电磁场与电磁波第二章课后答案

1、第二 章 静电场重点与难点电场强度及 电场线等 概念容易 接受,重 点讲解如 何由物理学 中积分 形式得静电场 方程导出微分形式得静电场方程,即散度 方程与旋度 方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强 度与电荷之间得关系。通 过书中列举得4个 例子,总结 归纳出根 据电荷分布计 算电场强 度得三种 方法。至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非 均匀、线 性与 非线性、各 向同性与各向异 性等概念 。讲解介质中静电 场方程时,应强调电 通密度仅 与自由电荷有关 。介 绍边界条件 时,应说明仅可依据 积分形式得静电场方 程,由于边

2、界 上场量不 连续,因而 微分形式得场方程不成立。关于静电场得 能量与力,应总结出 计算能量得 三种方法,指出电 场能量不 符合迭加原理。介绍 利用虚位移 得概念计算 电场力,常电荷系统 与常电位 系 统,以 及 广 义 力 与 广 义 坐标 等 概 念 。 至 于 电 容 与 部 分 电 容 一 节 可 以 从 简。重要公式真空中静电场方程:积分形式:微分形式:已知电荷分布求 解电场强 度:1,;2,3,介质中静电场方程:积分形式:微分形式:线性均匀各向同性介质中静电场方程:积分形式:微分形式:静电场边界条件:1,。对于两种 各向同性得线性介质,则2,。在两种介质形成得边界上,则对于两种各向

3、同性得线性介质,则3,介质与导体得边界条件：若导体周围就是各向同性得线性介质,则静电场得能量:孤立带电体得能量:离散带电体得能量:分布电荷得能量:静电场得能量密度:对于各向同性得线性介质，则 电场力：库仑定律:常电荷系统:常电位系统:2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点 电荷位于qi及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。解 要使系统处于平衡状态，点电荷受到点电荷qi及q2得力应该大小相 等,方向相反，即。那么，由，同时考虑到，求得 可见点电荷可以任意,但应位于点电荷qi与q2得连线上,且与点电荷相 距。2-2已知真空中有三个点电荷，其 电量及位置

4、分别为：试求位于点得电场强度。解 令分别为三个电电荷得位置到点得距离，则”。 利用点电荷得场强公式,其中为点电荷点得场强大小为，方向为点得场强大小为，方向为 点得场强大小为，方向为则点得合成电场强度为E E1E2E32-3直接利用式(2-2-14)计算电偶极子得电场强度。解 令点电荷位于坐标原点，为点电荷至场点P得距离。再令点电荷位于+坐标轴上,为点电荷至场点P得距离。两个点电荷相距为，场点P得坐 标为(r,)。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生得电场为 考虑到r l ,= er,那么上式变为以为变量，并将在零点作泰勒展开。由于，略去咼阶项后,得利用球坐标系中得散度计算公式，求出电场强度为已知

5、真空中两个点电荷得电量均为C,相距为2 cm,如习题图2-4所 试求：P点得电位；将电量为C得点电荷由无限远处缓慢地移至时,外力必须作得功。解根据叠加成电位为习题图2-5q指向场点得单位矢量。那112314eyql cosrerql sin34or2-4原理，点得合无限远处缓 慢地移到点，外力必须做1 1cmJ. qI寸PI士1cm，J为得点电荷由得功为习题图2-42-5通过电位计算有限长线电荷得电场强度。解 建立圆柱坐标系。令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强qPx与无关。为了简单起见,令场点位于yz平面。 设线电荷得长度为,密度为,线电荷得中点位于坐标原 点，场点得坐标为。利用电位

6、叠加原理，求得场点 得电位为式中。故 因,可知电场强度得z分量为半径为a得半 度，试求圆心线电荷位于xy习题图2-6电场强度得r分量为 平面,且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么,点电荷在圆心处产生得 电场强度具有两个分量Ex与Ey。 由于电荷分布以y轴为对称,因此,仅需 考虑电场强度得分量，即 考虑到,代入上式求得合成电场强度为4orJz L/22r2L/2 J z U22r2z b2z L22z M2式中,那么，合成电强为当L时”则合成电场强度为可见,这些结果与教材解建立直角坐标,令2-6已知分布在 圆周上得电荷线密 处得电场强度。2-7已知真空中半径为a得圆环上均匀地分布得线电荷密度

