高中物理八大解题方法之四：导数法(可编辑修改word版)

1、高中物理解题方法之导数法江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过 程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其 他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强 度可表示为：E = 2kT),cos =2k(/-+»l- + y- M + y2因为原点的电场强度Eo = o,往上或往下的无穷远处的电场强度也为0

2、,所以，从o点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。方法1.用三角函数法求导数E = 2k (- -) . cos 中把 y= L.代入得 E =三巴.$也？ cos °l2+y2tanI- z = sin2 cos , 求导数 z'=2sin cos2 -sin3 =sin (2cos2 -sin2 ), 欲使J2/z'=0,需sin =0 (舍去)或2cos2 -sin2 =0即 tan = 41 ,此处，y =，2将其代入得号皿=竽半。方法2.用代数法求导数E = 2k（-JL）- y ,令 z = y （/2 +y

3、 2）-5,对 Z求导数得卜 + r W + y2Z，=（/2+y2）-Ly2（/2+y2）T,令其分子为0,得）,=包，代入得 =弓-华。 29/3.图象用Excel作图，得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象，图象的横轴y表 示各点到原点的距离（以两点电荷的连线的中点为原点），纵轴表示中垂线上各点的电-5 -E. r S 图3电路图此图象也验证了以上所得的结果：图象中令/ = 5,则当），=包=叵9=3.5处电场 22强度最大。例2、电源输出功率最大问题的研究 例题.如图所示，R为电阻箱，封为理想电压表.当电阻箱读数为Ri=2C时，电压表读数为Uk4V；当电阻箱读数为R2=5Q

4、 时，电压表读数为U2=5V.求：（1）电源的电动势E和内阻r。当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少?【解析】由闭合电路欧姆定律：E=Ui+-r E=U,+A联立上两式并代入数据解得：E = 6V, r=lQ(2)解法1.代数法，电功率表达式：P = _R 将上式变形为： (R + r)2n E2E1尸=不一r，由上式可知& =r=11时。有最大值。加=9卬(R 一 )4r+ 4rR£2II U9V - MV*解法2.导数法，电功率表达式：二沃奇氏根据求导公式(；)'=一,6("当"叫,(R+r尸(/? + r)4E2导数的

5、分子为零，即此时有极大值，将R = r=l。代入户式得最大值P,“= 9W 4r本题的物理意义可用图4图象说明：图4电源输出功率与外电路电阻的关系图象的最高点为电源的输出功率最大，其余的，对同一个输出功率，可以有两个电 阻值。例3,证明：在碰撞中完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰 撞，动能不守恒了，但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两 个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒，但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解 决知其所以然

6、的问题°弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有 弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不 管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能 守恒的碰撞。一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发 声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前 后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内 能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有 动能损失。如图1所

7、示，设质量为的小球，速度为vP与质量为m2的小球，速度为v2,发生碰 撞，¥1¥2C>弹性碰撞情况下，动能损失最大。将代入解得动能损失最大为 m m (v - v )2例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同/=1加，悬挂于同 一高度，4、8两摆球均很小，质量相等皆为当两摆均处于自由静止状态时，其侧 面刚好接触。向右上方拉动8球使其摆线伸直并与竖直方向成45。角，然后将其由静止 释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最 小各值各是多少？ 解：B球的初始高度为历，碰撞前8球的速度为也.在不考虑摆线质量的情况下，根

8、据题意及机械能守恒定律得：hi =/(l-cos45°)1 mv 2 = nigh (2)2 B 1弹性碰撞时，动量守恒有niVB = niVA '+mvb '动能守恒有:机M =：八，2解得匕以'=。，根据吆力=1 mv，2 ,得h = h ,为A球上升的最高高度。2 7 42 1根据人=/(1cos )，得 =45°,为A球上摆的最大角度。2221 完全非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一起时，动量守恒有?0=2，解得M = U2根据7的=mv'1 = 1 nigh ,得力=1 ，为A球上升的最大高度的最小值。 3 2423 4 1根据 =/

