如果ZABD =2/ADB ,求/ AOC勺度数.【答案】(1)如图1 (2)平行(3) ZAOC =60°【解析】该题考查的是轴对称与全等三角形.(1)如图1;(2)平行. AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，AC _Ll , BD _Ll ,AC / BD.(3)如图2,二,由(1)可知， 那OB与ACOD关于直线l对称, .AOBA COD.AO =AB =CO =CD , /ABD =/CDB =2/ADB ,而 ZADB

52、 =/DAC , ZCDA =/CAD , CD =CA ,CA =CO =OA , .COA为等边三角形，ZAOC =60 匕图1图2随练 2.5 如图，4ABC 中，NA=90 白，ZC =303, BD 是/ABC 的平分线， AC=12,则 4BCD 中BC边上的高是【解析】该题考察的是三角形的高.过A做BC的高AE ,在 RtAEC 中，/C =30 :由在直角三角形中30 口所对直角边等于斜角边的一半得:1 1AE=-AC =一 父12=6.2 2»> 35 «<初中数学随练2.6 如图，已知 ABC为等边三角形，点 D E分别在BC AC边上，且

53、AE=CD AD与BE相交 于点F.(2)求/ BFD的度数.【答案】(1)见解析(2) 60。【解析】(1)证明：. ABC为等边三角形，/ BAE= / C=60 , AB=CA ,在4ABE和ACAD中，AB =CA4/BAE =/C , AE =CD .ABECAD (SAS).(2)/ BFD=/ABE+ Z BAD ,又. ABECAD ,/ ABE= / CAD ./ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60随练2.7 如图，D为等边三角形 ABC内一点， AD = BD, BP = AB , NDBP =NDBC ,则NBPD =B【答案】30°【解析】

54、作AB的垂直平分线，MBC为等边三角形，&ABD为等腰三角形；AB的垂直平分，；AB=BP=BC , /DBP =/DBC , BD = BD ;线必过C、 D两点，/BCE =30电； /.ABDCABDP ,所以 ZBPD =30°.随练2.8 如图，B、C、D在一直线上， MBC、MDE是等边三角形，若 CE =15cm ,CD =6cm,则 AC =, /ECD =»>37 «<【答案】9; 60°【解析】(1) MBC 是等边三角形， = AB =AC =BC , /BAC =2B =/ACB =60。：* MDE是等边三角形， AD=AE , /DAE =/ADE =60 口 , ：'/BAD =/BAC +/CAD =60 口+/CAD , /CAE =/DAE +/CAD =60 "/CAD , BAD=/CAE ,ABDMCE ,二 BD =CE ,/ACE=/B=60" ；CE=15 , /. BD =15 , 7 CD =6 , 二 BC =BD CD