7、为,试求通 过圆心得轴线上任一点得电位及电场强度。度,则圆环线 得电场强度2-8设宽度为W,面密度为得带状电荷位于真空中,试求空间任一点得电场强度。线电荷,其线密度为。那么,该无限长线电荷产生得电场强度与坐标变量z无关，即解建立直角坐于坐标原点，如 所示。那么,点电产生得电位据叠加原理,点产习题荷在圆环位圆环线成电位为2-7习题图2-7解建立 直 角坐标，且 令 带状 电 荷位 于XZ平 面 内如 习 题图2-8(a)(b)习题图2-8所 示习题图2-92-10已知电荷密度为及得两块无限大面电荷分别位于面,试求及区域中得电场强度。解 无限大平面电荷产生得场强分布一定就是均匀得,其电场方向垂直

8、于无限大平面,且分别指向两侧。因此,位于x = 0平面内得无限大面电荷,在x 0区域中产生得电场强度。位于x =1平面内得无限大面电荷,在x 1区 域中产生得电场强度。由电场强度法向边界条件获知，由此求得根据叠加定理,各区域中得电场强度应为2-11若在球坐标系中，电荷分布函数为 试求及区域中得电通密度。解 作一个半径为r得球面为高斯面,由对称性可知 式中q为闭合面S包围得电荷。那么在区域中，由于q = 0,因此D = 0。ex2wx -ln-240W2x?ywx ey- - arctan- -20ywx 2已知均匀分布得带电圆盘半径为a,面电荷密度2-9为,位于Z = 0平面,且盘心与原点重合

9、,试求圆盘轴线上任一点电场强度。如图2-9所示，在圆盘P(0,0, Z)宽度为得圆得电荷量该圆环电荷P产生得电量。根据习该圆环电荷强度得分量那么，整个圆盘电荷在P产生得电场强度为场强度仅得有分题2-7结果，获知 在P产生得电场Z轴上任一点取一半径为,该圆环具有。由于对称性,在区域中，闭合面S包围得电荷量为 因此,在区域中，闭合面S包围得电荷量为因此,试求球内外各点得电位。解 在区 域中，电 位 为在区域中，2-13已 知 圆 球 坐 标 系 中 空 间 电 场 分 布 函 数 为 试求空间得电荷密度。解 利用高斯定理得微分形式,得知在球坐标系中 那么，在区域中电荷密度为 在区域中电荷密度为2-

10、14已 知 真 空 中 得 电 荷 分 布 函 数 为 式中r为球坐标系中得半径,试求空间各点得电场强度。解 由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理在区域中在区域中2-15已知空间电场强度,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间得电位差。解 设Pi点得坐标为(0,0,0, ), P2点得坐标为(1,1,2,),那么，两点间得电位差为2-16已知同轴圆柱电容器得内导体半径为a,外导体得内半径为b。若填 充介质得相对介电常数。试求在外导体尺寸不变得情况下,为了获得最高 耐压,内外导体半径之比。解 已知若同轴线单位长度内得电荷量为qt,则同轴线内电场强度。为了 使同轴线获得最高

11、耐压,应在保持内外导体之间得电位差V不变得情况 下,使同轴线内最大得电场强度达到最小值,即应使内导体表面处得电场 强度达到最小值。因为同轴线单位长度内得电容为2-12若带电球得内外区域中得电场强度为式中，因 此 电 位差 为由习题2-9获知，位于xy平面,面电荷为得圆盘在其轴线上得电场强度为 因此,圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生得电场强度为 而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生得电场强度为 那么,上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生得合成电场强度为则同轴线内导体表面处电场强度为令b不变，以比值为变量,对上式求极值,获知当比值时,取得最小值,即同 轴线获得最高耐压。2-17若在一个电荷密度为,半径为a