9、(l-cos ),得=22°,为A球上摆的最大角度的最小值。 333例4.电磁感应问题如图，质量为M的足够长金属导轨abed放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量 为？的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQ反构成矩形。棒与导轨间 动摩擦因数为，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨be段长为L,开始时PQ左 侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为岛。以娱为界，其左侧匀强磁场方 向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在1=0时，一水平向的拉力尸垂直作用在导轨的反边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为必（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间

10、变化的表达式；（2）经过多长时间拉力尸达到最大值，拉力产的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为。，导轨克服摩擦力做功为W,求导轨动能的增加量。【答案】（1） 感应电动势=BLv导轨做初速为零的匀加速运动，v = at. s J at22=BLat回路中感应电流随时间变化的表达式BLv BLatBLatI = 1=三R 送R + 2R（_,m）R + 也心° 2（2）导轨受外力F,安培力八，摩擦力 7 其中B 2 L2atFX=BIL= 7R + Rat-B 2 L2atF, = （mg+BIL）=（帆g+ -）f NR +2 由牛顿定律/一巳一6 =MaF = Ma + F

11、, + Ff =M“+ ?g + （l+R + R/t2时外力F取极大值。上式中，当R = R at, Bp/ =7 °(3)设在此过程中导轨运动距离s,由动能定理W A = 石 nW 台=Mas由于摩擦力F尸(喏+生)，所以摩擦力做功W = mgs + WA = mgs + Q, c w QA£k =Mas= -(W Q) o【点评】本题考查电磁感应，匀变速运动，牛顿定律等知识点以及分析判断能力及极值的 计算等数学方法。难度：难。r 2 2atr 2 / 2在式子n n 的极值的计算中，答案用了变形)，=if=,然后根据两式之 积一定时，两式相等时其和最小的数学方法，因分

12、母最小，分式取最大值。RR也可以用导数法求极值。设上式的分母为x= +RW,取导数：xt) = - +R”，- 07To令其等于0,解得极值条件为f =。代入得x = 2 JaR凡，此时,y一/max =Ma+ Hlg+ 2 RR。0例5.交流电如图(a),在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R, R在PQ的右侧。导线PQ 中通有正弦交流电流i, i的变化如图(b)所示，规定从Q到P为电流的正方向。 导线框R中的感应电动势图(a)图(b)A.在"二时为零4B.在"二时改变方向2C.在"工时最大，旦沿顺时针方向2D.在，=7时最大，且沿顺时针方向【解析】根据法

13、拉第电磁感应定律，感应电动势E=，即七为的导数，有= 8S,S不变，与B成正比，所以，E与i的导数成正比，据此可以画出E-t图象如下:从图象可以看出：A.在"二时为零，正确：4B.在1 =二时改变方向，错误；2C.在"二时为负最大，旦沿顺时针方向，正确；2D.在时为正最大，旦沿逆时针方向，D错误。【答案】20. AC-9 -【点评】E-/图象是正弦函数（或余弦函数）图象，说明电动势E随时间非均匀变化。 函数是，函数的导数函数。例6.带电粒子在磁场中的运动粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度 为舔的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为心的匀强

14、电场。一束质量为m、电荷量 为q的带电粒子，以不同的速度从小孔0处沿中轴线射入此区域。研究人员发现有些粒 子能沿中轴线运动并从挡板上小孔P射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P 射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为A ，通过理论分析知道，这些带电粒 子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为的匀速直线运动和以速率，在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，I、2；均为未知量，不计带电粒子重力及 粒子间相互作用。若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔0射入时的速度0：（2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中速度。射入，要让所有带电粒子均不能打 到水平金属板，两板间距d应满足什么条件

15、？（3）磁感应强度为8。时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量4 ,从而提 高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？例1题图【解答】（1）带电粒子能沿中轴线运动受力平衡，则Eqv°B°=qE，解得/ _综设磁感应强度增为B,对速度为刃的匀速直线分运动，有q% b =殂，解得匕=与 < 吗 D匀速圆周分运动的速率也=口01 _) B2/?7v;mE 1由向心力公式qu B=：,解得一=°(2 rq B B1 o当8 = 28。时，半径有最大值，呜硒-15 -要让所有带电粒子都不能打到金属板，应满足1 > 2,； 要提高速度选

