向量组地线性相关与线性无关

1、向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设ai, a2,atRn,kk?,ktR，称人印k?a2为 aa?,at 的一个线性组合。ki一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，厢 k?a?如 电，q) 。这Mkt样的表示是有好处的。2. 线性表示设ai,a?, ,at Rn，b Rn，如果存在匕出，K R，使得b ki a-i k? a?kt at则称b可由ai, a?, , at线性表示。kik?b kiai k?a?Kq，写成矩阵形式，即b (a,a?, ,at)。因此，b可Mktkik?由ai,a?, ,at线性表示即线性方程组(q,a?, ,q)b有解，而该方程组有解Mkt当且仅当 r(a

2、i,a?, ,at) r(ai, a?, ,at,b)。3. 向量组等价设ai, a?, ,at,a,b?, ,bs Rn，如果ai, a?, ,4中每一个向量都可以由bi,b?, ,bs线性表示，则称向量组ai, a?,且可以由向量组d,b?, ,b$线性表示。 如果向量组ai,a?, ,at和向量组b1,b?, ,bs可以相互线性表示，则称这两个向 量组是等价的。向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得

3、出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为耳赴，a，向量组II为04,bs，向量组 III 为gg, ,ct。t1,2, ,s。向量组I可由向量向量组II可由III线性表示，假设bjyqCk，k 1s组II线性表示，假设aiXjD，i 1,2, , r。因此,j 1ssta Xjibj Xji ykjCkj 1j 1 k 1(ykj Xji)c，k 1 j 11,2,r因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，山可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同 样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立!4. 线性相关与线性无关设a1,a2

4、, ,atRn，如果存在不全为零的数kk?, ,kt R，使得k1a1k?a2ktq0则称a1,a2, ,at线性相关，否则，称aa?,印线性无关。按照线性表示的矩阵记法，a1, a2, at线性相关即齐次线性方程组kik2(as,4)一 0Mkt有非零解，当且仅当(印忌 ，aj t。aa?, ,4线性无关，即kik2(ai,a?,4)一 0Mkt只有零解，当且仅当r(ai,a?, ,aj t。特别的，若t n，则ai, a?, ,an Rn线性无关当且仅当r(ai,a?, ,an) n， 当且仅当(ai,a2, , an)可逆， 当且仅当(ai,a2, ,an) 0。例1.单独一个向量a R

5、n线性相关即a 0，线性无关即a 0。因为，若a线性 相关，则存在数k 0，使得ka 0，于是a 0。而若a 0，由于1 a a 0，1 0 因此，a线性相关。例2.两个向量a,b Rn线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若a,b 线性相关，则存在不全为零的数k1,k2，使得k1a k2b 0。k1,k2不全为零，不妨 假设k10，则a 'b，故a,b平行，即对应分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假设存在，使得a b，则a b0，于是a, b线性相关。100x1例 3. 0 ,1,0线性无关，且任意xx2R3都可以由其线性表示，且表示001X3方法唯一。事实上,X1100x

6、X2x1 0x2 1X3 0X30015. 线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设dp, ,at Rn，其中有一个为零，不妨假设at 0,则0 a! 0 a20 at ! 10 0因此，ai,a2, ,at线性相关。(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相 关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设ai, a2, at, i, 2,ns R ， ai, a2,at线性相关。存在不全为零的数ki,k2,kt，使得ki ak： a：kt a.:0这样，kiaik： a：ktat0 i020s0ki,k2,

7、kt不全为零，因此，ai, a2 , at, i,2,s线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的 新向量组仍然线性无关。证明：,，bib, ,bt是同维的列向量。令btatKe k?a?匕耳°btKb k2b?ktbt设ai,a2, ,at Rn为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量 最后一个分量之后，成为 ai , a2bib2aia?ki 1 k22bib?则匕印k?a2Ka 0。由向量组a“a2, ®线性相关，可以得到k1 k2kt 0。结论得证！(4) 向量组线性相

8、关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。证明：设ai, a2, ,at Rn为一组向量。必要性 若ai, a2, , at线性相关，则存在一组不全为零的数 kk?, ,K，使得ki ai丘2玄2kt at0ki,k2, ,kt不全为零，设kj 0，则ajkj iaj i kj iaj iktatkj充分性若ai,a2, ,at中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设a可以表示成ai, ©勺厲仆，印的线性组合，则存在一组数 灯，"，K，使得ajki aikj iaj ikj iajiktat也就是ki aik j iaj iaj kj iaj iktat0但 ki

