勾股定理难题+提高

1、评卷人得分1 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A. 4， 5， 6 B 3， 4， 5 C 2， 3， 4 D 1， 2， 32 .给出下列命题：在直角三角形ABC中，已知两边长为 3和4,则第三边长为5;2 丄 2.2三角形的三边 a、b、c满足a c b，则/ C=90°厶ABC中，若/ A：Z B：ZC=1: 5: 6，则厶ABC是直角三角形；厶 ABC中，若a : b: c=1: 2: 、3，则这个三角形是直角三角形.其中，假命题的个数为（）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个3 .如图，如果把 ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A&#

2、39;点，连接A B, 则线段A'B与线段AC的关系是（） 如果三角形三个内角的比是1 : 2 : 3，那么这个三角形是直角三角形； 如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形； 若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；1 如果/ A=Z B= / C,那么 ABC是直角三角形；2 若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； 在 ：ABC中,若/ A+Z B=Z C,则此三角形是直角三角形。A 3个 B 4 个 C 5 个 D 6 个5. 如图， ABC中，AB=AC=5,BC=6 M为 BC的中点，M

3、NL AC于 N点，贝U MN=（）1251656 .下列各组数中，是勾股数的是（）A. 14， 36， 39B. 8， 24， 25C. 8， 15， 17D. 10， 20， 267. （2013贵州安顺）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A. 8米B. 10 米C. 12 米D. 14 米8. 女口图，四边形 ABCD中, AB=ADAD/ BQ / ABC=60 , / BCD=30 , BC=6 那么 ACD.2.3A.3 B第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、新添加的题型评

4、卷人得分三、解答题9. 在 Rt ABC中，/ CAB=90 , AB=ACMN(1)如图，过点A在厶ABC外作直线 MN BML MN于M, CNL MN于 N判断线段 BM CN之间有何数量关系，并证明；BM=d , AB=c，试利用图验证勾股定理 a1 2 b2 = c2 ;若AM=a ,(2)如图，过点 A在厶ABC内作直线 MN BML MN于M, CNL MN于N,判断线段(直接写出答案)MN10 . (6分)小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1,将Rt ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合,为DE折痕12 .如图，学校 B前面有一条笔直的公路，

5、学生放学后走AB, BC两条路可到达公路,经测量 BC= 6km , BA= 8km , AC= 10km，现需修建一条路使学校到公路距离最短，请 你帮助学校设计一种方案，并求出所修路的长.13 .如图， ABC中，/ ACB= 90 ° AC= 9, BC= 12,求 RtA ABC中斜边 AB上的高 CD.A DB114 .阅读理解题：如图，在 ABC中，AD是BC边上的中线，且 AD= BC.2求证：/ BAC=9015如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是 a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.画出拼成的这个

6、图形的示意图；用(1)中画出的图形验证勾股定理.16 .课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图.(1) 求证： AD3A CEB(2) 从三角板的刻度可知 AC=25cm请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块 砖的厚度相等).ADCE17 . （10 分）如图，在 ABC中，AB= 13, BC= 10, BC 边上的中线 AD= 12 . ABD C(1) AD平分/ BAC吗？请说明理由.2)求： ABC的面积.评卷人得分18 .直角三角形两边长分别为3厘米、4厘米，则第三边的长为 。19 .一个直角三角形的两边长分别为9和40,则第三边长的平方是 .20. 若一个

7、直角三角形的两边的长分别为m、n，且满足Jm_3+| n-4=0，则第三边的长为.21. 已知x -6 +|y -8 +(z -10)2 = 0 ,则由此x,y,z为三边的三角形是 三角形22 . ABC的三边长分别为 m2- 1, 2m, m2+ 1，则最大角为 .23 .在长方形纸片 ABCD中, AD= 3cm AB= 9cm,按如图方式折叠， 使点B与点D重合，折痕为EF,则DE=.24 .如图，在 Rt ABC中，/ ABC是直角，AB=3 BC=4 P是BC边上的动点，设 BP=X若能在AC边上找到一点 Q使/ BQP=90，贝U x的取值范围是 .25 .如图，0P= 1,过P作

