勾股定理典型例题

1、勾股定理复习一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形 的两直角边为a、b,斜边为c，那么a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC是直角三 角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+ 中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足

2、条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数 或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积求：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.2. 如图，以Rt ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系.考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边例如图2,已知 ABC中，A吐17, AO 10, BC边上的高，AA8,则边BC的长为（）A. 21B . 15C

3、 . 6D .以上答案都不对【强化训练】：1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm 2cm，则斜边长 为 .2. （易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和12,求斜边上的高.（结论：直角三角形的两条直 角边的积等于斜边与其高的积，ab=ch）考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰34中，-壮丄|是底边上的高，若.IL2C-.i.Li，求 AD的长；厶ABC的面积.考点四：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题例、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中-米，_：；-汀T-1丁，因某种活动要求铺设

4、红色地毯，则在 AB段楼梯所铺地毯的长度应为B(7考点五、利用列方程求线段的长（方程思想）1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？【强化训练】：折叠矩形 ABCD勺一边AD,点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM,BC=10CM, 求CF和EC .5考点六：应用勾股定理解决勾股树问题例、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其 中最大的正方形的边长为5,则正方形A, B, C, D的面积的和为分析：勾股树问题中，处理好两个方面的问题，一个是正方形的边长与面积的关系

5、，另一个是正方形的面积与直角三角形直角边与斜边 的关系。考点七：应用勾股定理解决数学风车问题例7、(09年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直 角三角形围成的。在 Rt ABC中，若直角边AO6，BO5,将四个直角三角形中边长为 6的 直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，贝U这个风车的外围周长(图乙中 的实线)是。分析：因为，直角边AO6, BO5,当将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长 一倍后，得到四个直角边分别是12和5的直角三角形，所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长，因此，斜边长为：二- -=13,较短的实边长是6,所以，

6、这个风车的外围周长为：4X 13+4X 6=76。解：这个风车的外围周长为76 考点八：判别一个三角形是否是直角三角形例1:分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1) 3、4、5 (2) 5、12、13 (3) 8、15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有 【强化训练】：已知 ABC中,三条边长分别为a= n2 1, b = 2n, c = n2 +1 (n 1).试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角.考点九：其他图形与直角三角形 例：如图是一块地，已知 AD=8m CD=6m/ D=90 , AB=26rp BC=24m求这块地的面积。考点十：构

7、造直角三角形解决实际问题在某一平地上，有一棵树高 8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今 一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）考点十一：与展开图有关的计算例、如图，在棱长为1的正方体ABCA B C D的表面上，求从顶点 A到顶点C的最 短距离.（图1）【强化训练】：如图一个圆柱，底圆周长 6cm高4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A点爬到 B点，则最少要爬行 cm四、课时作业优化设计1 .设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是 .2.直角三角形的两直角边分别为 5cm 12cm其中斜边上的高为（）.A . 6cm B . 8.5cm C【提升“学力”】30cm1360cm133. 如图， ABC的三边分别为 AC=5 BC=12 AB=13将厶ABC沿AD折叠，使 AC?落在 AB上，求 DC的长.题6图）4. 如图，一只鸭子要从边长分别为16m和 6m的长方形水池一角M?游到水池另一边中点 N,那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？（题7图）【聚焦“中考”】5 .如图