16、择器的速度分辨率，就要使不能沿轴线运动的偏离轴线有最大的距离, 圆周运动完成半周期的奇数倍，则L = v() (2/2-1)-(/7 = 1,2,3,)2圆周运动的周期了=qB。故应满足的条件L =I)：呜 ( =1,2,3,) 曲【拓展】从此题目谈起，笔者提出并回答以下问题，以进一步理解此题。在得出=竺!(，)后，即有当8 = 24时，半径有最大值，;“=把马，这是 q B°B B-4g /为什么？【解答】这个是求极值问题，本来是数学问题，在物理题中，物理老师也要解答。这就是 高考要求的“用数学方法处理物理问题的能力”。这里要用导数法求极值:令V，二土也、B°B B2 B

17、声u u v -itv 根据求导公式(_)'=Vp-二 B/2_(B_B0).2BB° = B°B . (-B + 2B0)BpB* 'E其分子为0,得r=Z12(J一式取极值的条件是8 = 23“，将此条件代入则得 q B()B例7.振动和波问题 图甲为一列简谐横波在t=0. 10s时的波形图，P是平衡位置为x=lm处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则（）A. t=0. 15s时，质点Q的加速度达到正向最大B. t=0. 15s H't.质点P的运动方向沿y轴负方向C.从t=0. 10s到t=0. 25s,该波沿x轴

18、正方向传播了 6mD.从t=0. 10s到t=O. 25s,质点P通过的路程为30cm答案：AB分析法：题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知上0. 15s时，质点Q 到达波谷，其加速度达到正向最大，A选项正确：图甲表示0. 10s时的波形图，t=0. 10s 时由图乙可知质点Q正经过平衡位置向下振动，结合图甲可知这列波向左传播（因为波 向左传播，Q才处在“上坡”的位置，其运动方向才向下）。乂由图甲可知波长为8m, 由图乙可知周期为0. 20s,波速v=X/T=40m$从0. 10s到0. 15s时间段内，波向左平 移s=vt=2m.画出此时的波形如下图（将波向左平移2m）y/cm从图

19、可以发现，此时质点P的运动方向沿y轴负方向，B选项正确；从t=0.10s到t=0. 25s,该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m, C选项方向判断错误：从t=0. 10sT到t=0. 25s,经过的时间为0. 15s,等于W即0. 05s的3倍，质点P做变速运动，通s = AA = 30cm过的路程不能用 T来计算（从平衡位置或正负最大位移处开始计时，才能这样算），实际路程不等于30cm （此处有的同学禁不住问：不是30cm,是多少呢？且 往下看）。答案选择ABo【函数导数法】h .y = -A sin 2tt（十）因为2=0时刻波方程是丫二一月$1n做，波函数基本函数式是T 4（因为本题

20、波向左传播，所以式中负号改为正号）由图甲可知波长为力=8m,振幅为A=10cm,由图乙可知周期为T=0. 20s,所以本y = -lOsin 2爪一千三）-10sin（107S + x）题波函数可以写为0.2 8二47T_-10sin（10 + -x4） =A选项：Q点的振动方程是V二410 sin 10龙对式求导数得速度函数v= WxIQttcosIO =1007rcosl07E对式求导数得加速度函数。= 1000/ （fin 10九） 将t=0. 15s代入式得=10004（sslO*乂 °？，是正最大，所以A正确；B选项：-10sin（1072!+-xl）=-10sin （10% 十 马P点的振动方程是为=44（-10）X107FCOS（107E + -） -1007TCOS（107E+-）对式求导数得速度函数v=4 =4.IOOtfcosCI 0x0.15 + -） -IQQcos）将t=0.15s代入式得v=4 =4 ,为负，所以B正确；C选项：-lOsm 2r( + -)-10sin(7T+-x)t=0.10s时的波函数可以写为yi=0.2 8 cm=410 sin x4 0-lOsm 2r( + -)-10sm( 2.5tf+-x)t=0. 25s时的波函数可以写为？1=0.28 cm