8、PPi丄OP且PPi= 1,得OR = J2 ;再过Pi作P1P2丄OR且PlP2= 1，得0P2 = ' 3 ；又过P2作P2P3丄0P2且P2P3= 1，得0P3= 2依此法继续作下去，得 0P2o12 =评卷人 得分五、计算题参考答案1. B.【解析】试题分析：A. 42+52工62,不能构成直角三角形，故不符合题意；B. 32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；C. 22+32工42，不能构成直角三角形，故不符合题意；D. 12+22工32，不能构成直角三角形，故不符合题意.故选B.考点：勾股数.2. B【解析】试题分析：命题中若 4是直角边，则第三边长为 5,若4为斜

9、边，则第三边长为7，故错误；命题中应该是/ B=90°,故错误；命题、均正确；故假命题有 2个； 故选B.考点：真命题与假命题3. D【解析】试题分析：先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A'B与线段AC的关系：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A'点，连接A B,与线段AC交于点0.A 0=0B= 2 , A0=0C=2 2 ,线段A'B与线段AC互相平分，又/ A0A =45° +45° =90°, A B丄 AC线段AB与线段AC互相垂直平分.故选D.【解析】试题分析：三角形三个内角的比是1

10、 : 2： 3,设三角形的三个内角分别为x, 2x, 3x , x+2x+3x=180°,解得 x=30°, 3x=3X 30° =90°,此三角形是直角三角形，故本小题正确； T三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°,若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形， 故本小题正确； 直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确；1 / A=Z B= / C,2设/ A=Z B=x，则/ C=2x, x+x+2x=180

11、6;,解得 x=45°, 2x=2X 45° =90°,此三角形是直角三角形，故本小题正确； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，三角形一个内角也等于另外两个内角的和，这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，有一个内角一定是 90°，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确； T三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补， 有一个内角一定是 90°，故这个三角

12、形是直角三角形，故本小题正确.故选D.考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质.5. C.【解析】试题分析：连接 AM AB=AC点M为BC中点， AMI CM BM=CM/ AB=AC=5 BC=6 BM=CM=3在 Rt ABM中，AB=5, BM=3根据勾股定理得：AM= AB2 _BM2 = .52 _33 =4，又 Saamc= 1 MN?ACAM?M,C2 2MN=AM ?CMAC125故选C.考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.6. C【解析】满足 a2+ b2= C的三个正整数 a, b, c是勾股数，因为 82+ 152 = 289, 172= 289, 所以8

13、2 + 152= 172，即& 15、17为勾股数同理可判断其余三组数均不是勾股数.7. B【解析】如图，设大树高为AB= 10米，小树高为 C» 4米，过C点作CEL AB于E,则四边形 EBDC是矩形.连接 AC,贝U EB= CD= 4 米，EC= 8 米，AE= AB EB= 10 4= 6 （米）.在 RtA AEC 中，AC AE2 EC 2 =10 米.【解析】试题分析：如图，过点 A作AE1 BC于E,过点设 AB=AD=x8. A.D 作 DFL BC于 F.又 AD/ BC四边形AEFD是矩形形， AD=EF=x在 Rt ABE中，/ ABC=60，则/

14、BAE=30 ,1 1 BE=AB=x,2 2 DF=AE= AB2 - BE2x,23在 Rt CDF中，/ FCD=30，贝U CF=DF?cot30 二上 x.2又 BC=61 3 BE+EF+CF=6 即 x+x+ x=6,2 2解得x=2 ACD的面积是：1 AD?DFxX 仝x= 3 X22=；3 .2224故选A.考点：1.勾股定理2.含30度角的直角三角形.9. ( 1)证明见解析；(2) MN=BM-CN.【解析】试题分析：(1)利用已知得出/ MAB=/ ACN进而得出厶MAB2A NCA进而得出 BM=AN AM=CN即可得出线段MN BM CN之间的数量关系；利用11

