立体几何平行与垂直经典证明题

1、(2)由(1)有 AB平面CDE又 AB 平面ABC,平面CDE 平面ABC新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形 ABCD是空间四边形， E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点(1) 求证：EFGH平行四边形(2) 若BD=273, AC=2, EG=2求异面直线 AC、BD所成的角和 EG BD所成的角。C1 证明：在 ABD中，: E, H分别是 AB, AD的中点，EH /BD ,EH - BD21 同理，FG/BD,FG BD EH /FG,EH FG .四边形 EFGH 是平行四边形。2(2) 90 30 考点：证平行(利用三角形中位线) ，异面直线所成的角2、如图

2、，已知空间四边形 ABCD中，BC AC,AD BD , E是AB的中点。求证：(1) AB 平面CDE;(2)平面CDE 平面ABC。A证明：(1) BC AC CE ABEZAE BE A-WLmADBDDE ABB；cae be又 CE DE E ，ab 平面 cde7/考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是AA）的中点,面 SBC.求证：AC/平面BDE。证明：连接AC交BD于O,连接EO, E为AAi的中点，。为AC的中点 EO为三角形A1AC的中位线 ，EO/AC又EO在平面BDE内，AC在平面BDE外A1C /平面 BDE。考点：线面

3、平行的判定4、已知 ABC 中 ACB 90o,SA 面 ABC, AD SC,求证：AD证明：: ACB 90 BC AC又 SA 面 ABC SA BCBC 面 SACBC AD又 SC AD, SC BC CAD 面 sbc考点：线面垂直的判定5、已知正方体 ABCD ABiGDi,。是底ABCD对角线的交点求证：(1 ) GO/面 ABiDi ; (2) AC 面 AD/证明：(i)连结 AC1，设 AiCi BiDi Oi, 连结AOi ABCD ABiCiDi是正方体AiACCi是平行四边形，AiCi/AC 且 AiCi AC又 O1,O分别是 AC，AC 的中点，OiCi / A

4、O且 01cl AO AOCiOi是平行四边形CiO / AOi, AOi 面 abiDi , CQ 面 ABRCiO/ 面 ABiDi(2) QCCi 面 AB1clDCCi BiD!又AG BiDibiDi 面AC1c即AC BiDi同理可证AC皿又阴ADi DiAC 面 ABR考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定EBiDi,平面 EBiDi/平面 FBD.7、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.（1）求证：平面 AiBD/平面 BiDiC;（2）若E、F分别是 AAi, CC的中点，求证：平面 EBiDi/平面FBD.证明：（i）由BiB/DDi,得四边形 BBiD

5、iD是平行四边形，BiDi / BD,又 BD 平面 BiDiC, BiDi 平面 BiDiC,.BD/平面 Bi Di C.同理AiD/平面BiDiC.而 AiDABD= D,平面 AiBD/平面 BiCD.(2)由 BD/ BiDi,得 BD/平面 EBiDi.取 BBi 中点 G, AE/ BiG.从而得 BiE/ AG,同理 GF/ AD,AG/ DF. .1. BiE/ DF. ，DF/平面考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体 ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，.且EF考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）BDC 900,求证:BD 平面ACD证明：

6、取CD的中点G ,连结EG,FG，; E,F分别为AD, BC的中点,iFG - BD2 EGBDi，又 AC BD, . FG AC, 在 EFG 中, 2FG，.一 BD AC ,又 BDC 900,即 BDEG2平面ACDFG2ACEG ”AC2i 22AC2 EF22CD C考点：线面垂直的判定，三角形中位线，构造直角三角形9、如图P是 ABC所在平面外一点，PA PB,CB平面PAB,M ,是PC的中点,AN(i)求证:3NBMN AB;当 APB 90, AB 2BC证明：（i）取PA的中点Q ,连结MQ,NQ , M是PB的中点,. MQ / BC，: CB 平面 PAB，.-

