矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系

1、矩阵秩的8大性质: 0&R( A心 ")<min| m , w I ; K(aT) = K(A);若 A B,则 K(A) = K(B);若尸、Q可逆，则K(PAQ) = R(A).下面再介绍几个常用的矩阵秩的性质： maxR(A),R(E)|&R(A,B)<R(A)+ R(B), 特别地，当B = b为非零列向量时，有R(A)<R(A,b)&R(A) + L R(A + B)WR(A) + R(b). R(AB)&min|R(A),R(B).(见下节定理 7)若4”/"产0,则R(A) + R(B)(人(见下章例13)设A

2、B=O,若A为列满秩矩阵，则B = 0.线性方程组的解:定理3 n元线性方程组Ax =b(i)无解的充分必要条件是R(A)<K(A5)；(ii)有惟一解的充分必要条件是K(A) = R(A,b)=打；(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)<*定理4 n元齐次线性方程组阻=0有布零解的充分必要条件是R(4)<l05妣tt方淄组助力有肆的充分必要枭件是R二ROM).定理6蝌方程AX=B有解的充分必要条件是R= R(A,B)定理7 设 AB=C,则 R(C)Wmin|R(A),R(B)|.向量组的线性相关性:oi向盘b能由向maA：4小,以线性表示的充分必要

3、集件是矩阵4二(即,即的秩等于矩年B = "|吗,述帆的帙，,%线性表示的定理2向曷组B；瓦，与，瓦能由向量组A：/,。充分必要条件是矩阵A=(即，的,)的秩等于矩阵(A,B)=(即， , 瓦，曲)的秩，即R(A) = R(A,B)推论向量组A：5,的,国坤与向垃组B；瓦，也等价的充分必要条件是R(A)= R(B)= R(A,B), 其中A和B是向盘组A和B所构成的矩阵.定理3设向题B通也，,M能由耀组A：小皿,心线性表示.则 R（“,匕,"）R（0i，maJ定理4艇4匹,。，外线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A二小,%)的秩小于向倒个数叫向盘组线性无关的充分必要条件

4、是R(A)二阴.定理5 (1)若向所组A：/,，线性相关，则向量组B：/,%,也线性相关，反喜之港向盘组B线性无关物响量组A也线性无关.机个。维耀组成的向量组，当嬲«小于向个个ilLt时一定线性相关的别地 + 1个n维向量一定线性相关.(3)设向鱼组A：% ,叼，%线性无关,而向量组E：/,吨,6线性相关,则向第b必能由向盘组A线性表示,且表示式是惟一的.对比:定理I向量b能由向量组A：%的，心线性表示的充分必要条件是 据阵A二（即,曲,与）的秧等于矩阵8 =（内山,，”,九”）的我.定理2内一组也能由向量组A：册，口小,%线性表示的 充分必要条件是矩阵A =（斯，/,、%）的秩等于矩阵（A,B） = （4,，%,加，,M）的秩，即R（A）=R（A,B）推论向量组A ：即t组B：瓦，,乙等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A.B),其中A和B是向母组A和B所构成的矩降.支I定理6柜阵方程AX = B有解的充分必要条件是R（A） = R（A,B）. |定理3设向盘组B出也，也能由向坦组A必必,线性表示则R。M,耳)0(即必,，,2).<r定理 7 设 AN = C,则 R(C)Wmin|K( A),K(B)L定理4阵A = (/,%,、%)的株小于向置个数相晌组线性无关的充分必要条件是 R(A) = m.定理4 «元齐