15、2 1S 梯形 mbc=Samab+Saabc+Sanc/= ab+ c + ab，22 21梯形MBC=2(BM+C)x MN=! (a+b) 2,2进而得出答案;(2)利用已知得出/ MAB=/ ACN进而得出厶MABA NCA进而得出 BM=A, AM=C,即可得出线段MN BM CN之间的数量关系.试题解析：(1)MN=BM+CN理由：/ MAB社 NAC=90，/ ACN+Z NAC=90 ,/ MABZ ACN 在厶MABHA NCA中.BMA - ANCI.MAB - NCA ,AB 二 AC MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN MN=AM+AN=BM+CN由

16、知厶MABA NCA CN=AM=a AN=BM=b AC=BC=c MN=a+b(BM+CNX MN=i ( a+b) 2,21 1 2 1 1 S 梯形 mbc=Samab+sabc+Sanc= ab+ c + ab, S 梯形 mbc=2 2 2 2 11 2 1 1 / 2ab+ c + ab= (a+b),22 2 2 a2+b2=C2；(2) MN=BM-C；理由：MAB-Z NAC=90 , Z ACN+Z NAC=90 , / MABZ ACN在厶MABHA NCA中BMAANCMAB = NCA ,AB 二 AC A MABA NCA( AAS , BM=AN AM=CN M

17、N=AN-AM=BM-CN考点：全等三角形的判定与性质.10. 操作一(1) 14cm(2) 35 ° 操作二 CD=4 . 5【解析】试题分析：操作一利用对称找准相等的量：BD=AD Z BADZ B,然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；操作二利用折叠找着 AC=AE利用勾股定理列式求出AB,设CD=x表示出BD, AE,在Rt BDE中，利用勾股定理可得答案试题解析：操作一 (1) 14cm(2) 35 °操作二 由折叠知：AE=AC=9 DEI AB 设 CD=DE=X 则 BD=12-X,/ AB2 二 AC2BC2 =81 + 144=225, AB=15

18、 BE=15-9=6,又 BD = DWBE2 , (12 -x)2=x2+36,9x=,2即 CD=4 5cm考点：轴对称，线段的垂直平分线1011. CD的长为3 cm.【解析】试题分析：利用翻折变换的性质得出DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90，进而利用勾股定理得出x的值.AC=5cm BC=12cmAB上 ,且与AE重合,试题解析： 有一块直角三角形纸片两直角边 AB=13cm将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 DE=CD AC=AE=5cm/ DEB=90 ,设 CD=xcm 贝V BD= (12 - x) cm, 故 d+bE2=bcj,即 x2+ (13- 5)

19、2= (12- x) 2,解得:x=®则CD的长为cm3考点：勾股定理12. 4.8km.【解析】解：过 B作AC的垂线，垂足为 D,线段BD就是要修的路. 在厶 ABC中，/ AB2+ B&= 82 + 62= 100 ,而 AC2= 102= 100 , AB2 + BC?= AC2,即厶 ABC是直角三角形，且/ ABC= 90°.由 1 ABLIbC =丄 ACLBD ,2 2 得AbLbC 6 8得 BD4.8 (km),AC 10即所修路长为4.8km .13.365【解析】解：在 RtAABC中，A .<AC2 BC2 h$92 122 =15.