9、, , kj i,i,kj i, , kt不全为零，因此， ai,a2,at线性无关。【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。若ai,a2, ,at Rn线性无关，b Rn，使得aia?, ,at,b线性相关，则b可由ai,a2, ,at线性表示，且表示方法唯证明:,at,b线性相关，因此，存在不全为零的数 ki, k2, ,kt,kti，使得k a k?a?kt a kt ib 0kt i 0 ,否则kt i 0，则k£i k?a?Kd 0。由忌，线性无关，我们就得到ki k?kt 0 ,这样，ki, k?, K,kti均为零，与其

10、不全为零矛盾！这样，bkiaik?a?ktatkt i因此，b可由ai,a?, , at线性表示。假设 bxiaiX2a2Xtatyiaiy?a?ytat，则(Xiyi)ai(X?y2)a2(Xtyt)at0由ai,a?, at线性无关，有XiyiX?y?Xtyt0，即Xiyixy?, ,Xtyt因此，表示法唯一。【备注3】刚才的证明过程告诉我们，如果向量b可由线性无关向量组ai, ,at线 性表示，则表示法唯一。事实上，向量 b可由线性无关向量组ai, ,at线性表示， 即线性方程组 佝，ajx b有解。而q, ,at线性无关，即r（ai, ,aj t。因此, 若有解，当然解唯一，即表示法唯

11、一。 若线性无关向量组ai,a?, ,at可由向量组Db, ,bs线性表示，则t s。 证明：假设结论不成立，于是t s。ai,a?, ,at可由Db, ,bs线性表示。假设XiiX2iai 为山 x?ib?Xsibs Qb, ,bs） _ ，MXsia2X12blX22&2Xs2bs(bib.X12Mx1tatXltblX2tb2Xstbs(b,b2,x2tbs)MXstkikiQk>a2ktat(ai , a2 ,k2，at)MktXiiXi2LXit由于X2iMX22MLOX2tM为一个s t阶矩阵XsiXs2LXst任取 ki,k2, ,kt，则而t s，因此，方程组Xi

12、iXI2LX21X22LXiiXi2LXtki2iX22LX2tk2(bb,bs)一MOMMMXsiXs2LXstktXitX2tx MkiXsiXs2L必有非零解，设为，于是kiai k2a2kt at 0。因此，存在一组不全为kt零的数ki,k2, ,kt，使得ki k?a2Kq 0。因此，向量组aa?,可线性相关，这与向量组a1,a2, at线性无关矛盾！因此，t s。 若两线性无关向量组ai,a2, ,at和dd, ,bs可以相互线性表示，则t s证明:由性质，t s， s t，因此，s t【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。(8)设ai,a2, ,at Rn，P为n阶可逆

13、矩阵，则2,耳线性无关当且仅当Pai,Pa2, ,Pat线性无关。b可由印总，g线性表示，当且仅当Pb可由Pai,Pa2, , Pat线性表示。若可以线性表示，表示的系数不变。证明：由于P可逆，因此kiQk?a2kt at0P(kiaik?a2ktat)0ki(Pa)k2(Pa2)kt (Pat)0kaik?a2ktatbP(kiQk?a2ktat)bki(Pa)k2(Pa2)kt(Pat) Pb如此，结论得证!6. 极大线性无关组定义1设ai,a2, ,at Rn，如果存在部分向量组玄肿2,，使得(1)內佝2, ,air线性无关； ai,a2, ,at中每一个向量都可以由 寺，軌，线性表示；

14、则称aa2,%为ai,a2, ,at的极大线性无关组。【备注5】 设ai,a2, ,at Rn，弘?,为其极大线性无关组。按照定义，ai,a2, ,at可由寺，軌，耳线性表示。但另一方面，玄軌，弘也显然可以由 ai, a2, ,at线性表示。因此，ai,a2, ,a与ah,ai2, , air等价。也就是说，任何一个向量组都与其极大线性无关组等价。向量组的极大线性无关组可能不止一个， 但都与原向量组等价，按照向量组等价的传递性，它们彼此之间是等价的，即可以相互线性表示。它们又都是线性 无关的，因此，由之前的性质(7)，向量组的任意两个极大线性无关组含有相同 的向量个数。 这是一个固定的参数，由