7、MQ 平面 PABQNPDQN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D ,连结AB ,又 AN 3NB, . BN ND/PD，.二QN AB ,由三垂线定理得 MN ABPD , PA PB,N是AB上的点,4时，求MN的长。(2)APB 90o ， PA PB, PDi-AB 2 , QN 2平面MQ考点:-BC i, MN 22三垂线定理i0、如图，在正方体 ABCD ABiCiDi中，E、F、G分别是AB、AD、CiDi的中点.求证：平面DiEF /平面BDG .证明：E、 F分别是AB、AD的中点， EF / BD又EF 平面BDG , BD 平面BDG EF /平面BDG D1G

8、旦EB 四边形DiGBE为平行四边形， DiE / GB又DiE 平面BDG , GB 平面BDG DiE /平面BDGEF DiE E ,平面 DiEF /平面 BDG11、如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是AAi的中点.(1)求证：AC 平面BDE ;(2)求证：平面AAC平面BDE .证明：(1)设AC BDO, E、O分别是AMAC的中点， AC/ EO又AC 平面BDE ,EO平面AiC/平面BDE(2) AA1 平面 ABCDBD平面ABCD , AA1BD又BDAC AA1A,BD平面AiAC ,BD 平面BDE考点：线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的

9、判定12、已知 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD, AB 2, PA AD为BC的中点.(1)求证：DE 平面PAE ; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证明：在 ADE中，AD2 PA平面 ABCD , DEAE2 DE2, 平面ABCD,AEPADEDE又PA(2)AE A, DEDPE为DP与平面平面PAEPAE所成的角在RtPAD,PD 472 ,在Rt DCE中,DE2,2在RtDEP 中,PD 2DE ,DPE 300考点：线面垂直的判定，构造直角三角形13、如图，在四B隹P ABCD中，底面ABCD是且平面PAD垂直于底面 ABCD.(1)(2)(3)证明:若G为AD

10、的中点，求证：BG 平面PAD ;求证：AD PB ;求二面角A BC P的大小.(1) ABD为等边三角形且 G为AD的中点,又平面PAD 平面ABCD(2) PAD是等边三角形且, BG 平面PADG为AD的中点， AD且 AD BG,PGBGG,8平面BDE 平面AACDAB 600且边长为AD 平面PBG ,BG ADPGa的菱形，侧面PAD是等边三角形,PB 平面PBG , (3)由 AD PB , 又 BG AD , ADADAD /BC,PBBC ,BGBC PBBCPBG为二面角ABC P的平面角在 Rt PBG 中，PGPBG 450考点：线面垂直的判定，构造直角三角形，面面

11、垂直的性质定理，二面角的求法(定义法)14、如图1,在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O,求证：AO 平面MBD.证明：连结 MO, A1M , DB A1A, DB, AC, A1A AC A,DBL平面 AACC1 ,而 AO 平面 A1ACC1 DB AO . c 3 cc 3 c设正万体棱长为a ,则A1O2 -a2 , mo2 -a2.24在 R9A1clM 中，AM2 9a2 . . AO2 MO2 AiM 2 , AO OM 4. OMnDB=O,A。，平面 MBD.考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图2,在三棱锥 A BC

12、D中，BC= AC, AD= BD, 作B已CD, E为垂足，作 AHXBET H ,求证：AH,平面BCD.证明：取AB的中点F,连结CF, DF.AC BC, . CF AB.AD BD , DF AB .又 CF I DF F ,AB 平面 CDF CD 平面 CDF,CD AB .又 CD BE, BE AB B, CD 平面 ABE, CD AH . AH CD, AH BE, CD BE E,AH 平面 BCD考点：线面垂直的判定考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）16、证明：在正方体ABCD- A1B1C1D1 中,AC,平面BGD证明：连结AC. BDXACAC为A1C在平面AC上的射影BD A1C同理可证A1c BC1AC平面BC1DBSC=90 ,考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过 S引三条长度相等但不共面的线段SA、SR SC,且/ ASB=Z ASC=6(J , /求证：平面 ABC平面BSC证