12、得均匀带电球中，存在一个半径为 得球形空腔,空腔中心与带电球中心得间距为d,试求空腔中得电场强解此 题 可 利原 理 求 解O首球内 充 满 电 荷内 点 得 电 场 强式 中 就 是 由 球置 矢 量J J再 设 半 径荷 密 度 为 得 电用高斯定理与叠加先设 半径为得整个 密度为得电荷，则球度为心0点指向点得位为得球腔内充满电荷，则其在球内点得习题图2-17式中就是由腔心点指向点得位置矢量。那么,合成电场强度即就是原先空腔内任一点得电场强度,即式中就是由球心0点指向腔心点得位置矢量。可见，空腔内得电场就是均 匀得。2-18已知介质圆柱体得半径为a,长度为 时，极化强度为,试求介质中束缚电

13、荷在圆柱内外轴线上产生得电场强度。解建立圆柱坐标,且令圆柱得下端面位于xy平面。由于就是均匀极化,故只考虑面束 缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下 端面。已知面束缚电荷密度与极化强度得关系为式中en为表面得外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面得束缚电荷面密度为,圆柱体下端面得束缚面电荷密度为。习题图2-18电场强度为2-19已知内半径为a,外半径为b得均匀介质球壳得介电常数为，若在球 心放置一个电量为q得点电荷,试求:介质壳内外表面上得束缚电荷； 各区域中得电场强度。解 先求各区域中得电场强度。根据介质中高斯定理 在区域中，电场强度为 在区域中，电场强度为 在区域中，电场强度为再求介质

14、壳内外表面上得束缚电荷。由于,则介质壳内表面上束缚电荷面密度为 外表面上束缚电荷面密度为2-20将一块无限大得厚度为d得介质板放在均匀电场中，周围媒质为真 空。已知介质板得介电常数为,均匀电场得方向与介质板法线得夹角为,如习题图2-20所示。当介质板中得电场线方向时,试求角度及介质表面得束缚电荷面密度。荷面密度为介质右表面上束缚电荷面密度为及电量。解 设两球相距为d,考虑到d a, d b,两个带电球得电位为解根据两种条件获知，边界 切向分量与向分量连续。已知，那么由已知介电荷，那么，介质左表此可得式求得s1en1P2en11D2en1D20E cos1s2en2P2en21 D2en2D20

15、Ecos12-21远。若已知两个导体球得半径分别为 以导线相连后,试求：电荷移动得方6cm及12cm,向及电量;两球最终得电位电量均为C,相距很两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该 守恒,即及，求得两球最终得电量分别为可见,电荷由半径小得导体球转移到半径大得导体球,移动得电荷量为。 两球最终电位分别为2-22已知两个导体球得重量分别为mi=5 g，m2=10 g，电量均为C，以无重 量得绝缘线相连。若绝缘线得长度I = 1m，且远大于两球得半径，试求; 绝缘线切断得瞬时海球得加速度;绝缘线切断很久以后，两球得速度。 解 绝缘线切断得瞬时，每球受到得力为 因此,两球获得得

16、加速度分别为当两球相距为I时，两球得电位分别为 此时，系统得电场能量为绝缘线切断很久以后，两球相距很远(1 a, 1 b),那么，两球得电位 分别为由此可见，绝缘线切断很久得前后，系统电场能量得变化为 这部分电场能量得变化转变为两球得动能,根据能量守恒原理及动量守 恒定理可得下列方程：由此即可求出绝缘线切断很久以后两球得速度vl与v2：2-23如习题图2-23所示,半径为a得导体球中有两个较小得球形空 腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷qi及q2,在距离处放置另一个点 电荷q3,试求三个点电荷受到得电场力。解 根据原书 节所述，封闭导 腔具有静电 性。 因此， q1间没有作2-7对于qi及q2

17、作用力。但蔽特q2之力兄有及q2在导体 产生得感应-q1及-q2,对于qi面习题图2-23q3台匕作用力。考虑到ra,根据库仑定律获知该作用力为2-24证明位于无源区中任一球面上电位得平均值等于其球心得电位,而 与球外得电荷分布特性无关。解 已知电位与电场强度得关系为，又知，由此获知电位满足下列泊松方利用格林函数求得泊松方程得解为rrVGor, r -dv气0Gor, rr Gor, r d s式中。考虑到,代入上式得1r -4V什0r.r r ds若闭合面内为无源区，即，那么若闭合面S为一个球面,其半径为a,球心为场点,则,那么上式变为考虑到差矢量得方向为该球面得半径方向,即与 得方向恰好相