20、11由三角形的面积公式得 一AC BC = AB CD ,22-acLbcAB9 121536即斜边AB上的高CD是 .514. ( 1)如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角形是直1角三角形.(2) _秽3。2【解析】试题分析：根据题目的已知条件和结论写出判断方法即可.试题解析：(1)如果一个三角形的一边上的中线的长等于这条边长的一半，那么这个三角 形是直角三角形。(2)因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角 形。设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，则a+b=1+ 3根据勾股定理，得2.2 2a +b =22 2a +b

21、 =4因为（a+b） =a +b +2 ab即（1+ 3 ） 2=4+2ab所以ab = 31ab、32 2所以这个三角形的面积为1 i 32考点：直角三角形斜边上的中线.15. (1)(答案不唯一)如图.2(2)验证：大正方形的面积可表示为(a+ b),一 2 1又大正方形的面积也可表示为c 4 ab ,21(a b) = c2 4 ab ,2即 a2 + b2 + 2ab = C + 2ab. a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【解析】(1)(答案不唯一)如图.(2)验证：大正方形的面积可表示为(a+ b)2,2 1又大正方形的面积也可表示为c2 4 ab

22、,22 2 1 (a b) = c2 4 ab ,2即 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. a2+ b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.16. (1)证明见解析；(2 )砌墙砖块的厚度 a为5cm【解析】试题分析：(1)根据题意可知 AC=BC / ACB=90 , AD丄DE, BEX DE进而得到/ ADC2CEB=90，再根据等角的余角相等可得/BCE=/ DAC从而得到结论；(2)根据题意得：AD=4a BE=3a根据全等可得 DC=BE=3a由勾股定理可得(4a) 2+ (3a)2 2=25，再解即可.试题解析：(1)根据题意得：AC=BC Z

23、ACB=90 , AD丄DE BEX DE / ADCZ CEB=90 , Z ACD+Z BCE=90 , Z ACDZ DAC=90 , Z BCE玄 DAC在厶 ADCn CEB中，ADC 二CEBdDAC =nbce ,AC =BC ADCA CEB( AAS ;(2)由题意得：AD=4a BE=3a由(1)得： ADCA CEB- DC=BE=3a在 Rt ACD中: AD2+Cd=AC2 ,( 4a) 2+ (3a) 2=252,/ a > 0,解得a=5,答：砌墙砖块的厚度 a为5cm.考点1.:全等三角形的应用 2.勾股定理的应用.17. (1)平分，理由详见解析；(2)

24、 60【解析】试题分析：(1) AD平分/ BAC理由为：/ BC边上的中线AD BD=5在 ABC中, AB=13, AD=12 BD=5 25 =24 +7, 即: AB=AD+BD/ ADB=90，即 AD丄 BC, AD垂直平分BC AB=AC AD 平分/ BAC由(1)得AB=AC AD垂直平分BCBC AD abc=2=60.考点:1.等腰三角形的性质；2.三角形面积的计算方法18. 5cm或.7 cm.【解析】试题分析：题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.试题解析：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm(2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三

25、边为.7 cm；故直角三角形的第三边应该为5cm或7 cm.考点：勾股定理.19. 1681 或 1519.【解析】设第三边为 x(1 )若40是直角边，则第三边 x是斜边，由勾股定理，得：92+402=x2，所以x2=1681.(2)若40是斜边，则第三边 x为直角边，由勾股定理，得：92+x2=402，所以x2=1519.所以第三边的长为 1681或1519.20. 5或.7 .【解析】试题分析：t Jm 3 + n4=0，二 m- 3=0, n - 4=0,. m=3 n=4,即这个直角三角形的两边长分别为3和4.当4是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为x,则由勾股定理得到：x= *2 _3? = .7 ；当4是此直角三角形的直角边时，设斜边为X，则由勾股定理得到：x-_ 42 35 .故答案为：3或5.考点：1.勾股定理；2 非负数的性质；3 分类讨论.21 .直角【解析】2试题分析:t x-6 y 8 +(z-10) =0 ,/. x-6 = 0, y-8 = 0,z 10 = 0 ,2 2 2x=6, y=8,z=10，又t 68 10 ,所以以x,y,z为三边的三角形是直角三角形考点：1.非负数的性质；2.