15、向量组本身所决定，与其极大线性无关 组的选取无关，我们称其为向量组的 秩，即向量组的任何一个极大线性无关组所 含的向量个数。【备注6】按照定义，向量组ai,a2, ,at线性无关，充分必要条件即其秩为t。定义2设ai,a2, ,at Rn，如果其中有r个线性无关的向量 可七2,耳，但没有 更多的线性无关向量，则称ah, ai2, ,air为印?, ,at的极大线性无关组，而r为 ai,a2, ,at 的秩。【备注7】 定义2生动地体现了极大线性无关组的意义。一方面，有 r个线性 无关的向量，体现了“无关性”，另一方面，没有更多的线性无关向量，又体现 了“极大性”。【备注8】两个定义之间是等价的

16、。一方面，如果 ah,ai2，,air线性无关，且ai,a2, ,at中每一个向量都可以由 和兀，线性表示，那么，务总，目就没 有更多的线性无关向量，否则，假设有，设为 bi,b2, ,bs，s r。bi,b2, ,bs当然 可以由ah,ai2，,air线性表示，且还线性无关，按照性质(6)，s r，这与假设矛 盾！另一方面，假设 可©2，为ai,a2, ,at中r个线性无关向量，但没有更多 的线性无关向量，任取ai,a2, ,at中一个向量，记为b，则刖，軌，,ab线性相 关。按照性质(5)，b可有ah,ai2,线性表示(且表示方法唯一)。【备注9】设向量组a1,a2, ,at的秩

17、为r，则其极大线性无关向量组含有r个向量。 反过来，其中任何r个线性无关向量所成的向量组也是 ai,a2, ,at的一个极大线 性无关组。这从定义即可得到。6.向量组的秩的矩阵的秩的关系称矩阵A的列向量组的秩为A的列秩，行向量组转置后所得到的列向量组的 秩称为矩阵A的行秩。定理1任意矩阵的秩等于其行秩等于其列秩证明：设A (aj) Rm n， r(A) r。将其按列分块为A 佝总，q)。存在m阶可逆矩阵P，使得PA为行最简形，不妨设为10L0bl,r+1Lgn1L0b2,r 1Lb2,nOMMLMPA (Pa1,Pa2, ,Pan)1br ,r 1L4 ,n00L00L0LLLLLLL00L0

18、0L0100010MMM0,0, 1线性无关，且PA中其余列向量都可以由其线性表示，因此,000MMM000100010MMM0 ,0 ,1为PA的极大线性无关组,000MMM000其个数为r，因此，a1,a2, ar线性无关，且A中其余列向量均可由其线性表示(且表示的系数不变)。因此，A的列秩 等于A的秩bT将A按行分块，A M，则At (Db,4),因此，按照前面的结论，Abm的行秩为A的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，结论证明完毕！【备注10】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。7. 扩充定理定理2设ai,a2, ,at Rn，秩为r，a,弘为其中的k个线性无关的向量， k r

19、，则能在其中加入ai,a2,可中的(r k)个向量，使新向量组为印,玄2,且的 极大线性无关组。证明：如果k r，则玄軌，aik已经是印,玄2,且的一个极大线性无关组，无须再 添加向量。如果k r，则ai，ai2，赳不是印旦，®的一个极大线性无关组，于是，ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 a：k i，由性质，向量组ah, ai2, ,aik,aikl 线性无关。如果k 1 r，则a, ,aik,aikl已经是印旦，®的一个极大线性无关组， 无须再添加向量。如果k 1 r，则a»,軌，ak, aik 1不是ai, a?,內的一个极大线性无关组，于

20、是，ai,a2, ,at必有元素不能由其线性表示，设为 號？，由性质，向量组 aii,ai2, aik ,aik i , aik 2 线性无关。同样的过程一直进行下去，直到得到r个线性无关的向量为止。【备注ii】证明的过程其实也给出了求极大线性无关组的方法。只是，这方法 并不好实现。8. 求极大线性无关组并将其余向量由极大线性无关组线性表示求向量组ai,a2, at Rn的极大线性无关组，可以按照下面的办法来实现(1) 将玄勺总，at合在一起写成一个矩阵 A 佝忌，aj ；(2) 将A通过初等行变换化成行阶梯形或者行最简形，不妨设化得的行阶形为bnb12Lb1rb1,r 1Lb1,n0b22Lb2rb2,r 1Lb2,nMLOMMLMA00Lbrrbr ,r 1Lbr,nB，bii0,i 1,2, ,r，r r(A)00L00L0MLLMMLM00L00L0 在上半部分找出r个线性无关的列向量，设为ji,j2, , jr列，则jl,j2, ,jr为 B列向量组的极大线性线性无关组， 也是A列向量组的极大线性线性无关组， 也 就是ai, a2