18、反，又,则上式变为由于在面内无电荷,则，那么由此式可见,位于无源区中任一球面上得电位得平均值等于其球心得电 位,而与球外得电荷分布无关。2-25已知可变电容器得最大电容量，最小电容量,外加直流电压为300V,试求使电容器由最小变为最大得过程中外力必须作得功。解 在可变电容器得电容量由最小变为最大得过程中，电源作得功与外力作得功均转变为电场储能得增量，即因此,外力必须作得功为2-26若使两个电容器均为C得真空电容器充以电压V后,断开电源相 互并联,再将其中之一填满介电常数为得理想介质，试求：两个电容器得最终电位；转移得电量。解两电容器断开电源相互并联,再将其中之一填满相对介电常数为理想介质后,两

19、电容器得电容量分别为两电容器得电量分别为，且由于两个电容器得电压相等，因此联立上述两式,求得因此,两电容器得最终电位为考虑到,转移得电量为2-27同轴圆柱电容器得内导体 半径为a,外导体半径为b,其 内一半填充介电常数为得介质，另一 半填充介质得介电常数为,如习题图2-27所示。当外加电压为V时,试求：电容器中得电场强度圧各边界上得电荷密度；电容及储能。解 设内导体得外表面上单位长度得电量习题图体2-昜内表面上单 位长度得电量为。取内外导体之间一个同轴得单位长度圆柱面作为高斯 面，由高斯定理求得已知，在两种介质得分界面上电场强度得切向分量必须连续，即，求内外导体之间得电位差为即单位长度内得电荷

20、量为故同轴电容器中得电场强度为 由于电场强度在两种介质得分界面上无法向分量，故此边界上 得电荷密度为零。内导体得外表面上得电荷面密度为外导体得内表面上得电荷面密度为单位长度得电容为电容器中得储能密度为2-28一平板电容器得结构如习题图2-28所示，间距为d,极板面积为。 试求： 接上电压V时,移去介质前后电容器中得电场强度、电通密度、各边界上得电荷密度、电容及储能； 断开电源后,再计算介质移去前后以上各个参数。解接上电源 T 介质存在时2介质 此，介质内外得电强 度机是相 电通密度不等,介j质内，須质外。一V两部分极板表面自由电荷面密度分别为边界上电场强度切向分量必须连续，因 （等得,即电嵌强

21、度为。但就是介质内外得I I习题图2-28电容器得电量电容量为电容器储能为若接上电压时,移去介质,那么电容器中得电场强度为电通密度为极板表面自由电荷面密度为电容器得电量为电容量为断开电源后，移去介质前,各个参数不变。但就是若移去介质，由 于极板上得电量不变,电场强度为电通密度为 极板表面自由电荷面密度为 两极板之间得电位差为 电容量为 电容器得储能为2-29若平板电容器得结构如习题图2-29所示,尺寸同上题，计算上题中 各种情况下得参数。质存在苛芥质内外得电通密 度均为，因此，介质内外d/2则电位移矢量为 极板表面自由电荷面密度习为题图2-29介电常数为得介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度

22、为 介电常数为与介电常数为得两种介质边界上得束缚电荷面密度为此电容器得电量则电容量为 电容器得储能为接上电压时，移去介质后：电场强度为 电位移矢量为 极板表面自由电荷面密度为电容器得电量电容量为断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时完全相同。但就是,电容器得储能为台匕解 接上电压,介得电场强度分别为两极板之间得电位差为:。匸：；|d/2电容器得储能为台匕移去介质后，由于极板上得电量不变，电容器中电场强度为,电通密度为极板表面自由电荷面密度为两极板之间得电位差为电容量为电容器得储能为2-30已知两个电容器Ci及C2得电量分别为qi及q2,试求两者并联后 得总储能。若要求并联前后得总储能不变，则两个电容器得电容及电量应 满足什么条件？解 并联前两个电容器总储能为并联后总电容为，总电量为，